ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2007, том 417, № 6, с. 769-773
= МЕХАНИКА =
УДК 533
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЙ ЭЛЕКТРОД В ПОТОКЕ ИОНИЗОВАННОГО СТОЛКНОВИТЕЛЬНОГО ГАЗА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
© 2007 г. В. А. Котельников, М. В. Котельников
Представлено акдаемиком Р.Ф. Ганиевым 10.04.2007 г. Поступило 09.04.2007 г.
Цилиндрический электрод, помещенный в поток слабоионизованной столкновительной плазмы, можно рассматривать как электрический зонд, предназначенный для исследования параметров этого потока. С другой стороны, такой электрод может быть элементом конструкции гиперзвукового летательного аппарата, движущегося в достаточно плотных слоях атмосферы. Теоретические исследования в области процессов переноса вблизи электрода цилиндрической формы, находящегося в потоке столкновительной плазмы, имеются в работах [1-5]. Однако достаточно полных исследований переноса массы, заряда, импульса, энергии на цилиндрический электрод в поперечном потоке столкновительной плазмы с учетом процессов конвекции, диффузии и подвижности, осложненных наличием магнитного поля, в литературе найти не удалось. Так, в [2] использована достаточно грубая модель безвихревого обтекания цилиндра нейтральным газом, не позволившая учесть существенного влияния вихрей в теневой области на процессы переноса. В [3, 5] основное внимание уделено асимптотическим моделям, в которых пренебрегалось влиянием подвижности в сравнении с диффузией и конвекцией. В [4] в достаточно строгой постановке исследовано турбулентное обтекание цилиндра столкновительной плазмой, однако ламинарный режим практически не рассматривался. Влияние магнитного поля на процессы переноса в упоминаемых работах либо не изучалось [3, 5], либо исследовалось в недостаточном для практики интервале изменения характерных параметров задачи [1, 2, 4].
Цилиндрический электрод радиуса гр и потенциала фр расположим поперек набегающего со скоростью ин потока столкновительной плазмы, а магнитное поле индукции В направим вдоль оси
Научный центр нелинейной волновой механики и технологии
Российской Академии наук, Москва
цилиндра. Будем считать, что длина цилиндра много больше его радиуса.
При формулировке математической модели задачи будем предполагать, что плазма слабоиони-зованая, химические реакции заморожены, внешнее магнитное поле постоянно, а динамика нейтральной компоненты подчиняется уравнениям Эйлера. Система уравнений имеет вид [5]:
дп
+ аху (п и,.) = о,
д п
+ &у (пеие) = 0,
Ш и, кТ
т"77 = -—Vп, + 2е(Е + и , х В) - ^га(иг - иа), ш п,
Ш и кТ
те "ТТ = -""¡Т - е(Е + и е Х В) - Меа^а(ие - ^
ш пе
е(пе - 2п.) „
ДФ = -"", Е = -Уф,
(1)
^ + а1у(Ра иа) = 0,
д(Раиа)
д г
д ( Р а Е а )
дг
^У(раиа иа) = -V Ра
+ ^У(ра иаЕа) = -Шу ( иаРа ),
2л
ЫЛ , „ „ „ и а
Ра = [Еа - -2^ра(У - 1), Еа = Та + 2.
В системе уравнений п, р, Т, Р, V - концентрация, плотность, температура, давление, частота столкновений. Все остальные обозначения общепринятые. Индексами ,, е, а отмечены ионы, электроны и нейтральные атомы. Система (1) должна быть дополнена начальными и граничными условиями, вытекающими из физических соображений [5]. В системе отсутствует уравнение энергии для
о
электронов. Однако влияние температуры электронов учитывалось путем введения параметра
о Т
£ = —, который варьировался в достаточно шиТ е
роких пределах. Такой подход с успехом использован в работах [1, 2, 5].
Систему (1) решали методом установления. В начальный момент времени t = 0 на цилиндр подается импульс потенциала с бесконечно крутым фронтом нарастания. При t > 0 начинается эволюция возмущенной зоны от начального состояния к новому стационарному состоянию. Динамику системы рассчитывали методом крупных частиц Давыдова [6]. На каждом временном слое вычисляли самосогласованное электрическое поле путем численного решения уравнения Пуассона.
В результате проведения вычислительных экспериментов получены поля скоростей, концентраций и температур компонент плазмы, распределения плотностей токов ионов и электронов по обводу цилиндра и интегральные токи на единицу длины цилиндра, а также распределения напряженности и потенциала самосогласованного электрического поля. Если положить в системе (1) В = 0 и ин = 0, то задача сводится к известному из литературы [1, 2] случаю заряженного цилиндра в покоящейся плазме с постоянными свойствами без магнитного поля. Полученные в
этом приближении результаты полностью совпали с результатами работ [1, 2].
Задача имеет большое число характерных па-
г
раметров: г0 = — - безразмерный радиус цилиндра
кТ
-1
(гО - радиус Дебая); ф0 = фр |—J - безразмерный
о Т
потенциал цилиндра; о = Т-- - отношение темпера-
Бе 1 (ш)1/2 тур ионов и электронов; О = — = — —
72\ше)
X
Т)1/2
Х|Т.) -
отношение коэффициентов диффузии
. О, .
электронов и ионов; и0 = ин | — - безразмерная
п 2 ю,
направленная скорость; р, =--параметр Холла
^¡а
для ионов (ю, - ларморовская частота вращения для ионов, \аа - частота столкновенимй ионов с атомами).
Провести физический анализ решения оказывается достаточно сложно. Приходится многократно проводить вычислительный эксперимент, последовательно добавляя новые параметры. Иногда удобно использовать безразмерные кри-
О
терии, такие, как Яе = Д р - электрическое чис-
( кГЛ-1/2
ло Рейнольдса, М = ин ^ —- число Маха.
На рис. 1 приведены поля скоростей ионов, электронов и нейтральных атомов.
Отчетливо наблюдается вихревое движение нейтральных атомов в теневой области тела, увлекающее за собой и ионную компоненту, которая в данном случае еще и притягивается полем цилиндра. Вследствие этого возможно появление локального максимума плотности ионного тока в теневой области. В процессе формирования вихря наблюдается также сгущение линий тока
ионов в боковой области цилиндра, что может привести к появлению здесь еще одного локального максимума плотности ионного тока.
Появление немонотонности в распределении плотности ионного тока по обводу цилиндра возможно лишь при определенных сочетаниях характерных параметров задачи. Например, локальные максимумы во второй и третьей четверти цилиндра пропадают, если число Маха становится меньше 0.01 (М < 0.01), или если безразмерный радиус цилиндра г0 при прочих равных условиях становится больше 30 (г0 > 30). Физическая причина появления немонотонности в распределении плотности тока напоминает концевой эффект, обнаруженный С.Д. Хестером и В.А. Сониным в
]е 20
15
10
ТМ = 0.6
ХМ = 0.05
тМ = 0.6
М = 0.05
М = 0.6 М = 0.05
12 3
0.01
0.05 в,
Рис. 3. Зависимость средней плотности электронного тока от Р,-; (г0 = 10, М = 0.05-0.6, ф0 = 5, £ = 3; Яе = 10 (1), 25 (2), 50 (3), 100 (4), 200 (5), 500 (6), 1000 (7).
конце 70-х годов [7] при рассмотрении цилиндрического электрода, ось которого располагалась параллельно вектору скорости потока. Если слой объемного заряда оказывается достаточно толстым, то ионы, входящие через торцевую поверхность слоя, изменяют свою траекторию под действием поля цилиндра и, попадая на него, увеличивают величину силы тока. Если длина цилиндра Ьр недостаточно велика или притягивающий потенциал фр мал или направленная скорость ин слишком велика, то ион может пролететь мимо, так и не попав на зонд. Локальные максимумы на боковой поверхности цилиндра отчетливо видны и на диаграммах изолиний концентраций ионов (рис. 2а).
Рисунок 2а демонстрирует поле концентраций ионов в лобовой, боковой и теневой областях обтекаемого плазмой заряженного цилиндра. Поскольку распределения концентраций и потенциала по угловой координате 0 при наличии направленной скорости теряют центральную симметрию, возникает составляющая электрического поля Е0. Однако сохраняется плоскость симметрии, проходящая через вектор направленной скорости ин и ось цилиндра 2. Включение постоянного магнитного поля с индукцией В, направленного вдоль оси 2, приводит к исчезновению и этой плоскости симметрии. Под действием возникающих понде-ромоторных сил изолинии концентраций и потенциалов искажаются (рис. 26). Это сказывается и на распределении плотностей токов по обводу тела.
С ростом параметра Холла в плотность ионного тока на участке 0 < 0 < п снижается, а на участке п < 0 < 2п увеличивается, так что зависимость т) от 0 принимает достаточно сложный характер. Этот эффект можно объяснить действием пондеромоторных сил, а также возникновением дрейфового движения в скрещенных полях В2 и Е0. Возникающая дрейфовая скорость ид = [ Еа В 2 ]
=--— в интервале 0 < 0 < п направлена по ра-
в2
диусу от центра, а в интервале п < 0 < 2п - по радиусу к центру, что способствует уменьшению плотности ионного тока с одной стороны цилиндра и его увеличению с другой.
Еще один нелинейный эффект был обнаружен в зависимости средней плотности электронного тока т ср на поверхности цилиндра (и интегрального тока на единицу длины цилиндра) от параметров в и Яе при прочих равных условиях (рис. 3).
При значениях Яе < 100 средняя плотность электронного тока т ср с ростом магнитного поля уменьшается, что согласуется с известным в литературе [8] эффектом уменьшения поперечной диффузии заряженных частиц в магнитном поле. Однако в области Яе > 100 на участке в < 102 т ср растет с ростом индукции В, а при в > 102 начинает уменьшаться по тому же закону, что и при Яе < 100.
Анализ распределений плотности электронного тока т по обводу цилиндра позволяет объяснить этот эффект. При относительно больших числах Яе эффекты, связанные с конвекцией, преобладают над диффузией и подвижностью. Вследствие этого плотность тока на боковую поверхность тела незначительна (заряженные частицы, участвующие в конвективном движении, пролетают мимо цилиндра). Наблюдается ток только на лобовую часть цилиндра и на теневую за счет вихревого движения. При включении магнитного поля возникающие пондеромоторные силы в интервале 0 < 0 < п приводят к существенному росту тока на боковую поверхность цилиндра, который превышает уменьшение тока на лобовую и теневую области. При дальнейшем росте индукции В (в > 10-2) растет степень замагниченности электронов, и это приводит к уменьшению]е, так же как при Яе < 100.
В заключение отметим,
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.