МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА <1 • 2008
УДК 532.5.013.4
© 2008 г. Ф. БУССЕ, Д. В. ЛЮБИМОВ, Т. П. ЛЮБИМОВА, Г. А. СЕДЕЛЬНИКОВ ТРЕХМЕРНЫЕ РЕЖИМЫ КОНВЕКЦИИ В КУБИЧЕСКОЙ ПОЛОСТИ
Проведено численное исследование трехмерных нелинейных режимов конвекции в кубической полости, подогреваемой снизу, для малых и умеренных надкритичностей и различных значений числа Прандтля Рг. Рассмотрены случаи адиабатических и идеально теплопроводных боковых границ полости. Изучены структуры различных надкритических движений и исследована их устойчивость. Обнаружено сосуществование различных типов конвективных структур в широком диапазоне управляющих параметров.
Ключевые слова: трехмерная конвекция, численное моделирование, кубическая полость, адиабатические и идеально теплопроводные стенки.
Устойчивость конвективных течений в кубической полости исследовалась как экспериментально, так и теоретически. Эксперименты [1, 2] были выполнены с водой, заполняющей полость в плексигласовом блоке. Обнаружены различные типы движения, определены критические числа Рэлея и области существования этих течений. В [3] методом Галеркина найдены критические числа Рэлея, соответствующие уровням неустойчивости, наблюдавшимся в [1, 2].
Для кубической полости с теплоизолированными боковыми стенками критическое число Рэлея составляет 3446 [4]. Это теоретическое значение хорошо согласуется с результатами экспериментов [5]. В случае идеально теплопроводных боковых границ, кризис механического равновесия возникает при числе Рэлея, равном 6974 [6, 7].
Вследствие высокой симметрии задачи основной уровень неустойчивости равновесия жидкости в подогреваемой снизу кубической полости двукратно вырожден. В отличие от задачи конвективной устойчивости в сфере, обладающей симметрией где вырождение сохраняется и в нелинейной задаче, для конвекции в кубической полости, характеризующейся симметрией С4, учет нелинейных слагаемых должен снять вырождение. Это делает нетривиальным вопрос о структуре конвективных движений при малых над-критичностях.
Надкритические движения в воздухе, воде, этиловом спирте, трансформаторном масле и глицерине исследовались в [8]. Найдено, что в глицерине стационарное конвективное движение, возникающее за порогом устойчивости равновесия, имеет структуру вала с осью, параллельной одной из горизонтальных диагоналей куба (режим 82). Обозначения режимов совпадают с обозначениями, принятыми в [9]. В жидкостях с меньшими значениями числа Прандтля при малых надкритичностях наблюдалось движение с валом, параллельным одной из граней (режим 81), с возрастанием надкритичности переходящее в движение типа 82. Проведен слабонелинейный анализ устойчивости конвективных движений, построена фазовая диаграмма поведения конечных возмущений. Показано, что в случае теплоизолированных боковых граней для всех чисел Прандтля устойчиво движение типа 81. В случае теплопроводных границ задача решалась приближенно методом Галеркина с двумя базисными функциями, причем рассматривались лишь пределы нулевых и бесконечно больших чисел Прандтля. Оказалось, что при Рг = 0 реализуется движение с валом, параллельным одной из граней, а при Рг ^ ^ - режим 82.
Для кубической полости с адиабатическими боковыми гранями численно получены оба ранее описанных режима конвекции [10]. Новая конвективная структура, появляющаяся при конечной надкритичности и характеризующаяся тороидальной формой вала с течением, опускающимся около всех вертикальных границ и поднимающимся в центре куба (режим Б4), численно обнаружена в [11].
Численное исследование конвекции в кубической полости с адиабатическими вертикальными стенками для умеренных чисел Рэлея и трех различных чисел Прандтля Рг = 0.71, 10 и 130 проведено в [9]. Для различных значений управляющих параметров были получены семь типов течений. Однако результаты, представленные в этой работе, имеют большое количество разногласий с другими экспериментальными и теоретическими работами [8, 12, 13]. В частности, основным недостатком, по-видимому, является стабилизирующий эффект численного пакета 3БШАМ1С, и как результат устойчивость некоторых режимов течений, которые по простым физическим соображениям не могут быть устойчивы.
1. Постановка задачи и методы решения. Численно изучаются трехмерные нелинейные режимы конвекции в кубической полости (фиг. 1), подогреваемой снизу, для различных значений чисел Рэлея и Прандтля. Рассматриваются два вида граничных условий: 1) все границы твердые, боковые грани теплоизолированные, а горизонтальные изотермические; 2) все границы твердые и идеально теплопроводные. Изучается структура различных надкритических движений, и исследуется их устойчивость.
Задача решается в приближении Буссинеска. Если выбрать в качестве единиц измерения длины - Н, скорости - v/Н, времени - й2/у, температуры - ТН - Тс, давления - р0У2/й2 (V - коэффициент кинематической вязкости, р0 - среднее значение плотности жидкости, ТН и Тс - соответственно температуры верхней и нижней грани), то уравнения конвекции и граничные условия в безразмерных переменных примут вид [14]
ду + («V) и = - —р + Ли + Ту (1.1)
(иУТ) = -1 Л Т (1.2)
Э? Рг
^« = 0 (1.3)
г = -0.5: Т = 0.5, и = 0; г = 0.5: Т = -0.5, и = 0
Для теплоизолированных и теплопроводных боковых границ имеем
у = ±0.5: ^ = 0, и = 0; х = ±0.5: ^ = 0, и = 0, (1.4)
ду дх
у = ±0.5, х = ±0.5: Т = -г, и = 0 (1.5)
Здесь и - вектор скорости, у - орт оси г;
Уравнения (1.1)-(1.2) содержат безразмерные параметры: Рг = v/% - число Прандтля, Яа = gв(Th - Те)й3/у% - число Релея (% - коэффициент температуропроводности, в - коэффициент теплового расширения).
Система уравнений с граничными условиями решается численно методом конечных разностей в естественных переменных. Уравнение, определяющее поле давления, получается из требования выполнения условия неразрывности [15], для этого вводится вспомогательное поле "квази скорости" ык, новые значения которой на очередном временном слое находятся из уравнения Навье-Стокса с отброшенным градиентным слагаемым, а истинная скорость находится из соотношения
и = ик - т Vр (1.6)
где т - шаг по времени, а поле p находится из уравнения
Ap - Т-divuk = 0 (1.7)
получающегося подстановкой (1.6) в (1.3).
Уравнение Пуассона (1.7) решается методом последовательной верхней релаксации (метод установления). Граничные условия для давления получаются проектированием уравнения Навье-Стокса на нормаль к соответствующей грани.
Для организации вычислений на многопроцессорных компьютерах использовались параллельные алгоритмы с применением развитой системы параллельного программирования MPI.
Вычисления проводились при использовании ресурсов Французского национального вычислительного центра (CINES, Montpellier). Использовался IBM кластер "Regatta" с 32 узлами, включающими 512 процессоров Power4/1.3 Ghz. Ниже представлены ускорения, достигнутые при проведении основных вычислений на сетке 413, на различном числе процессоров. Для 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8 процессоров были достигнуты ускорения, равные 1.926, 2.567, 2.882, 3.312, 3.616, 3.703 и 3.568 соответственно.
Сопоставление чисел Нуссельта, полученных для различных режимов конвекции на сетке 413, с результатами других авторов, представленное в табл. 1, демонстрирует хорошее согласие результатов.
Из табл. 2, где приведены сравнение результатов, полученных для различных пространственных шагов, и аппроксимация на нулевой шаг сетки, видно, что сетка 413 достаточно хорошо описывает поведение системы при умеренных надкритичностях. Это согласуется с результатами экспериментальной работы [16], в которой определена ширина теплового пограничного слоя для естественной тепловой конвекции: S = 1/(2Nu), таким образом, для всего рассматриваемого диапазона чисел Рэлея, шаг пространственной сетки 413 по крайней мере в 4 раза меньше толщины пограничного слоя.
2. Обсуждение результатов. Вычисления проводились для трех основных значений чисел Прандтля: Pr = 0.71 (воздух), 7 (вода) и 250 (трансформаторное масло). Для теплоизолированных и идеально теплопроводных боковых границ обнаружено соответственно шесть и восемь различных типов движения. Изолинии скорости для всех наблюдавшихся надкритических режимов конвекции схематично представлены на фиг. 2. Для
Таблица 1
Граничные условия Рг Яа Режим №
[11] [12] [13] настоящая работа
(1.4) 0.71 10000 81 1.925 1.97 1.97 1.945
(1.4) 0.71 20000 81 2.375 2.43 2.42 2.402
(1.4) 0.71 20000 82 - 2.60 2.57 2.545
(1.4) 0.71 60000 87 3.68 - 4.02 4.007
(1.5) 0.71 20000 81 - 1.67 - 1.617
(1.5) 0.71 30000 81 - 1.89 - 1.853
(1.5) 7 10000 82 - 1.27 - 1.236
(1.5) 7 60000 81 - 3.10 - 2.956
Таблица 2
Граничные условия Рг Яа Режим №
313 413 513 613 „3
(1.4) 0.71 20000 81 2.4179 2.4025 2.3963 2.3935 2.386
(1.4) 7 60000 87 4.0456 4.0053 3.9862 3.9760 3.952
(1.4) 0.71 45000 87 3.4884 3.4426 3.4225 3.4122 3.387
(1.5) 0.71 20000 81 1.6123 1.6165 1.6197 1.6221 1.633
(1.5) 7 60000 81 2.9362 2.9563 2.9659 2.9710 2.981
(1.5) 250 40000 87 2.3416 2.3490 2.3506 2.3514 2.353
всех типов течений, за исключением режима 88, найденного только в случае теплопроводных боковых границ, изолинии температуры приведены лишь для теплоизолированных граней.
Обнаруженные критические числа Релея составили 3350 и 6710 для кубической полости с теплоизолированными и идеально теплопроводными боковыми гранями соответственно, что хорошо согласуется с результатами [4, 6].
Ввиду большого количества противоречий в ранее опубликованных результатах относительно существования и устойчивости режима 82 ему уделялось особое внимание.
Зависимость чисел Нуссельта от числа Рэлея для различных значений числа Прандтля и различных режимов течения в случае теплоизолированных боковых границ представлена на фиг. 3. Для этого типа граничных условий время нарастания возмущений оказывается достаточно велико, что дает возможность характеризовать часть неустойчивых режимов.
На графиках сплошными и штриховыми линиями изображены соответственно устойчивые и неустойчивые режимы конвекции. Обнаружено, что течения 84, 85, 86 всегда неустойчивы, а режи
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.