М ЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 3 • 2009
УДК 532.526:533.6.011.55
© 2009 г. С. А. ГАПОНОВ, Н. М. ТЕРЕХОВА
ТРЕХВОЛНОВЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ В ГИПЕРЗВУКОВОМ ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ НА НЕПРОНИЦАЕМОЙ И ПОРИСТОЙ
ПОВЕРХНОСТЯХ
В рамках слабонелинейной теории устойчивости рассмотрено взаимодействие возмущений в гиперзвуковом пограничном слое на непроницаемой и пористой поверхностях. Установлено, что на непроницаемой поверхности нелинейные взаимодействия осуществляются между волнами разной природы (акустическими и вихревыми) в режиме параметрического резонанса. Волной накачки выступает плоская акустическая волна. Нелинейные взаимодействия осуществляются в широком частотном диапазоне и могут привести к пакетному нарастанию волн Толлми-на-Шлихтинга. На пористой поверхности подобные взаимодействия достаточны слабы, они вызывают слабое затухание акустической и слабое усиление вихревых компонент. Это приводит к затягиванию ламинарного режима течения и областей линейного нарастания возмущений. В этой ситуации может происходить заполнение низкочастотного спектра вихревых мод за счет нелинейных процессов, происходящих в трехволновых системах между вихревыми компонентами.
Ключевые слова: гиперзвуковой пограничный слой, гидродинамическая устойчивость, непроницаемая и пористая поверхности, акустические и вихревые возмущения.
Успехи, достигнутые при теоретических исследованиях ламинарно-турбулентного перехода в дозвуковых течениях [1,2], позволяют надеяться, что математический аппарат, разработанный в этом разделе механики, может быть применен к исследованию высокоскоростных потоков.
В частности, для сверхзвуковых течений подобный анализ в тесном контакте с экспериментальными исследованиями позволил установить ряд особенностей, сопутствующих начальным стадиям потери устойчивости в сжимаемых жидкостях [3, 4]. Понимание природы физических процессов, сопутствующих нелинейной эволюции неустойчивых возмущений в таких пограничных слоях, помимо важного фундаментального значения для данного типа потока создает необходимую основу перехода к аналогичным исследованиям при гиперзвуковых скоростях потока.
При теоретических исследованиях высокоскоростных потоков сжимаемого газа кроме рассмотрения возмущений скорости необходимо учитывать возмущения температуры и плотности. При высоких числах Маха помимо вихревых колебаний — волн Толлмина-Шлихтинга или возмущений первой (I) моды появляется необходимость рассматривать возмущения акустических мод, из которых в диапазоне М ~ 5 наиболее быстро нарастающей является вторая (II) мода [5]. Поэтому определенный интерес вызывает рассмотрение именно гиперзвуковых режимов, при которых реализуются возмущения разной природы, которые по-разному откликаются на изменение условий обтекания.
В этой связи полезно обратиться к экспериментам работ [6, 7], проведенным в гиперзвуковой аэродинамической трубе Т-326 Института теоретической и прикладной механики им. С.А. Христиановича СО РАН. В них исследован состав и продольная динамика возмущений на непроницаемой и пористой (без отсоса) поверхностях при ги-
перзвуковом числе Маха. На основе изучения линейной и нелинейной стадий развития возмущений четко выявлено влияние наличия пористого покрытия.
Показано, что в пограничном слое на непроницаемой поверхности вслед за линейной стадией развития возмущений следует стадия нелинейного взаимодействия в трехволновых системах. Выделяется несколько триплетов. Первый связывает двумерную (2Б) волну II моды с частотным параметром и пару трехмерных (3Л) волн I моды на субгармонической половинной частоте -РП/2. Второй триплет связывает такую же волну на ^ с наиболее нарастающей компонентой I вихревой моды на ^ и промежуточной вихревой волной с частотным параметром Нелинейность
быстро приводит к установлению переходного режима и быстрому переходу к турбулентности.
Иная картина зафиксирована в опытах на пористой поверхности. Фиксируется затягивание линейной стадии развития возмущений и достаточно слабые нелинейные взаимодействия. Среди взаимодействующих частот нет доминирующих, определяющих интенсивность и направленность процесса. Наряду с триплетами, связывающими компоненты I и II мод, биспектральными методами фиксируются нелинейные взаимодействия между вихревыми волнами. Теоретический анализ может способствовать пониманию причин такой разной эволюции возмущений.
В данной работе приведено численное моделирование линейной и нелинейной стадий эволюции возмущений на непроницаемой и пористой поверхностях. Рассмотрены слабонелинейные взаимодействия двух типов: между акустическими (II) и вихревыми (I) модами и между вихревыми (I) модами с заполнением субгармонического низкочастотного спектра. Параметры [6] являлись отправными при расчетах — рассмотрен пограничный слой на конусе с углом полураствора ~7° при скорости свободного потока — Ма = 5.95 и единичном числе Рейнольдса Яе = 12.5 • 106т-1. Рассмотренный при моделировании интервал продольных чисел Рейнольдса соответствовал экспериментальному.
1. Основные соотношения и методы решения. Основные положения нелинейной модели взаимодействия в трехволновых резонансных системах для сжимаемых пограничных слоев на плоской пластине подробно изложены в [8—10]. Следуя им, рассмотрим возмущенное поле скоростей и, и, ^, плотности р0, давления р0 и температуры Т0 сжимаемого газа в безразмерной декартовой системе координат
и = ЩУ) + еи', и = еи', w = еw', р0 = р(У) +
Ро = Р(У) + ер , То = Т(У) + е©', р = ^ + ^ (1Л)
Р р Т
За характерный линейный размер взята толщина пограничного слоя 8 = ^иех / ие, где и — кинематическая вязкость; индекс e соответствует параметрам на внешней границе пограничного слоя. Величины со штрихами и без штрихов — пульсационные и средние компоненты соответствующих величин; масштабный параметр е « 1. Обез-размеривание проведено параметрами потока на внешней границе; числа Рейнольдса
и Маха рассчитаны по этим параметрам: Яе = ^хие/ие, М = ие/ае (а — скорость звука). Безразмерные значения продольной координаты X совпадают со значением Яе. Метод получения распределений и,Т в ламинарном течении описан в [5], р = 1 /Т.
Решение строится методом разложения по малому параметру е и двухмасштабному разложению продольной координаты х. Помимо "быстрого" масштаба X вводится "медленный" масштаб, характеризующий различие скоростей изменения фазы и ам-
плитуды возмущений. Возможность введения "медленного" масштаба обусловлена большим различием указанных скоростей. Будем искать решения для волн вида
и' = А(и(Т)ехр('9), 9 = ]айХ + ]рй? - юг (1.2)
Л ч Г , • '
где А — медленно меняющаяся по продольной координате амплитуда; а = а + га ;
а' < 0 — инкремент; частота ю = 2л/ — вещественная величина; волновые числа а, Р и частота связаны дисперсионным соотношением а = а (ю ,Р) по линейной теории [5].
Подставляя (1.1), (1.2) в полную систему уравнений движения, неразрывности, энергии и состояния для сжимаемого газа [5] в рамках слабонелинейной теории получим следующую систему для возмущений:
[р(Ои + иги) + -'Щ иуу]ехр('0) = -Ри
уМ2 Яе
[рОк + -^Р - куу]ехр('0) = уМ2 Яе
[рОу ^-РУ1]ехр('0) = -Р0 (13)
уМ2 (1.3)
О + руи + р(''аи + иу + в и>)]ехр(''0) = -Рр
[р(О© + Туи) + (у - 1)('аи + иу + 'в к) —^©уу]ехр('0) = -Рв
стЯе
? = р(р -|), О = '(-й+аЦ)
Здесь у = сР / су — показатель адиабаты; а = сР ц е/к — число Прандтля; к — коэффициент теплопроводности. Если Р = 0 уравнения (1.3) есть линеаризованная система для трехмерных возмущений. Нелинейные члены в (1.3) имеют вид:
Ги = р(и' иХ + и' иу + к' и?) + с '(и' + ииХ + иуи')
= р(и' к'Х + и' + к' к?) + $ '(щ + ЦкХ)
Ги = р(и 'иХ + и' и'у + щ 'и?) + С,(и, + ииХ)
Рр = (иХ + иу + к?) + и' д Х + и' + щ' $ ?
II III 2 I I I
Г® = £ (&, + и & Х + иу&' ) + р(и' 0 Х + и '&у + щ' & ?) + 2у(у - 1)М р' (иХ + иу + к?)
Нелинейные эффекты здесь определяют квадратичные по амплитуде слагаемые.
Краевые условия для возмущений на непроницаемой поверхности имеют вид
и, и, и, 0 = 0 (У = 0, У = да) (1.4)
Рассмотрим краевые условия для пористой поверхности. При больших значениях поперечной координаты у — это условия затухания возмущений в бесконечности как в (1.4); на стенке У= 0 — условия непроскальзывания вдоль поверхности и отсутствия возмущений температуры и, к, 0 = 0, а также связь и(0) = Кр(0), полученная из уравнения движения и закона проницаемости [11—13].
Для построения коэффициента К предложено ряд моделей. Две из них можно найти в [11]. В данной работе воспользуемся моделью [12, 13], хорошо зарекомендовав-
шей себя при моделировании сжимаемых газов. В ней рассматривается перфорированная пластина с диаметром цилиндрических пор г и расстояниями между ними, малыми в сравнении с толщиной пограничного слоя. Поры ориентированы по нормали к поверхности. Получено, что К = п ■ Н)/¿0, где п — пористость, Н — толщина пористого покрытия, X — постоянная распространения, ¿0 — характеристический импеданс. По аналогии с электропроводной линией [14] значения X и ¿0 выражаются через импеданс элемента трубы и коэффициент, характеризующий запас энергии сжатия и потери за счет теплоотдачи к стенкам Ж. Эти акустические параметры характеризуют соотношение между средней по сечению трубы (поры) объемной скоростью и давлением. Получено, что в безразмерном виде [12]
, 1о иЮеЯёгЛ
¿1 = ¡ас—-г, Ж = -гасМ
12 ((а с КегИ
у + (у-I)7
10(7 гас Ке от)
о а1 УЖ
Здесь /0 и /2 — функции Бесселя нулевого и второго порядков.
При М ~ 5 безразмерная толщина ламинарного пограничного слоя соответствует значению У = 17, интегрирование (1.3) проведено в интервале 0 < У < Ук, Ук = 25. После того как удается установить дисперсионные связи а (Ке,ю ,р) и найти собственные амплитудные функции волн при нормировке ||( Ук) = 1, законы развития возмущений в линейной области можно считать известными. В слабонелинейной теории при этих искомых параметрах нелинейность оказывает влияние только на амплитуду волны А.
В основе резонансной модели лежит процесс попарного взаимодействия волн в поле третьей в условиях синхронизации их фаз. Проанализируем нелинейное развитие возмущений, удовлетворяющих
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.