Магнитные методы
УДК 620.179.143
ТЬЮРМИТНО-БИОНИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МАГНИТНОЙ ДЕФЕКТОМЕТРИИ В СТРУКТУРНО-ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИМИЗАЦИОННОЙ ПОСТАНОВКЕ
В.Я. Гальченко, А.Н. Якимов
Для решения обратной задачи магнитной дефектоскопии предложен тьюрмитно-бионический метод, основанный на формулировке задачи в структурно-параметрической оптимизационной постановке. Решение находится с учетом конечных размеров дефектов и объекта контроля, нелинейности магнитных характеристик ферромагнетика.
Ключевые слова: магнитный контроль, обратная задача, дефектометрия, глобальный оптимум, роевая оптимизация.
ВВЕДЕНИЕ
В магнитной дефектоскопии основные усилия исследователей в последние годы сконцентрированы на решении задач определения формы и геометрических размеров выявляемых дефектов сплошности. Известным является факт разделения методов, ориентированных на решение подобных задач, на феноменологический и алгоритмический классы в терминах, предложенных в [1]. Достоинства и недостатки каждого из этих классов также неоднократно отмечались в [2—4], однако нет единства взглядов на перспективность использования отдельно взятого класса, но анализ работ в этой области показывает некоторое предпочтение, отдаваемое исследователями первому из них. Об этом свидетельствуют как работы отечественных [5, 6], так и зарубежных ученых [7—11], в которых методы данного класса фигурируют как методы реконструкции формы дефекта.
Решение задачи реконструкции дефекта по измеренным значениям напряженности магнитного поля в зоне контроля можно считать частным случаем более общей задачи синтеза источников магнитного поля с ферромагнитными элементами конструкции и заданным распределением поля в рабочей зоне [12, 13]. Полагая, что измеренные значения напряженности магнитного поля в зоне контроля являются априори заданной конфигурацией поля в рабочей зоне источника, задача формулируется как поиск формы ферромагнетика (объекта контроля с дефектом) при заданных первичных источниках (система намагничивания объекта контроля), то есть решается обратная задача (ОЗ).
Задача реконструкции дефекта по измеренным значениям поля в зоне контроля в оптимизационной постановке характеризуется рядом математических особенностей, затрудняющих ее решение. Универсальность подхода к решению ОЗ, определяющего существенный произвол рассматриваемых форм дефектов сплошности, можно обеспечить лишь численными методами. Так как прямая задача расчета поля решается в этом случае многократно, необходимым условием ее программной реализации является эффективный (в смысле временных затрат и вычислительных ресурсов) численный алгоритм. Следует также учесть пространственный характер решаемых задач, что позволяет рассматривать дефекты конечных размеров, находящиеся на объектах контроля ограниченных размеров и произвольной формы. Необходимым является также учет нелинейных характеристик материала ферромагнетика, проявляющихся в полях намагничивания, близких к насыщению.
Владимир Яковлевич Гальченко, доктор техн. наук, профессор, заведующий кафедрой медицинской и биологической физики, медицинской информатики, биостатистики Луганского государственного медицинского университета, Украина. Тел. (0642) 63-02-53. E-mail: halchvl@gmail.com
Александр Николаевич Якимов, канд. техн. наук, преподаватель кафедры медицинской и биологической физики, медицинской информатики, биостатистики Луганского государственного медицинского университета, Украина. Тел. (0642) 63-02-53. E-mail: alex_forever_82@mail.ru
Некорректная постановка решаемой оптимизационно ОЗ проявляется в многомерном "овражном" характере топографии целевой функции, что требует специальных математических подходов к ее решению. Кроме того, найденное решение должно являться глобальным экстремумом. Следует также учесть, что целевая функция задается алгоритмически как результат численного решения задачи анализа магнитного поля. В силу громоздкости вычислений даже при однократном решении прямой задачи к алгоритму оптимизации предъявляются жесткие требования к числу вычислений значений целевой функции, обеспечивающих сходимость к глобальному оптимуму.
В [1—11] не обеспечивается выполнение всех этих требований одновременно, но наиболее близко к учету всего комплекса требований подошли авторы публикаций [5, 6]. Однако программное обеспечение, предлагаемое в них, не ориентировано на высокую размерность решаемых прямых задач, что является характерным для дефектоскопии и доказано численными экспериментами, приведенными в [14—17], где шаг дискретизации для получения корректных результатов составлял доли миллиметра. В данных работах авторы ограничивались поиском локального оптимума целевой функции, решение задач сводилось к параметрическому синтезу, что делало возможным использование избыточных или недостаточных по сложности структур ферромагнетика. Избыточность структуры приводит к неоправданному повышению размерности задачи, а ее недостаточность — к невозможности нахождения решения в принципе. Оптимальный же выбор количества структурных элементов возможен лишь при структурно-параметрической постановке задачи синтеза [18]. По этой же причине практически непригодной для использования является топологическая оптимизация [19], как справедливо отмечается в [5].
Цель данной статьи — разработка метода решения обратных задач дефектоскопии в структурно-параметрической оптимизационной постановке с учетом всего комплекса вышеперечисленных требований.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Кратко изложим идею данного подхода решения ОЗ для случая контроля объекта способом приложенного поля, характеризующегося высокой эффективностью в применении к изделиям, изготовленным из магнитомягких материалов и обладающих достаточно сложной геометрией. Объект контроля (ОК) может содержать поверхностные либо подповерхностные дефекты сплошности произвольной формы и конечных размеров. Материал ОК считается изотропным и нелинейным, гистерезисные явления не принимаются к учету. Намагничивание ОК осуществляют постоянными магнитными
полями Н0. Измерение полей рассеяния, обусловленных наличием дефекта, проводят в общем случае в пространстве, называемом в дальнейшем зоной контроля (ЗК), имеющем ограниченные размеры и расположенном вблизи поверхности ОК. Необходимо по измеренным значениям напряженности магнитного поля в ЗК определить структуру ОК с учетом наличия в нем полости дефекта сплошности, то есть провести реконструкцию формы ОК с имеющимися дефектами.
Для дальнейших рассуждений дискретизируем бездефектный ОК и некоторую часть окружающего его пространства, включающую ЗК, регулярной пространственной сеткой, состоящей из прямоугольных призматических микроэлементов.
Введем понятие структуры ОК. Структура ОК представляет собой совокупность примитивов, где под примитивом понимается геометрический объект простейшей формы, который целесообразно разделять на более мелкие части. В данном исследовании примитивы удобно представить прямоугольны-
ми призмами, геометрические размеры которых определяются с точностью до микроэлемента сети разбиения. Совокупность примитивов, каждый из которых прилегает, по крайней мере, к одному из всего набора, образует структуру ОК (рис. 1). Структура ОК с поверхностным прямоугольным дефектом
Рис. 1. Пример структуры, образованной совокупностью из пяти примитивов.
сплошности в виде трещины, состоящая из пяти примитивов, приведена на рис. 2. Отыскание варианта структуры, обеспечивающего измеренное распределение поля в ЗК, составляет основную задачу данного исследования. Иными словами, необходимо определить количество примитивов и их геометрические размеры, что в итоге и будет составлять решение ОЗ, которое облегчается тем фактом, что начальная геометрия бездефектного ОК известна априори и задача упрощается до поиска структуры полости дефекта.
II
/
Т
шш
ш
ш
IV
шш
Т
А—А
III
IV
/
V, У V. V. %
Я V У 'А У 'А У у У
У % к 77 -л к 'Л к 'Л 'Л У, 'Л Л
% У 'А У, 'А к •у V,
А У, 'А \Ч к 'А 'А У,- 'А Я
V
I
II
Рис. 2. Объект контроля с поверхностным дефектом в виде трещины, образованный набором
из пяти примитивов.
РЕШЕНИЕ ПРЯМОЙ ЗАДАЧИ
Основу математической модели прямой задачи, заключающейся в определении распределения магнитного поля в ЗК при известной геометрии ОК, составляет нелинейное интегральное уравнение
Я (0 = -4"ЖМ (Р) • gradp — йУр + Н0 (0)
4" Грд
(1)
с дополнением нелинейным материальным уравнением
М = ЩН), (2)
где Р — точка, принадлежащая области V, наполненной ферромагнетиком; 0 — точка наблюдения; гр= г - гр — вектор, направленный из точки Р в точку 0; И — напряженность магнитного поля; М — намагниченность ферромагнетика; Щ — нелинейный оператор магнитной характеристики материала.
С учетом N разбиений ОК это уравнение может быть представлено в виде
^ 1 Д. ... - 1 -
Я(0 = - —grad^ЩМ (Р)gradp— dVp + И0(0). (3)
4" ]=1 vj гр0
Принимая предположение об однородном намагничивании каждого микроэлемента пространственной сети, заполненного ферромагнетиком, приведем уравнение (3) к виду
^ 1 (М(Р)| - . .
Я(0) = -—grad^£{{{dlvp dVp + И0(0),
4" j=1 V
V гр0 ;
(4)
которое, в свою очередь, с учетом того, что М — намагниченность J-го элементарного объема, для напряженности поля в центре /-го элементарного
объема Н. (/ = 1, N^ может быть преобразовано в результате перехода от интегрирования по объему к интегрированию по поверхности в уравнение
Н= - —grad^X#—dSp + Ноо/ (0), (5)
4" з =1 э^ ГР0
где И0/ — соответствующее значение напряженности намагничивающего поля; дV — площадь поверхности каждого элементарного объема.
Воспользовавшись изменением очередности выполнения операций интегрирования и вычисления градиента, запишем уравнение (5) в виде
^ 1 Д, , ,(М: • ПР )ГР0 - _.
И = 4"! Г^^^Р + Но о (0), / = 1, N. (6)
4" J=1 эvJ ГРЯ,]
В матричном виде математическая модель решения прямой задачи представляется системой уравнений:
[И = А • М + Н 0;
1 М = Е (И), (7)
где А — матрица влияния элементарных объемов, состоящая из матриц-блоков А. размерами 3*3,
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.