научная статья по теме ЦИЛИНДРИЧЕСКИ И СФЕРИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНОЕ БЫСТРОЕ СИЛЬНОЕ СЖАТИЕ ИДЕАЛЬНОГО СОВЕРШЕННОГО ГАЗА С ПОКАЗАТЕЛЯМИ АДИАБАТЫ ОТ 1.001 ДО 3 Математика

Текст научной статьи на тему «ЦИЛИНДРИЧЕСКИ И СФЕРИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНОЕ БЫСТРОЕ СИЛЬНОЕ СЖАТИЕ ИДЕАЛЬНОГО СОВЕРШЕННОГО ГАЗА С ПОКАЗАТЕЛЯМИ АДИАБАТЫ ОТ 1.001 ДО 3»

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА Том 75. Вып. 2, 2011

УДК 532.5:533.6.011.5

© 2011 г. Х. Ф. Валиев, А. Н. Крайко

ЦИЛИНДРИЧЕСКИ И СФЕРИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНОЕ БЫСТРОЕ СИЛЬНОЕ СЖАТИЕ ИДЕАЛЬНОГО СОВЕРШЕННОГО ГАЗА С ПОКАЗАТЕЛЯМИ АДИАБАТЫ ОТ 1.001 ДО 3

Рассмотрена задача о быстром сильном цилиндрически или сферически симметричном сжатии идеального (невязкого и нетеплопроводного) совершенного газа с разными показателями адиабаты. Под быстрым и сильным понимается сжатие за время, много меньшее времени пробега звуковой волны по несжатой мишени, до сколь угодно больших температур и плотностей. Обнаружено, что найденное ранее решение с фокусировкой неавтомодельной волны сжатия в точке отражения ударной волны от оси или центра симметрии (далее — центра симметрии) справедливо при показателях адиабаты, не превышающих 1.9092 и 1.8698 соответственно в цилиндрическом и сферическом случаях. Для газов с бльшими показателями адиабаты построить полное решение с фокусировкой в центре симметрии не удалось. С другой стороны, можно сфокусировать волны сжатия на цилиндре или сфере сколь угодно малого, но конечного радиуса в момент прихода на них, например, особой характеристики или отраженной ударной волны задачи Гудерлея. Показано, что для больших степеней сжатия зависимости от времени координат поршней, реализующих такие фокусировки, и плотности газа на них близки к степенным.

Интерес к задачам о цилиндрически и сферически симметричном нестационарном сжатии стимулирует ряд приложений, включая проекты реализации управляемого инерционного термоядерного синтеза [1—7]. Энергетически оптимальное изэнтропическое сжатие из покоя в покой [8, 9] позволяет достичь нужных значений отношения плотности сжатого газа к начальной плотности и критерия зажигания при низком уровне температуры сжатого вещества. Сжатие, обеспечивающее требуемые температуры, должно начинаться с сильной ударной волны (УВ), идущей к центру симметрии (ЦС). В этом случае время сжатия много меньше времени пробега по несжатому объему звуковой волны ("быстрое" сжатие).

Течение с УВ, отражающейся от ЦС, вблизи него для совершенного газа с отношением удельных теплоемкостей (показателем адиабаты) у описывается автомодельным решением задачи Гудерлея [9—14] с определяемым в процессе решения показателем автомодельности, зависящим от у и "индекса симметрии", равного 1, 2 и 3 в плоском, цилиндрическом и сферическом случаях соответственно. Теоретически за достаточно сильной УВ можно получить сколь угодно высокую температуру, однако даже за отраженной УВ, где плотность максимальна, увеличение плотности для реализации управляемого инерционного термоядерного синтеза недостаточно. По этой причине осуществление быстрого сильного сжатия, обеспечивающего требуемые и температуры, и плотности, возможно при дополнении УВ, идущей к ЦС, следующей за ней неавтомодельной волной сжатия. Наилучшей представляется ситуация, в которой волна сжатия фокусируется в ЦС в тот же момент времени, когда от ЦС отражается пришедшая к нему УВ. Для показателей адиабаты у = 6/5, 7/5 и 5/3 такое объединение выполнено ранее [9, 15].

Цель данной работы — изучить особенности воздействия на первоначально покоящийся газ УВ и следующей за ней центрированной волны сжатия для 1.001 < у < 3. Естественно было предположить, что построенное решение можно распространить на сжатие любых совершенных га-

зов с у > 1. Это предположение, однако, не оправдалось. Как установлено ниже, решение [9, 15] с фокусировкой волн сжатия в ЦС в момент отражения от него УВ перестает быть справедливым одновременно с изменением типа особой точки, прохождение через которую определяет показатель автомодельности задачи Гудерлея.

1. Решения с фокусировкой волны сжатия в центре симметрии или вблизи него. В общем случае для расчета методом характеристик неавтомодельного пучка волн сжатия нужно знать аналитическое решение, справедливое в точке фокусировки, а при фокусировке в центре симметрии (ЦС), где скорость газа и и скорость звука а бесконечны, и в малой ее окрестности. Как уже отмечалось, требуемое решение с фокусировкой С—-характеристик в ЦС построено для трех показателей адиабаты у < 5/3. Полученные с его помощью пучки волн сжатия сравнивались с аналогичными пучками, фокусирующимися на отличных от нуля, но малых расстояниях f от ЦС, т. е. 0 < f ^ 1. Было установлено, что при значениях координаты r, заметно превышающих rf, сравниваемые течения, в том числе траектории частиц газа, практически совпадают. Это обстоятельство используется ниже.

Приведем нужные для дальнейшего результаты работ [9—15]. Так как за начало отсчета времени t взят момент прихода в ЦС УВ и догоняющей ее особой С~--характеристики, то сделаем существенную для t < 0 замену т = |t| и u = usignt. Такая замена не изменяет уравнения течения и дифференциальное равенство

dm = rv_1p(dr - udx) (1.1)

определяющее массовую лагранжеву переменную m. Согласно равенству (1.1) m = const на траекториях частиц. Одну из них с m = 1 примем за траекторию сжимающего газ поршня.

Автомодельное решение задачи Гудерлея ищется в форме [9—14]

u = n-U(5), a = n-A(5), p = pR(5), p = p«4P(5), ¡5 = -, P = — (1.2)

т т т т Y

Входящий сюда показатель автомодельности n = n(y,v) находится из условия прохождения интегральной кривой уравнения

dB = B \у[Б - (U - 1)2][2 - 2nU-vn(Y- 1)U] - B = A2

dU 1 - U [(v «y U + 2n - 2)B -yU(U - 1)(nU - 1) J'

через одну из его особых точек. В плоскости Ub эта особая точка отвечает особой С—-характеристике, приходящей в ЦС одновременно с УВ. Особая точка лежит на левой ветви (при 0 < U < 1) звуковой параболы: B = (1 — U)2. При произвольных у на указанной ее ветви особых точек две.

Для дальнейшего важны три пары значений у:

Y* = 1.9092,1.8698; y** = 2.3677,2.2217; Y*** = 1.1465,1.2204

для v = 2(первое число в паре) и v = 3 (второе число) соответственно. Если 1 < Y < Y*, то нижняя особая точка — седло, верхняя — узел, и решение задачи Гудерлея дает интегральная кривая, проходящая через седло. При у = у* особые точки сливаются. При Y* < Y особых точек опять две, но решение дает интегральная кривая, проходящая через верхнюю особую точку — узел. Если у* < у < у**, то нижняя особая точка остается седлом, а при у** < у она становится узлом. Для ряда рассматриваемых далее показателей адиабаты значения n приведены в табл. 1 и 2.

Таблица 1

V У п —а k А • 104 -с, Ст

2 1.001 0.980 46.26 0.0101 1960 63 1947 1015

1.01 0.948 14.94 0.0277 189.1 148 186.3 104.9

1.05 0.907 6.572 0.0512 36.02 206 35.38 22.47

6/5 0.861 2.976 0.0806 8.480 176 8.467 6.568

4/3 0.842 2.138 0.0936 4.962 131 5.034 4.386

7/5 0.835 1.887 0.0986 4.098 110 4.188 3.835

1.50 0.827 1.611 0.1048 3.242 83 3.348 3.281

5/3 0.816 1.302 0.1130 2.397 44 2.513 2.724

У* « 1.91 0.804 1.024 0.1221 1.732 0 1.850 2.275

3 1.001 0.961 46.83 0.0134 1947 93 1942 687.8

1.01 0.902 15.27 0.0363 185.8 213 185.6 73.07

1.05 0.832 6.735 0.0672 34.80 290 35.35 16.26

6/5 0.757 3.016 0.1069 7.968 237 8.564 5.020

4/3 0.728 2.145 0.1247 4.591 170 5.135 3.449

7/5 0.717 1.885 0.1315 3.768 140 4.287 3.050

1.50 0.704 1.600 0.1399 2.956 101 3.443 2.648

5/3 0.688 1.282 0.1509 2.161 48 2.602 2.243

У* » 1.87 0.674 1.034 0.1611 1.617 0 2.013 1.958

Таблица 2

V У п а = 1/п -в (а - в) • 103 5 а

2 3 0.776 1.289 0.151 6.252 0.5031 0.765 1.300

2.8 0.779 1.284 0.146 4.679 0.5026 0.856 1.291

2.6 0.783 1.277 0.141 2.772 0.5017 0.972 1.282

У** « 2.37 0.789 1.268 0.134 0 1/2 1.153 1.268

3 3 0.636 1.571 0.199 8.954 0.3363 0.662 1.593

2.8 0.640 1.561 0.195 7.512 0.3361 0.744 1.579

2.6 0.645 1.550 0.189 5.608 0.3357 0.850 1.563

2.4 0.651 1.536 0.182 3.056 0.3348 0.991 1.543

У** ~ 2.22 0.657 1.521 0.174 0 1/3 1.160 1.521

При соответствующем выборе масштабов параметры газа на особой характеристике определяются равенствами [14]

2а V л

а а л т Г/,,-. П - 1

а = т , и = цт , р = 1, р =-, I = — = (ц + 1)т, а = ■

vn

т = п

1/^п)

V т

пг

(ц + 1)1-1^ V (1-п)/(™)(ц + 1)1+(1-n)/(vn)'

Ч =■

(1.3)

Ц1,2 =

IVп - у - 2 + 2п - sign(y - у*п - у - 2 + 2п)2 - 8у(1 - п)2

2у(1 - п)

При у = ^ подкоренное выражение в последней формуле обращается в нуль, что приводит к квадратному уравнению для = Его корень, удовлетворяющий

условию конечности энергии, дает нужные для дальнейшего связи [16]

2 +

(У2+77*)2 2/27*

+ У ^

ц* =

А

(1.4)

*

В пучке волн сжатия, который нужно построить, зависимость энтропийной функции р/р от m такая же, как на особой характеристике. Следовательно, согласно формулам (1.3) р/р = m2a/Y, и

1/к ю у -1 а /1 гч

р = а' т , к = --, ю = — (1.5)

2 к

Введем характеристическую переменную п, постоянную на каждой -характеристике. Тогда уравнения, описывающие вместе с формулой (1.5) течение в пучке, примут вид [9, 15] (нижние индексы означают дифференцирование по m и п)

ат + кит + 1 ки - — = 0 рагп \ ат - — I + киип - иап = 0 ург ут У ут)

( ч(1-у)/у (1.6)

_ = и + а Т = (уг) "

т » 1т

ра ра

При построении примыкающей к особой характеристике неавтомодельной центрированной волны сжатия с фокусом в ЦС решение системы (1.6) искалось в виде сумм удовлетворяющих ей распределений (1.3) и добавок, которые вблизи фокуса предполагались малыми. При nmЛ ^ 1 найденные распределения a и u даются формулами

а а та(1 + птЛ), и а та(ц + кцтА); Д = 2(1 - и)1—кк + ^(к + 1) - 1 (1.7)

(1 - кк^уци

Входящий в них множитель k — тот из корней полученного ранее [9, 15] квадратного уравнения, при котором показатель степени А положителен, т.е. при nmЛ ^ 1 добавки к распределениям параметров (1.3) на особой характеристике малы. Характеристическая переменная п ^ 0, причем п = 0 отвечает особой характеристике.

При построении решения (1.7) для z и т получаются выражения

, ^ Л v1/vи(1 - СтцтЛ) 1/(уи)

г = (ц +1)т(1 + СгПт ^ т«—:—(^Ткг-т1 )

(ц +

С = кк -1 - ц - кц С =v + кv + к(v- 1)Сг

Сг = , , ч .ч, = '

к(ц + 1)(1 + А) vк(1 + vиA)

справедливые при nmЛ ^ 1. Вместо них, однако, z и т можно находить интегрированием по m при любых п > 0 третьего уравнения системы (1.6) с a и u из (1.7) и р из (1.5). Поступив аналогичным образом с пос

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком