ВЕСТНИК ЮЖНОГО НАУЧНОГО ЦЕНТРА РАН, том 2, №1,2006, стр. 3-9
МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
УДК 517.98
ТЁПЛИЦЕВЫ ОПЕРАТОРЫ С РАДИАЛЬНЫМИ СИМВОЛАМИ НА ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ БЕРГМАНА НА ЕДИНИЧНОМ ДИСКЕ
© 2006 г. А.Н. Карапетянц1
Приводятся достаточные условия ограниченности и компактности операторов Тёплица с радиальными символами, действующих на весовых пространствах Бергмана на единичном диске.
Пусть обозначает весовое пространст-
во Бергмана на единичном диске Б = = {г е С: Ы< 1} в С, состоящее из аналитических на X) функций, принадлежащих весовому пространству ¿^.(Б), Х>-1. Здесь обозначает пространство измеримых на Б функций/, для которых конечна норма
где
||/(г)| 2фх(г) .о
фх(г) = (к +1>(1— I г 12)Хф(г),
1/2
(1\1(2) = —<Ьсйу, Х>-\. %
мана для Для оператора Тёплица Т^
функция Вика определяется соотношением (см., например, [1])
а,(2,*)==(ак^)х,
где = //(2)^(2)фх(2) - скалярное произ-
ведение в А* (Б), а функция
|2ч1+Х/2
КМ=
¡Л2(„)
z,weD
Пространство АХ(Б) является замкнутым подпространством ¿^Ф).
Для измеримой на Б функции а = а(г) оператор лица
А
Тёплица Тд" с символом а не обязательно ограниченный, но определенный на плотном в множестве, имеет вид
Гах/(2) = (^а/)(2),
является когерентным состоянием в А^(Б). Преобразование Березина оператора Тёплица Т^ (или символ Вика) определяется сужением
функции Вика на диагональ и совпадает с преобразованием Березина символа оператора Тёп-
= ¿^(2), 2ей.
Исследования свойств тёплицевых операторов х и их модификаций на пространствах типа Берг-
где Во - (весовой) проектор Бергмана, проекта- маНа, Харди, Дирихле и пр. составляют достаточ
рующий ¿а/О) на А^(Б),
2-Х
здесь Кх(г, м>) = (1 - ги>)~ - весовое ядро Берг-
1 Ростовский государственный университет, Ростов-на-
Дону.
но обширный список результатов в теории операторов и функциональных пространств. Не претендуя на полноту информации, упомянем монографии [2-4] (см. также имеющиеся в этих работах ссылки).
В серии работ [6-10] изучалась динамика в зависимости от изменения параметра веса X свойств Тёплицевых операторов со специальными символами, действующих на весовых
пространствах Бергмана на единичном диске и полуплоскости. Было, в частности, установлено, что поведение некоторых средних в большей степени характеризует свойства ограниченности (компактности) оператора Тёплица, чем поведение самого символа оператора Тёплица. Однако в случае единичного диска упомянутые средние вводились без учета параметра веса. Так, в работе [8] приведены условия ограниченности и компактности (а также принадлежности идеалам Шаттена) для оператора Тёплица в терминах средних, не содержащих параметр веса.
Цель настоящей работы - описать условия ограниченности и компактности оператора Тёплица с радиальным символом, действующего на весовом пространстве Бергмана на единичном диске, в терминах средних, определенных с учетом параметра веса. Такая постановка задачи, по-видимому, более естественна. Кроме того, приводятся некоторые формулы для ви-ковского символа (преобразования Березина) оператора Тёплица с радиальным символом. Для полноты изложения также приводятся некоторые результаты работ [7, 8]. В заключение приводятся результаты по связи между убыванием преобразования Березина и компактностью соответствующего оператора Тёплица.
ВИКОВСКИИ СИМВОЛ И СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОПЕРАТОРА ТЁПЛИЦА
Пусть Z+=Nu{0} и {en,x(z)}nez+ - стандарт-
ный базис в Ах (D):
Обратный изоморфизм Rx = Rx: ll —> A^(D) определяется соотношением
К {Сп)пеZ+ I
ле Z+
Ключевым моментом для дальнейшего является тот факт, что оператор Тёплица с радиальным символом а = а(г), действующий на A^(D), унитарно эквивалентен оператору умножения на последовательность = RiTaR^, действующему на IПоследовательность Уа,х ={Ya,x(n)}/>ez+ задается равенством
Уа,\(П) = {аеп,\>еп.х)х = --} аШ(1 - r)x rndr,
B(n + U + l)o V Л ' (1)
neZ+
где В (а, Ь) - бета-функция. Этот факт установлен в [8], но также легко следует из спектрального разложения, приводимого ниже. В этом разделе считаем, что функция а = а(г) такова, что интегралы (1) имеют смысл.
Теорема 1. Оператор Тёплица Т^ с радиальным символом а = а(г), действующий на Aj[(D), допускает представление
t<viz)= £ yaX{n)(^,enX)xen^z).
п=О
Доказательство. Действительно,
\ °° / % \ Та ф0)= X \та Ф>еп,х)хеп№- Записав функцию
__1__ Г(п + Х + 2)
^/(Х + 1)В(п + 1Л + 1) Г(Л, + 2)п! '
п = 0, 1, 2,...
Как показано в [8], имеет место следующий изометрический изоморфизм Rx■ А^В) —
между весовым пространством Бергмана А? (Б) и (односторонним) пространством квадратично-суммируемых последовательностей :
neZ.,
фе A^(D) в виде ф(г) = £ (ф,епХ) enX(z), имеем
л=0
\ \a(w)q(w)K.k(z,w)dv.x(w) \enx{z)d\lx^) = DVD
= \a(w)<$(<w)d\ix{w)\Kx{z,w)enXWV-x(z') =
D D
= J a{w)<$(w)d\ix(w)\ Kx(w, z)enx(z)d[ix(z) =
D D
= Je(w)9(w)^<? x(w)4ix(w) = (а<р,епЛ =
D
= (ф >еп,х)хУа,х(П)-
Здесь мы учли, что Kx(z, w) = Kx(w,z). Меняя
порядок интегрирования, мы воспользовались теоремой Фубини. Теорема доказана.
Теорема 2. Виковский символ (преобразование
Березина) оператора Теплица Тх с радиальным символом а = а{г) зависит только от г = Ы и имеет вид
СT;\(z) = ax(z,z) = (1-1 z l2)2+" I y^Wtx I г f
n=0
Соответствующая функция Вика имеет вид
j2 , _ ,2n
я*.(z> w) = (1 - zw)2+x I ya,x(n)dlxz"wn.
n=0
Доказательство. Легко видеть, что
ее во . .
ax(z,w) = Kx\z,w)Z I (aentX,emX) enX(z)emX(w) =
п=0 т=О к
= (1 £ (аепМепЛ)хеп^)7^Г).
л=0
Остается заметить, что (аепХ,епХ^ = УаХ(п). Теорема доказана.
Следствие 1. Пусть Тх и - операторы
Теплица с радиальными символами а = а(г) и b = b(r) соответственно. Тогда виковская функ-ция композиции Та Ть определяется по формуле
cx{z,w) = Kl\z,w)± d2nXyaX(n)ybA(n)(zw)m.
n=0
ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ
ОГРАНИЧЕННОСТИ И КОМПАКТНОСТИ ОПЕРАТОРА ТЁПЛИЦА
Напомним, что оператор Тёплица Тх с радиальным символом а = а(г) ограничен на A^(D), если и только если последовательность уаЛ ограничена, и является компактным на A2(D), если
и только если последовательность уа Х сходится к нулю при п —> °о.
Пространства Aj[(D), \е(-1,°°) естественны для рассмотрения тёплицевых операторов с ограниченными символами, поскольку для каждого
ограниченного символа а = a(z) норма оператора Тёплица Тх на A^(D), X е (-1, ограничена величиной supla(z)l. В отличие от известных
Z€D
результатов для операторов Тёплица на пространствах Харди существуют неограниченные символы, порождающие ограниченные и даже компактные операторы на пространствах Бергмана. Этот феномен был описан в [6] (см. также [5]), кроме того, в [6] приведены примеры неограниченных символов, порождающих компактные операторы. Поэтому, допуская неограниченные символы и желая иметь широкий класс символов для всех допустимых X, будем рассматривать тёплицевы операторы на Aj[(D) при условии X е [0,
Одним из интересных и неожиданных результатов явилась следующая теорема.
Теорема 3 [8]. Пусть a{4r^el}(0,1) и оператор Тх° ограничен (компактен) на Ai „ (D) для некоторого е. [0, Тогда оператор Тх ограничен (компактен) на A2q (D) Эля каждого X е [0, AJ.
Для заданного символа a(4r)el}(0,1), меняя порядок интегрирования, имеем
1
\a(-fry\-rfrndr =
1
В(и + 1Д + 1)0
=_1 1
~ В(п + 1,Х + 1)о
Здесь обозначено
В(и + 1Д + 1)Ь
J a(4r )(1 - r)x° dr) (Ох_хо (п, s)ds =
= 1 a(4~r){\-r)xdr,
<йх (и, s) = л(1 - s)K s"-1 - X(l - s f-1 s". Аналогично
Y ад(") =
1 J^o^^M^V"'^'
B(n + l,X + l)i aM dshX x~x° j = 1,2,...
где
Теорема 5. 1) Предположим, что условие (2), (условие (3)) выполняется для у = и некоторого Л^ > 0. Тогда условие (2) {условие (3)) выполняется для у = у0 + 1 и того же Л^.
Т Л ГТ „/П.тЬлп 17 * 2) Предположим, что условие (2), (условие (3))
Теорема 4. Яусть ф/г) € Ь (0,1). Если для не- вьшолмяется дляу = ]о и некоторого ^>0. 7ог-
которого Х0е[0,-) и некоторого уе N ф^н/с- да условие (2), (условие (3)) выполняется для
ция в£0 (г) допускает представление B{¿ló(r) = 0{{l-r)j+x<>\ г->1,
у = Уо и для X, > Хо.
Доказательство. Первое утверждение теоремы очевидно ввиду оценки
(2)
то соответствующий оператор Теплица Тх
ограниченна А^ф) для любого Хе[0,<*>).
Если при указанных условиях имеет место и = ^о- Если > А^, то представление
г
Пусть теперь условие (2) выполняется для у = 1
(3)
то соответствующий оператор Теплица Га
компактен на для любого А,е[0,«>).
Доказательство. Пусть X > у = 1 и условие (2) имеет место. Тогда легко проверить, что последовательность Уа,\0 ограничена. Имеем
1
-:-J3ÍL (r)a>x , (n,r)dr
B(n + U + 1)¿ вД°
1
<С
В(и+1Д+ 1)
х
' i i л
(X - X0)¡ (1 - r)x rndr + rtj (1 - r)x+l rn~ldr o o
^ . В(п + 1Д + 1) В(«Д + 2) — С1 К---+ п
В(п + 1Д + 1) В(п + 1Д + 1) = С(2Л-Х0 +1).
г
— íVVI _ ».^l-^O _
-(Xj - X0)J ($)(! - 5)Al ~K°~lds,
Xi-XQ-1
откуда
Таким образом, последовательность уаЛ ограничена для любого X > Ао и соответствующий
оператор Теплица Тх ограничен на для
любого А,е[Х0,«>). Остается воспользоваться теоремой 3. Случай у > 1 рассматривается аналогично.
Достаточность условия (3) доказывается более тонкими, но похожими рассуждениями. Теорема доказана.
Следующее утверждение устанавливает частичный порядок, в котором выполняются условия приведенной выше теоремы.
Пусть условие (2) имеет место для у = 2 и X = Тогда для каждого Xj > имеем
г i
r s г
г s
- 2(xi-xJ\B™om-s)Xí-XQ-1ds +
г
Следовательно,
В®, (r)| < cf(1 - г)2^' Ф^'-^а - r)2+Xl +
(Xi-XoXX^Xp-l) _ 2+Х1 I < гп _ (XI+l)(X1+2) 11 " -C(1 r) ■
Аналогично доказывается случай > 2 для условия (2). Доказательство второго утверждения теоремы в части условия (3) также аналогично. Теорема доказана.
Пример 1. Рассмотрим неограниченный символ (подробнее см. в [6])
fl(r) = (l-r2rpsin(l-r2)"a,
(4)
гдеа>0и0<Р<1. Проверим условия теоремы 4 для j = 1 и X = 0.
Or) ^a-sr'W
$-1
1 7
= — J у а smydy.
(5)
(l-r)-
Интегрируя по частям дважды, получаем О') = -(г- l)a-p+l cos(l - r)"a -
a
1)(1 -r)2a-P+1 Sin(i-r)"a -
a
1 --—(Р-а-1)ф-2а-1) J у» sinyrfy.
a (1 Следовательно,
B«Ur) = -(1 - r)a~p+1 cos(l - r)'a + a
+o(a~r)2a-p+1),
что в
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.