ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2007, том 414, № 3, с. 295-298
= МАТЕМАТИКА
УДК 519.21
ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ДЛЯ СЛУЧАЙНЫХ РАЗБИЕНИЙ ОТНОСИТЕЛЬНО МЕРЫ ПЛАНШЕРЕЛЯ
© 2007 г. Л. В. Богачев, Ч. Г. Су
Представлено академиком Я.Г. Синаем 09.08.2006 г. Поступило 09.01.2007 г.
В работе получена центральная предельная теорема для ансамбля случайных разбиений с мерой Планшереля. Основной результат состоит в том, что при надлежащей нормировке локальные флуктуации диаграмм Юнга относительно их предельной формы слабо сходятся к нормальному закону. Вблизи краев спектра центральная предельная теорема продолжает действовать в переходной зоне, асимптотически примыкающей к области экстремальных порядковых статистик. Результаты работы дают ответ на вопрос Логана и Шеппа (1977) и существенно дополняют известную теорему Керова (1993) о сходимости интегральных флуктуаций к обобщенному гауссовскому процессу.
1. ВВЕДЕНИЕ
Разбиением натурального числа п называется любая последовательность целых чисел X = = {Х1, Х2, ...}, такая, что Х1 > Х2 > ... > 0 и Х1 + + Х2 + ... = п (обозначение: X Ь п). Всякое разбиение X Ь п можно представить геометрически с помощью так называемой диаграммы Юнга, составленной из п единичных квадратов (клеток) в последовательных столбцах, содержащих соответственно Х1, Х2, ... клеток.
На множестве := {X Ь п} всех разбиений данного числа п рассмотрим меру Планшереля
Рп(X) := п-, Хе
где - количество стандартных таблиц данной формы X, т.е. всевозможных размещений чисел 1, 2, ..., п в клетках диаграммы Юнга X, та-
Department of Statistics, University of Leeds, United Kingdom
Department of Mathematics, Zhejiang University, Hangzhou, PR. China
ких, что числа возрастают в каждом ряду (слева направо) и каждом столбце (снизу вверх).
Заметим, что Рп является вероятностной мерой
в силу тождества Бернсайда ^ с1 X = п! [5, 6]. Ме-
X е
ра Планшереля естественным образом связана с теорией представлений симметрической группы [6], но возникает также в ряде комбинаторных и вероятностных задач (см. [5]). Например, распределение максимального члена X1 = тах^ е X Ь п] относительно меры Рп совпадает с распределением длины максимальной возрастающей подпоследовательности в случайной (равномерно распределенной) перестановке порядка п (см. [3, 5]).
Верхнюю границу диаграммы Юнга, соответствующей разбиению X е <&п, можно рассматривать как график кусочно-постоянной (непрерывной слева) функции
X(X) :=
ГХЬ X = 0,
М,
X > 0,
(1)
где Гх! := min{m е Z: m > x} - верхняя целая часть числа х. Логан и Шепп [10] и независимо Вершик и Керов [1] обнаружили, что при n ^ ^ типичная диаграмма Юнга при надлежащей нормировке имеет предельную форму, задаваемую некоторой функцией y = ю(х). Это означает, что для подавляющего большинства разбиений X е (относительно меры Планшереля Pn) граница их нормированных диаграмм Юнга содержится в произвольно малой окрестности графика y = w(x). Более точно, рассмотрим функцию y = ю(х), х > 0, заданную при х е [0, 2] параметрическими уравнениями
2
х = -(sin0 - 0cos0), y = х + 2cos0,
я (2)
0<0<л,
и доопределенную нулем при х > 2. Тогда случайный процесс
An(х) := Х(ТПх) - 4Пю(х), х > 0, (3)
2
удовлетворяет закону больших чисел [1]
Ve> 0 limpJ-L sup |(x)|>el = 0.
n ^га [V П x > 0 J
В частности, при x = 0 отсюда следует закон больших чисел для максимального слагаемого Х1
Ve > 0 lim Pn
7-2
л/П
> e ^ = 0.
Замечание 1. В силу инвариантности меры Планшереля относительно транспонирования диаграмм Юнга X ^ X (когда столбцы диаграммы X становятся строками транспонированной диаграммы X и наоборот) такой же закон больших чисел
выполняется для XI, т.е. для числа членов в разбиении X.
2. ФЛУКТУАЦИИ ДИАГРАММ ЮНГА
Логан и Шепп [10] поставили естественный вопрос о предельном распределении величины Дп(х). Керов [9] дал частичный ответ, установив асимптотическую нормальность интегральных флуктуа-ций относительно подходящего класса пробных функций (т.е. в смысле обобщенной сходимости). Более точно, в координатах и = х - у, V = х + у граница диаграммы Юнга задается соответствующей
кусочно-линейной (непрерывной) функцией X (и), а предельная кривая принимает вид (см. [1])
Щ( u) :=
22 |u arcsinu + л/4 - u21,
Л 2 N У
\u\ < 2,
\u\ > 2.
Тогда, согласно [9], случайный процесс
Дп(и) := X(4пи) - 4пО.(и), и е К,
сходится по распределению (без дополнительной нормировки!) к обобщенному гауссовскому процессу Д(и), и е [-2, 2], задаваемому с помощью формального ряда
9) 2v Xk sin (к 9) 9 ]
Д(2cos9) = - У ---, 9e [0, п],
п
к = 2
4к
"спектра"1 разбиения, т.е. для Xi е X Н п при -Гц ~
4п
~ х е (0, 2); с другой стороны, упо мянутый выш е результат Керова об обобщенной сходимости ставил под сомнение наличие обычной сходимости. Цель нашей работы - получить такую теорему (см. раздел 3).
Отметим, что асимптотическое поведение флуктуаций на верхней границе предельного спектра (отвечающей значению х = 0) отличается от гауссовского. Как было показано в [3] для X! и в [4, 8, 11] для любого Xk с фиксированным номером к е
lim P
\Хк -24П
1/6
< z \ = Fk (z), z e
(4)
где ^к(0 - функция распределения к-й порядковой статистики в ансамбле Эйри, открытом ранее в связи с предельным распределением старших собственных значений случайных матриц из гауссовского унитарного ансамбля (ГУА) (см. [13]). В частности, функция ^1(0 задает распределение Трейси - Уидома (Tracy-Widom).
С точки зрения предельной теоремы Керова крайние значения XX, X2, ... могли бы представлять опасность, поскольку, согласно формуле (4), флуктуации процесса Дп(х) в зоне размера 0(п- 1/2) около точки х = 0 весьма велики (порядка п1/6). На самом деле, как показывает эта теорема, край спектра не дает сколько-нибудь существенного вклада в интегральные флуктуации. Подчеркнем, однако, что ситуация внутри спектра (т.е. для 0 < < х < 2) оставалась неясной.
3. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Заметим, что значение параметра 0 в уравнениях (2), отвечающее координатам х и у = ю(х), имеет вид
9( x) = arccos
ю( x)-x
Напомним, что Дп(х) определено формулой (3). Следующая теорема составляет главный результат работы.
Теорема 1. Пусть хп е (0, 2), причем
где {Хк} - независимые случайные величины со стандартным нормальным распределением N(0, 1).
Однако локализованная версия центральной предельной теоремы (т.е. для флуктуаций в данной точке) до сих пор не была известна. С одной стороны, ее справедливость могла казаться естественной, по крайней мере в глубине предельного
lim пsin 9(xn) = га.
(5)
1 Мы используем термин "спектр" в неформальном смысле, имея в виду набор членов разбиения {X, е X} (ср. с книгой [2], где этот термин употребляется в широком контексте комбинаторных структур, характеризуемых своими компонентами).
п ^
п ^ га
u
п ^ га
ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
297
Тогда распределение случайной величины Ли(хи) относительно меры Планшереля Pn асимптотически нормально, а именно
29 jx^Kjx,,) ^ ^(о, !) (n . (6) л/ln(n sin 9(xn))
Теорема 1 охватывает несколько частных случаев, отвечающих положению точек xn в глубине спектра либо вблизи его краев.
Следствие 1. Пусть xn ^ x е (0, 2) при n ^ тогда
29(x)Л n (xn) d
Vln n
Л( 0, 1).
Если xn — 0, nxn — го при n —^ го, то
1/3
(12 nXn) An (Xn) d
Я( 0, 1).
(7)
(8)
Jln (nX2n)
Наконец, если Xn — 2, n(2 - Xn)3 — го при n — го, то
2nAn( Xn)
N (0, 1).
(9)
В самом деле, если хп ^ х е (0, 2), то 0(хи) ^ ^ 0(х) е (0, п) и условие (5) выполняется автоматически. Далее из уравнений (2) следует, что 0(хи) ~
'3 п хл1/3
при хп ^ 0, поэтому соотношение (6)
P \ т
Xe
Xe ^
' n!
n = 0 Xe
n = 0
y p'(x) = ^y ^ y -X = y L = 1.
n! n! n!
Мы доказываем сначала пуассонизированную версию теоремы 1, которая получается при замене меры Рп на Р' и параметра п на '.
Теорема 2. Пусть х( е (0, 2), причем t$т60(хг) ^ го при t ^ го. Тогда относительно меры Р'
20(xt)At(xt) Л 1Г
^ ' У ' - Л (0, 1) (' .
/ln(tsin 9(xt))
Теорема 1 выводится из теоремы 2 с помощью депуассонизации (см., например, [3]). Согласно (10), Pt можно рассматривать как математическое ожидание случайной меры PN, где N - пуассонов-ская случайная величина с параметром t:
P(A) = E (PN(A)) = y t-Pk(A).
(11)
k=0
принимает вид (8). Аналогично при хп ^ 2 в силу
(2) имеем п - 0(хи) ~ (2 - хп)1/2 и (9) следует из (6). Замечание 2. Результаты, аналогичные
следствию 1, были получены в работе [7] для собственных значений случайных матриц из ГУА.
4. ПУАССОНИЗАЦИЯ
Доказательство теоремы 1 основано на стандартной технике пуассонизации (см., например,
[3]). Пусть ^ := ^ - множество разбиений
п = 0
всех натуральных чисел (формально содержит лишь "пустое" разбиение нуля). Для любого X е ^
положим 1X1 := У X; и определим меру Р' (' > 0)
Xi е X
следующим образом:
(10)
Формула (10) задает вероятностную меру на множестве поскольку для X е мы имеем 1X1 = п и, таким образом,
Поскольку N имеет среднее t и стандартное уклонение J~t, в силу (11) можно ожидать, что асимптотику вероятности Pn(A) при n — го можно восстановить по асимптотике P'(A) при t ~ n — го. Точнее, можно доказать, что Pn(A) ~ P'(A) при t ~ ~ n — го, если вариации вероятности Pk(A) малы в
зоне k - n = O(Jn). Для случайных разбиений такой результат был получен в [3].
5. НАБРОСОК ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМЫ 2
В силу (2) утверждение теоремы 2 эквивалентно тому, что при любом z e IR
limP{Xe X(/tXt)JtXt] <az(t)} = Ф(z), t— го (12) где
az(t) := 2/1 cos0(Xt) + 2,J Jы(tsin60(xJ), 2 0( Xt)
а Ф() - функция распределения стандартного нормального закона N(0, 1). Пусть #Iz(t) - количество
точек случайного множества S(X) := ^ (X¡ - i)
i = 1
(X e попадающих в интервал Iz(t) = [az(t), го). Вспоминая определение (1) функции X(-) и учитывая, что последовательность {Xi - i} строго убывает, соотношение (12) можно переписать в виде
limPt{Xe Iz(t)<[JtXt]} = Ф(z). (13)
t—го
Ключевой факт состоит в том, что корреляционные функции случайного точечного процесса {Xi - i}, определяемые равенствами
pk(X1, X2, ..., Xk) := Pt{Xe X1, X2, ..., Xk e S(X)},
Xi e Z, Xi Ф X■,
n
имеют детерминантную структуру [4, 8]
p
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.