МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА <4 • 2008
УДК 532.542.2/.9
© 2008 г. К. Н. ВОЛКОВ, В. Н. ЕМЕЛЬЯНОВ
ТУРБУЛЕНТНЫЕ ТЕЧЕНИЯ В КАНАЛАХ СО ВДУВОМ. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ ПО МЕТОДУ КРУПНЫХ ВИХРЕЙ И ДВУХПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
Проводится моделирование турбулентных течений в каналах с интенсивным распределенным вдувом при помощи метода крупных вихрей и двухпараметрической £-е-модели турбулентности. Расчеты выполняются для различных отношений скоростей вдува со стенок канала. Результаты моделирования крупных вихрей для канала с односторонним вдувом хорошо согласуются с данными измерений, в то время как расчеты по £-е-модели дают менее наполненный профиль скорости в поперечном сечении и существенную погрешность в определении коэффициента поверхностного трения на непроницаемой стенке, а также имеют ряд других недостатков. В случае двухстороннего вдува результаты расчетов по методу крупных вихрей и £-е-модели согласуются между собой и с данными физического эксперимента.
Ключевые слова: турбулентность, моделирование крупных вихрей, канал со вдувом.
Течение в канале с распределенным вдувом служит моделью течения продуктов разложения твердого топлива в камере сгорания ракетного двигателя на твердом топливе, что отражает наиболее существенную сторону процесса - подвод массы со стороны горящей поверхности заряда.
Исследованию течений в каналах с проницаемыми стенками уделяется достаточно большое внимание в литературе [1-13].
Работы [1-3] посвящены экспериментальному изучению режимов течений в каналах со вдувом при различных оформлениях поперечного сечения канала (квадратное, круглое, звездообразное).
Для численных расчетов применяются физико-математические модели различной степени сложности [4-7], реализуемые при помощи конечно-разностных или конечно-объемных методов. Учитывая физические особенности течения, удается добиться существенного упрощения задачи [3-6]. Построение упрощенных математических моделей, вычислительная эффективность которых достигается за счет пренебрежения влиянием некоторых факторов, обосновывается соответствующими оценками и сравнением различных подходов [7].
Уравнения, описывающие течение вязкой несжимаемой между двумя параллельными пластинами, с одной из которых производится вдув со скоростью ик, а другая является непроницаемой, допускают точное решение [4, 5]. Предполагая, что продольная составляющая скорости зависит от координаты х по линейному закону и ~ х[(у), а поперечная составляющая скорости не зависит от продольной координаты и ~ g(y), расчет распределения скорости сводится к интегрированию уравнения
-Яе (gg"'- ^ ?) = 0 (0.1)
Функции/и g связаны при помощи уравнения неразрывности/ = -¿. Граничные условия выставляются на нижней и верхней стенках канала (^ = 0, g' = 0 при у = 0 и g = -1, ^ = 0 при у = 1). Характерным параметром задачи является число Рейнольдса Яе = рцй/ц, где - скорость вдува, Н - расстояние между пластинами.
В предельном случае Яе ^ «> (интенсивный вдув) решение уравнения (0.1) представляется в виде [4, 5]
Интенсивный вдув означает, что скорость вдува значительно превосходит по порядку величины нормальную скорость в пограничном слое вблизи непроницаемой поверхности и в то же время скорость вдува значительно меньше средней скорости течения в канале. В этих условиях течение в слое вдуваемого газа оказывается невязким, а пограничный слой оттесняется от поверхности и преобразуется в слой смешения между вдуваемым газом и течением в канале. Толщина этого слоя оказывается малой по сравнению с толщиной слоя вдуваемого газа.
Данные физического и численного эксперимента показывают, что решение (0.2) достаточно хорошо описывает распределение скорости в турбулентном потоке [1-7] (при Яе > 80). Приближение вихревого течения идеальной несжимаемой жидкости приводит к существенным погрешностям при моделировании турбулентных течений в длинных и узких каналах [8, 9].
Для замыкания уравнений Рейнольдса, описывающих турбулентное течение в канале со вдувом, используются различные модели турбулентности.
Стандартная к-г модель турбулентности дает достаточно точные результаты для каналов с двухсторонним равномерным вдувом [7-11]. В случае одностороннего вдува вблизи непроницаемой стенки канала рассогласование расчетных и экспериментальных данных по интенсивности турбулентности достигает 15-20% [11].
Модели турбулентности 3-го и 4-го порядка, например и2 - f модель, позволяют получить результаты, согласующиеся с данными прямого численного моделирования [8, 12].
Решение ряда прикладных задач (раздувание и эрозионное горение топлива, движение частиц и зашлаковывание участков газодинамического тракта) требует привлечения методов моделирования турбулентных течений, позволяющих рассчитывать не только средние, но и пульсационные характеристики потока.
Моделирование крупных вихрей является компромиссным вариантом между прямым численным моделированием и решением осредненных по Рейнольдсу уравнений Навье-Стокса. Крупные вихри, находящиеся под воздействием граничных условий и несущие в себе максимум рейнольдсовых напряжений, рассчитываются. Мелкие вихри моделируются при помощи моделей подсеточного масштаба. Поскольку прямой расчет мелких вихрей исключается, шаги сетки и временные шаги на порядок превосходят колмого-ровские масштабы длины и времени.
Результаты моделирования крупных вихрей внутренних течений, сформированных вдувом, применялись ранее для исследования устойчивости горения топлива в канале заряда [13] (для замыкания фильтрованных по пространству уравнений Навье-Стокса использовалась модель структурной функции). Расчеты проводились для узкого диапазона параметров и коротких каналов, а двумерная постановка задачи противоречит концепции моделирования крупных вихрей, которая является принципиально трехмерным подходом.
В данной работе проводится моделирование крупных вихрей турбулентных течений в каналах с распределенным вдувом и обсуждается влияние скорости вдува на средние и пульсационные характеристики потока. Результаты расчетов, полученные для различных отношений скоростей вдува с нижней и верхней стенок канала, сравниваются с решением, полученным на основе к - г-модели турбулентности, и данными физического эксперимента.
1. Основные уравнения. Совместим ось х прямоугольной декартовой системы координат с нижней стенкой канала, а оси у и г свяжем с его поперечным сечением. С ниж-
(0.2)
ней и верхней стенок канала осуществляется интенсивнын распределенный вдув со скоростями и ип2 по нормали к поверхности. Левый торец канала полагается непроницаемым.
В декартовой системе координат (х, у, г) нестационарное течение вязкого сжимаемого газа описывается уравнением
Э Q dF Э G ЭИ „ + т" + т" + "-г" = 0
Э t Эх Эу dz
(1.1)
Уравнение (1.1) дополняется соотношением Р = (Y - 1)Р
1,2 2 2 " e - 2 ( u + v + w )
Вектор консервативных переменных Q и вектора потоков Р, О, Н имеют вид
/ \
ри
Рии + Р - Тхх ° = Р V ' г = Р ии-Тху
Рип - тхг
(ре + Р)и - итхх - ху - птхг +
/ ^
p
p u
pv , F =
pw
1 pe 7
G =
pu
Puu - Tyx PUU+ Р - Туу
puw - Tyz
(pe + p)u- uTyx - myy - wTyz + qy y
pw
PWU - Tzx
И = pwv- Tzy
p ww + p - Tzz
(Pe + p ) w - u Tzx - VTzy - w Tzz + qz
Компоненты тензора вязких напряжений и составляющие вектора теплового потока находятся из соотношений
T;
„ (dvv+dvvv -2-dvv s
Це l Эх : dXi 3 Э xk,J
qi
ЭТ
Э x:
Здесь t - время, p - плотность, u, v, w - составляющие скорости, p - давление, e - полная энергия единицы массы, T - температура, у - отношение удельных теплоемкостей.
Уравнение, записанное в виде (1.1), формально совпадает с нестационарными уравнениями Рейнольдса. Эффективная вязкость „е вычисляется как сумма молекулярной вязкости „ и вихревой вязкости (турбулентной вязкости „ в случае RANS и подсеточной вязкости „s в случае LES), а эффективная теплопроводность Xe выражается через вяз-
кость и число Праидтля. Число Праидтля считается постоянным. Для получения значения молекулярной вязкости в зависимости от температуры используется закон Сазер-ленда.
2. Модели турбулентности. Используется двухпараметрическая £-е-модель турбулентности [14] с поправкой Като-Лаундера [15] и поправкой на кривизну линий тока [16, 17].
Уравнения £-е-модели имеют вид [14]
Э pk dt
Эре
ИТ
+ (puV) k = V + (р uV)e = V
ц + Ц 1Vk
ц + Ц 1V е
+ P - ре
+ Се1k(P - се2ре)
(2.1)
(2.2)
P = |^t|S| 1/2| Q|1/2,
1 fd и
SiJ = 2IdXi+ Э х
ди
IS = (2 SjjSjj)112, |Q| = (2 0;.0;.)1/2
о = i fdu - Эи
ij 2 U х : Э хi
Турбулентная вязкость вычисляется по формуле Колмогорова-Прандтля ц = СцР^/е. Постоянным модели присваиваются значения: сц = 0.09, ск = 1.0, ое = 1.3, се1 = 1.44,
"е2 '
1.92.
Для учета кривизны линий тока в формулу для турбулентной вязкости вводится демпфирующая функция [16] /с = (1 + ссЯ1г)-1, где сс = 0.1. Турбулентное число Ричардсона вычисляется по формуле [17]
(bW)
где q - величина скорости, Яс - локальный радиус кривизны, Ь - бинормаль к линии тока, Ф - вихрь скорости.
Используется модель подсеточной вязкости, построенная на основе теории ренорма-лизованных групп.
Расчет эффективной вязкости сводится к решению нелинейного алгебраического уравнения [18]
Це
1/3
ц[ 1 + H(X- C)] , X
2
Ц Ц е
3
(2.3)
где С = 100. Подсеточная вязкость находится из соотношения, описывающего модель Сма-горинского [19], но с другим значением постоянного множителя ц = р(СйА)|512, СК = 0.157.
В полностью турбулентной области течения ц > ц, поэтому це ~ ц5, и ЯКО-модель, описываемая соотношением (2.3), сводится к модели Смагоринского. В слабо турбулентной области аргумент функции Хевисайда становится отрицательным, в связи с чем це ~ ц. Корректное предсказание эффективной вязкости в ламинарной и полностью турбулентной области потока делает возможным использование ЯКО-модели для расчета переходных режимов течения.
Для учета эффектов, связанных с кривизной линий тока, подсеточная вязкость умножается на демпфирующую функцию, зависящую от числа Ричардсона [20]
f (Ris) = (1- CsRis)
1/2
Ri.
ЮГ 1 + юл
I Sil 1+ | S|J'
0.1
2
- c
Ширина фильтра А связывается с размером
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.