ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2004, том 30, № 4, с. 339-348
КИНЕТИКА ПЛАЗМЫ
УДК 533.951
ТУРБУЛЕНТНЫЙ НАГРЕВ ИОНОВ В ПЛАЗМЕ С ДВУМЯ СОРТАМИ ИОНОВ
© 2004 г. И. В. Кузора, В. П. Силин, С. А. Уршпин
Физический институт им. П. Н. Лебедева РАН Поступила в редакцию 26.05.2003 г.
Окончательный вариант получен 22.07.2003 г.
Для плазмы с двумя сортами ионов, обладающих различными отношениями заряда к массе, описан нагрев ионов ионно-звуковой турбулентностью. Показано, что в пренебрежении столкновениями между ионами двух сортов за исключением одного частного случая соотношения параметров плазмы лишь один из двух сортов ионов нагревается существенно, а температура ионов другого сорта выходит на константу, которая незначительно отличается от начального значения температуры ионов. На примере полностью ионизованной НО-плазмы показано, как столкновительный обмен энергией между ионными компонентами снимает такое ограничение температуры ионов.
1. введение
Как известно, в плазме с развитой ионно-звуковой турбулентностью (ИЗТ) (см., например, [1, 2]) имеет место эффективный нагрев основной массы тепловых ионов со скоростями, меньшими скорости ионного звука. В теории ИЗТ турбулентный нагрев ионов связывают с индуцированным рассеянием ионно-звуковых волн на ионах [3, 4]. При этом характерное время удвоения температуры ионов оказывается много меньше обратной эффективной частоты релаксации энергии при ион-электронных столкновениях. Сравнительно большое число работ посвящено теории турбулентного нагрева ионов в плазмах, содержащих ионы одного сорта (см., например, [5—10]). В [6] сформулированы уравнения турбулентного нагрева, качественно характеризующие соотношение притока энергии к ионам от ионно-звуковых волн и потерь, обусловленных, например, столкновениями с электронами. Там же, а также ранее в [5], отмечается, что за счет квазилинейного резонансного взаимодействия с волнами ионы со скоростями больше ионно-звуковой скорости нагреваются быстрее рассматриваемых нами ниже ионов с меньшими скоростями. В [7] уравнения для функции распределения ионов получены последовательно из нелинейной теории взаимодействия волн и отмечено, что в пренебрежении ион-ионными столкновениями решение этих уравнений может существенно отличаться от максвелловского распределения. В [8, 9] на основании самосогласованной теории ИЗТ описан анизотропный турбулентный нагрев ионов. Однако, если в плазме имеется несколько сортов ионов, то, как теория спектра ИЗТ, так и теория турбулентного нагрева ионов ведут к качественно новым закономерностям. Появление новых за-
кономерностей связано, прежде всего, с эффектом усиления вероятности индуцированного рассеяния, возникающим для плазм с различным отношением заряда к массе для ионов разных сортов [11]. Интерес к плазмам с несколькими сортами ионов возник сравнительно давно (см., например, [12-18]), однако спектр ИЗТ в такой плазме был получен лишь недавно [11, 19, 20]. Описание турбулентного нагрева ионов для плазмы с двумя сортами ионов, имеющих совпадающие отношения заряда к массе, дано в [21]. При этом показано, что турбулентный нагрев ионов приводит к линейно растущим с увеличением времени одинаковым температурам двух различных сортов ионов, что подобно случаю плазмы с одним сортом ионов. В настоящем сообщении дано количественное описание турбулентного нагрева основной массы ионов для плазмы с двумя сортами ионов, обладающих различными отношениями заряда к массе.
В следующем разделе приведены необходимые сведения о спектре ИЗТ в плазме с несколькими сортами ионов. Далее, используя кинетические уравнения для ионов, получены уравнения для температур ионов разных сортов. Для случая плазм, содержащих два сорта ионов, изучена эволюция температур ионов во времени. Показано, что в пренебрежении столкновениями за исключением одного частного случая соотношения параметров плазмы лишь для одного из двух сортов ионов температура растет с ростом времени, в то время как температура ионов другого сорта со временем выходит на константу. Далее показано, как столкновительный обмен энергией между ионными компонентами снимает ограничение температуры ионов и оба сорта ионов нагреваются с ростом времени, хотя это может происходить и с разными темпами роста температур.
339
3*
2. спектр турбулентности
В этом разделе, следуя работе [20], приведем основные сведения о спектре ионно-звуковой турбулентности (ИЗТ), необходимые для последующего описания нагрева ионов в плазме с двумя сортами ионов, имеющих массы т1 и т2, причем т1 < т2. Будем рассматривать такие условия, в которых выполнены неравенства
ГЭе ^ ГЭа,
Ъ Т > т
^а1 е 1 а'
(2.1)
распределение числа ионно-звуковых волн N по волновым числам к и углам б волнового вектора [11, 20],
N(к, 008б) = Ф(008б)
К^ьГОе 2 ш
X
Ье
X
^ 2 ( Го 1
22
+ ГО2 )
е1 е2 -4.. ,2 2 .-1 ( 2 2 2 2 )1 т--- I к (1+ к ГОе) Х
(V т 1 Го 1 + Чт 2 ГО2 ^т1 тг
2
(2.3)
где Гоа = л/КТа/4%паеа - дебаевский радиус, Па -плотность, еа - Ъа|е | - заряд, Та - температура ионов сорта а = 1, 2, а е, Те, гОе - заряд, температура и дебаевский радиус электронов, к - постоянная Больцмана. В этих условиях могут существовать ионно-звуковые волны с законом дисперсии
Мл
= к V л /л/1 + (кгВе)2,
где vs = шЬгОе - скорость звука, шь
X
1п-
1 +
22 1 + к ГОе
1
кго
2 2 1/2
( 1 + к ГОе )
ИЛ , /2 2 ч3/2
3 ( 1 + к Г Ое ) _
(2.2)
22 Ш Ь1 + Ш Ь2 ,
шЬа = л/4п па еа/та - ленгмюровская частота ионов сорта а. Кроме волн с частотой (2.2) в плазме с сильно различающимися массами ионов, вообще говоря, может существовать низкочастотный ионный звук со много меньшей фазовой скоростью. Однако, как показано в работе [20], такие низкочастотные волны существуют лишь тогда, когда отношение дебаевского радиуса легких ионов к дебаевскому радиусу тяжелых ионов велико по сравнению с единицей. Поскольку отношение
гО1/гО2 определяется величиной (Т1п2/Т2ъ\п1 )1/2, то условие гО1 > гО2 выполняется при сравнительно большом количестве тяжелых ионов, когда
22
п2/п1 > (Ъ1/Ъ2 )(Т2/Т1). Далее, однако, ограничимся рассмотрением плазм, для которых такое условие не выполнено, и, следовательно, в плазме существуют только волны с законом дисперсии (2.2).
Рассмотрим такую ситуацию, когда ИЗТ возникает из-за воздействия на электроны эффективной плотности силы К = (0, 0, К), Я = епеЕ - дp/дz > 0, где пе, р - плотность и давление электронов, Е - квазистационарное электрическое поле в плазме. При скоростях дрейфа электронов, больших скорости звука, имеет место черенковское излучение ионно-звуковых волн. При этом квазистационарный уровень ионно-звуковых шумов в плазме устанавливается в результате конкуренции черен-ковского излучения волн электронами, а также черенковского поглощения ионами и нелинейного затухания ионно-звуковых шумов вследствие индуцированного рассеяния на ионах обоих сортов. При этом устанавливается следующее
где б - угол между к и К, шЬе - ленгмюровская частота электронов, vTа = „/кТа/та - тепловая скорость ионов сорта а. Спектр ИЗТ (2.3) реализуется в плазме с двумя сортами ионов при условии заметного отличия отношения зарядов к массам для ионов разных сортов
е.-т1
,2 2,2 2 ( ГО1 + ГО2 ) ШЬ1
т2
---I 'О >
2
ГО1
(2.4)
2 2 2 2 v Т1 гО1 + v Т 2 Г О2
и т1 ш ь
+
е 2 Ш Ь2 VТ 2 т2 ш ь V т 1
Если условие (2.4) не выполнено, то спектр ИЗТ имеет такую же зависимость от к, как для плазмы с одним сортом ионов. Явный вид угловой зависимости Ф(сов б) в формуле (2.3) зависит от величины турбулентного числа Кнудсена
К
= (е±- е. 12бп Кш
Ье VТ1 ' О1
22
+ V
22 Т 2 ГО2
т1
т2) Ь V лШЬ (О
22
(2.5)
+ Г о 2 )
где Ь = 0.55. В дальнейшем понадобятся лишь моменты Мп = I1 йхФ (х)хп функции Ф(сов б). В пределе малых чисел Кнудсена Кд < (1 + 5)2 моменты Мп имеют вид
4 К
М=
М 3 п( 1 + 5)
1-£
ас
(п-1)
(2.6)
п = 0, 1, ....
где £ и а£ - малые параметры: а£ = 1п2/1п[(1 + + 5)2/Кд], £ = 2Кд/[3я;(1 + 5)2а£] [11]. Здесь 5 = 5Х + 52, где параметр 5а = fа(vs)/fe(vs) представляет собой отношение функции распределения горячих резонансных ионов сорта а к функции распределения электронов при V = В противоположном пре-
2
2
«£ -1
турбулентный нагрев ионов в плазме с двумя сортами ионов
341
деле, когда Км > (1 + 5)2, угловое распределение пропорционально ^КN, а его моменты равны [11]
Мо — 2.47 К, М = 1.84 К, М2 = 1.44^, Мз = 1.17 К.
(2.7)
/ = I [/а, /в] + А
в = 1, 2,
IV ;
V ;
(3.1)
Л - кулоновский логарифм, а тензор диффузии имеет вид
—
(2 п ) -
2 т^ ш 1
| йк йк шш'3 к" к] N (к) х
(3.5)
х N(к')5(ш" - к''V)|Л„(к, к')|2
3. уравнения для температур ионов
Используя приведенные выше сведения о спектре ИЗТ, получим уравнения для температур основной массы тепловых ионов, имеющих скорости V < V.. Кинетическое уравнение для тепловых ионов сорта а имеет вид
Здесь к'' = к - к', ш'' = ш - ш' - волновой вектор и частота биений взаимодействующих волн, а амплитуда Ла(к, к') при условии (2.4) имеет вид [20]
Ла(к, к') =
а _ ккх
(2П)3ш'[та тв) кк
8ев(ш'', к")
(3.6)
8е1 (ш'', к") + 8е2(ш'', к")' в ,
где Б1[/а, /р] - интеграл столкновений Ландау ио-
Рп(а)
, О] - тензор
диффузии в пространстве скоростей, описывающий взаимодействие ионов с волнами при индуцированном рассеянии. Ограничимся таким случаем, когда распределение ионов при скоростях V < V. - максвелловское
где
8е„(ш'', к") = (к"гвау
1_ 1+
ш''
ТоУ-1
(3.7)
- диэлектрические восприимчивости ионов на частотах биений взаимодействующих волн, а
3/2 „ 2
пата ( тav
/ а( V, г) = -а а 3/2 ехр [_2КТ-(г)
(2пкТа(г)) [ 2кТ«(г)
2 х
). (3.2) 1+(х) = хе"2/21йге'22_хе
(3.8)
Этот случай реализуется при условии, что частоты ион-ионных столкновений между ионами сорта а велики по сравнению с характерными частотами взаимодействия ионов данного сорта с волнами (см. ниже формулы (3.9), (3.20)). Уравнение для температуры получается из уравнения (3.1)
та 2
путем домножения на -— V и интегрирования по
3 па
скоростям. В итоге имеем 2т
й Та йг
3 п„к
Г , /и ,
I йv VОн -— +
3 V]
I
в = е, 1, 2
(Тв _ Та)
1ав
, (3.3)
2 2 3/2
_1 = 4 П е а е в Л пв( тат в )
ав = 3 . _ _ ч 5/2 ,
Т„в
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.