ЭКОНОМИКА И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ, 2008, том 44, № 4, с. 58-71
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЭКОНОМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
ЦЕНОВАЯ КОНКУРЕНЦИЯ И СТРУКТУРА РЫНКОВ В ВЫСОКОТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ОТРАСЛЯХ © 2008 г. П. Б. Рудник
(Москва)
На основе известной модели Шакеда и Саттона построена модель ценового равновесия в вертикально дифференцированном рыночном пространстве, включающая предпосылку о том, что на рынке присутствует группа потребителей, не заинтересованных в приобретении одного или нескольких продуктов сравнительно низкого качества. Показано, что данная предпосылка является существенным фактором формирования ценового равновесия.
1. ВВЕДЕНИЕ
В настоящей статье построена экономико-математическая модель ценового равновесия в вертикально дифференцированном рыночном пространстве. Данная модель создана на основе известной модели Шакеда и Саттона (Shaked, Sutton, 1982, p. 3—13), от которой ее отличает дополнительная предпосылка (далее — основная предпосылка), которая существенно влияет на формирование ценового равновесия. В рамках разработанной модели предполагается, что на рынке присутствует группа потребителей, которые не хотят покупать продукты низкого качества — для данных потребителей низкокачественные продукты бесполезны — им нужны только высококачественные продукты.
С практической точки зрения предположение о существовании на рынке вертикально дифференцированного продукта потребителей, не заинтересованных в покупке низкокачественных продуктов, может оказаться оправданным. Искать таких потребителей следует, прежде всего, на рынке высокотехнологического продукта (такие рынки, как показали Х. Вэриен (Varian, 2001, p. 5—9) и Дж. Саттон (Sutton, 1986, p. 393), являются рынками вертикально дифференцированных продуктов), где постоянное улучшение старых и появление новых потребительских свойств предлагаемых продуктов может способствовать привлечению новых потребителей. Например, группа потребителей, желающих покупать только продукты наивысшего качества, могла существовать на рынке ЭВМ в конце 1980-х и начале 1990-х годов ХХ в. До этого времени на рынке были представлены исключительно ЭВМ, предназначенные для использования в рамках организаций. Они отличались большими размерами, высоким энергопотреблением, высокими расходами и сложностью эксплуатации, а также относительно низкой производительностью и ограниченными функциями. В целом, по совокупности перечисленных стоимостных, а главное, потребительских характеристик ЭВМ того времени не представляли интереса для индивидуальных потребителей (физических лиц), и те не были готовы платить за решения столь "низкого качества".
В конце 1980-х — начале 1990-х годов ситуация изменилась. На рынке появились персональные ЭВМ (ПЭВМ), которые, помимо относительно низкой стоимости, обладали потребительскими характеристиками, привлекательными для индивидуального потребителя (ПЭВМ были компактными, эргономичными, позволяли реализовать актуальные для простых людей функции, обладали гибкой архитектурой). Поскольку ПЭВМ справлялись с задачами, которые ранее решались с помощью ЭВМ, можно говорить о том, что качество ПЭВМ было выше качества ЭВМ. Итак, в конце 1980-х — начале 1990-х годов сложилась ситуация, когда наряду с ЭВМ на рынке появились ПЭВМ, заинтересовавшие индивидуальных потребителей. Они-то и могли сформировать описанную основной предпосылкой группу потребителей.
Для того чтобы упростить дальнейшие формулировки, будем считать, что на рынке имеет место инкрементальный спрос, если совокупность потребителей, присутствующих на рынке, может быть разбита на два непустых непересекающихся подмножества (группы), удовлетворяющих следующим свойствам.
1. В первую группу вошли потребители, заинтересованные в приобретении любого предлагаемого на рынке продукта (у этих потребителей множество альтернатив, рассматриваемых
при принятии решения о покупке, включая, наряду с отказом от покупки, все предлагаемые продукты).
2. Вторую группу составили потребители, готовые приобрести только один или несколько наиболее качественных продуктов. Это значит, что при принятии решения о покупке только качественные продукты рассматриваются потребителями как альтернативные.
Поскольку изложенная ниже модель построена на основе модели Шакеда и Саттона (Shaked, Sutton, 1982, p. 3—13), она лежит в русле исследований по теории рынков вертикально дифференцированных продуктов, сформированной работами Дж. Габжевича и Дж. Тисса (Gabszewicz, Thisse, 1979, p. 340-359), А. Шакеда и Дж. Саттона (Shaked, Sutton, 1982, p. 3-13) и К. Мурси и (Moorthy, 1988, p. 141-168). Но поскольку построенная модель включает инкрементальный спрос, тем самым продолжается изучение вертикально дифференцированного рыночного пространства с инкрементальным спросом, начатое в работе П. Рудника (Рудник, 2007, с. 4-7).
В настоящей статье экономико-математическое моделирование предпринято в следующих целях:
1) определить условия, от которых зависит, сколько фирм будут иметь положительные рыночные доли в равновесии (это позволит выявить причины формирования различных структур предложения на рынке вертикально дифференцированного продукта с инкрементальным спросом);
2) рассмотреть динамику ключевых характеристик равновесия (сравнительная статика) таких, как число фирм в равновесии, доли рынка фирм, равновесные цены, доходы фирм, в зависимости от характеристик спроса и предложения.
2. ИСХОДНЫЕ ПРЕДПОСЫЛКИ И СЕГМЕНТАЦИЯ РЫНКА
Сформулируем необходимые предположения.
1. На рынке присутствует n фирм, и каждая фирма производит и предлагает потребителям некоторый продукт.
2. Продукты фирм - товары длительного пользования (в частности, это означает, что один потребитель приобретает одну единицу продукта).
3. По отношению друг к другу продукты фирм являются несовершенными субститутами, а именно, предлагаемые продукты взаимозаменяемы и отличаются друг от друга своим качеством, которое чем выше, тем более предпочтительным будет продукт для каждого потребителя.
4. Предельные издержки производства продукта к равны нулю Vk е {1, ..., n}.
5. Фирма к предлагает продукт к по ценеpk.
6. Множество потребителей T может быть разбито на два непустых непересекающихся подмножества T1 и T2 (T = T1 u T2, Ti О T2 = 0) таких, что потребители из T1 заинтересованы в приобретении любого из к предлагаемых продуктов (им более или менее полезен каждый продукт), а потребители из T2 готовы купить только один или несколько продуктов наиболее высокого качества, а все другие для них бесполезны (это значит, что только эти наиболее качественные продукты рассматриваются потребителями из T2 как альтернативы при принятии решения о покупке).
7. Доходы присутствующих на рынке потребителей дифференцированы. Доходы потребителей из множества T1 распределены равномерно с плотностью, равной единице, на отрезке 0 < a < t < b,
а доходы потребителей из множества T2 распределены равномерно с плотностью, равной единице, на отрезке 0 < c < t' < d. Это означает, что, например, для t1, t2 е [a, b] число потребителей с доходом t1 равно числу потребителей с доходом t2. Обозначим T1 = [a, b], T2 = [c, d] и будем говорить "множества потребителей T1 и T2", подразумевая множества T1 и T2.
Пусть U(t, к) - величина полезности, которую достигает потреблением единицы продукта к и обладанием доходом t потребитель из множества T1; функция полезности имеет вид U(t, к) = uht, где 0 < u0 < ... < un (продукты пронумерованы в порядке возрастания качества).
Инкрементальный спрос определим следующим образом. Пусть потребители из множества T2 не осознают или не получают никакой полезности от потребления первых n - m продуктов (т.е. продуктов к = 1, ..., n - m, где 0 < m < n), а признают полезным потребление продуктов качества
к = п - т + 1, ..., п. Обозначим через и\1', к) функцию полезности потребителей из множества Т2, и пусть она имеет вид Ц1^', к) = ик t', где 0 < и0 < «п _ т +1 < и), _ т + 2 < ... < . При этом в силу сказанного выше Ц'(t', 0) > Ц'(t' — рк, к), Vt' е Т2, Ук е {1, ..., п — т} и Урк > 0, поэтому имеет место соотношение и1, ..., ип-т < и0.
Пусть Ск = Мк/(Мк - Ык-1), Ск = и'к/(и'к - и'к_ 1). Очевидно, что Ск > 1 и Ск > 1. Определим уровень дохода tk на множестве потребителей Т1 так, чтобы потребителю из множества Т1, обладающему доходом tk, было безразлично, купить ли ему продукт к по ценерк или продукт к - 1 по цене Рк -1, а именно, - рк, к) = Щк - рк к - 1), где ^ = Р1С1 и tk = рк -1(1 - Ск) + ркСк. Из сказанного следует, что потребители, получающие доход t > tk, предпочтут продукт к по цене рк продукту к - 1 по цене рк -1, и наоборот. Таким образом, потребители из множества Т1 группируются в сегменты, представляющие рыночные доли фирм.
Зададим уровень дохода 4 на множестве потребителей Т2 так, чтобы потребителю из множества Т2, обладающему доходом 4, было безразлично, купить ли ему продукт к по ценерк или продукт к - 1 по цене рк - 1, а именно, Ц( - рк, к) = Ц( - рк - 1, к - 1), где 4 = рт С'т и 4 = рк - 1(1-Ск) + рС. Причем, согласно данному выше определению функции полезности Ц, если 4 е [с, то потребители из Т2 с доходом t' е [с, 4 ] предпочтут воздержаться от покупки. Из сказанного следует,
что потребители, получающие доход t' > 4, предпочтут продукт к по ценерк продукту к - 1 по цене рк - 1, и наоборот. Таким образом, потребители из множества Т2 группируются в сегменты, представляющие рыночные доли фирм.
Предположим, что фирма (или фирмы), обслуживающая инкрементальную часть спроса, не может осуществлять ценовую дискриминацию - предлагать свой продукт сегментам Т1 и Т2 по разным ценам, и назначает единую цену для всех потребителей.
Все формулировки, приведенные выше, допускают описание и анализ различных реализаций инкрементального спроса. Ниже будет рассмотрен только простейший вариант реализации инкрементального спроса. Речь пойдет о ситуации, когда на рынке присутствует группа потребителей, каждый из которых заинтересован в покупке только продукта наивысшего (из числа доступных на рынке) качества.
3. ЦЕНОВОЕ РАВНОВЕСИЕ В УСЛОВИЯХ, КОГДА ТОЛЬКО ОДНА ФИРМА ОБСЛУЖИВАЕТ ИНКРЕМЕНТАЛЬНУЮ ЧАС
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.