ФИЗИКА МЕТАЛЛОВ И МЕТАЛЛОВЕДЕНИЕ, 2012, том 113, № 9, с. 881-887
^ ТЕОРИЯ
МЕТАЛЛОВ
УДК 537.9.001
УЧЕТ ФЕРМИ-ЖИДКОСТНЫХ ЭФФЕКТОВ В ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОННЫХ СОСТОЯНИЙ СИСТЕМЫ "ЭПИТАКСИАЛЬНЫЙ ГРАФЕН-МЕТАЛЛИЧЕСКИЙ СУБСТРАТ"
© 2012 г. З. З. Алисултанов*, Р. П. Мейланов**
*Институт общей физики им. А.М. Прохорова РАН, 119991 Москва, ул. Вавилова, 38 **Институт проблем геотермии Дагестанского научного центра РАН, 367030 Махачкала
Поступила в редакцию 17.01.2012 г.; в окончательном варианте — 14.02.2012 г.
В рамках модели Андерсона—Ньюнса рассматривается задача об учете ферми-жидкостных эффектов в теории электронных состояний эпитаксиального графена, сформированного на металлической подложке. Получены аналитические выражения для перехода заряда в системе "эпитаксиальный гра-фен + размерно-квантованная пленка". Продемонстрирована существенная роль ферми-жидкостных эффектов в теории электронных состояний рассматриваемой системы.
Ключевые слова: электронные состояния, эпитаксиальный графен, металлический субстрат, ферми-жидкость, размерено-квантовая пленка.
ВВЕДЕНИЕ
Усиливающийся интерес к изучению графена обусловлен тем, что графен, благодаря своим уникальным свойствам находит широкое применение в наноэлектронике [1—3]. Этот материал дает возможность работать с безмассовыми фер-мионами, не имеющими аналогов среди элементарных частиц. Последнее обстоятельство позволяет наблюдать в графене квантово-электродина-мические эффекты, в частности, клейновское туннелирование [4, 5], что обычно было сопряжено с созданием больших полей. Кроме того, благодаря нулевой эффективной массе, подвижность электронов в графене очень высока. Это обстоятельство играет существенную роль при определении сверхпроводящих свойств графена. Так, уже имеются предпосылки того, что определенные гра-феносодержащие системы могут стать комнатно-температурными сверхпроводниками [6].
Одним из актуальных направлений физики графена является исследование электронных состояний графена, сформированного на поверхности металлов (см. напр., [7—13]). Интерес к изучению свойств эпитаксиального графена, находящегося на поверхности металла, обусловлен тем, что при экспериментальном изучении свойств графена и при создании на его основе приборных структур необходимо иметь металлические контакты. Более того, каталитический рост графена на поверхности переходных металлов является одним из методов получения графена. Большинство теоретических расчетов в этом направлении делаются численными методами в рамках форма-
лизма функционала плотности. Наряду с этим для исследования системы "графен—другая электронная система", где в качестве другой электронной системы могут выступать адатом, металлическая или полупроводниковая подложка, можно применить подход, основанный на модельных гамильтонианах типа Андерсона—Ньюнса [14, 15], Халдейна—Андерсона [16]. Этот подход позволяет получать аналитические выражения, что полезно в применениях. Такой подход к описанию эпи-таксиального графена впервые был предложен в работах Давыдова [11—13], в которых рассматривались электронные состояния эпитаксиального графена, сформированного на поверхности металла и полупроводника, был исследован зарядовый обмен между графеном и подложкой. В этих работах было показано, что в рамках указанных моделей удается получить вполне адекватные результаты.
Необходимо, однако, отметить, что в указанных работах исследования проводились без учета ферми-жидкостных эффектов. Следует подчеркнуть, что учет ферми-жидкостных эффектов в графене очень важен ввиду того, что последние приводят к искажению линейного характера закона дисперсии электронов в графене [17—20]. Кроме того, в графене возможны отклонения от теории Ландау—Силина [17]. В работах [18—21] были продемонстрированы идеи маргинальной ферми-жидкости [22—24] в применении к двумерному электронному газу. Влияние ферми-жидкостных эффектов в теории хемосорбции исследовалось в работах [25—28], где рассматрива-
882
АЛИСУЛТАНОВ, МЕЙЛАНОВ
лась хемосорбция на низкоразмерных структурах. В этих работах было показано, что электронные состояния хемосорбированных атомов существенно изменяются при учете ферми-жидкостных эффектов. В частности, было показано [25], что в модели полуэллиптической зоны проводимости учет корреляционного взаимодействия расширяет, по сравнению с приближением Харт-ри-Фока, область существования виртуальных состояний и, соответственно сужает область локализованных состояний. А в теории хемосорб-ции на квантовой точке [28] было показано, что учет корреляционного взаимодействия приводит к увеличению радиуса квантовой точки. В работе [29] подробно рассматривается обобщение модели Андерсона с учетом корреляционного взаимодействия (ферми-жидкостное приближение). В данной работе эти идеи распространяются на систему "эпитаксиальный графен—металлический субстрат". В рамках модели Андерсона—Ньюнса рассматривается влияние ферми-жидкостных эффектов на электронные состояния такой системы. Кроме того, рассматривается случай, когда металлическая подложка представляет собой размерно-квантованную пленку.
ОБЩИЕ СООТНОШЕНИЯ
Лист графена, находящегося на поверхности пленки, можно представить как хемосорбирован-ные атомы углерода на этой поверхности, выстроенные в структуре графена. В связи с этим приведем общие выражения, получаемые в рамках техники функции Грина в формализме Каданова— Бейма применительно к хемосорбции одиночного атома на поверхности пленки [28, 30]. Рассмотрение проводится с помощью модельного гамильтониана Андерсона [14], примененного Ньюнсом [15] для описания адсорбции на металлах (модель Андерсона—Ньюнса)
Н = X ^кАа + еХ X "я"* + +
¡ка а
+ + ка)>
¡ка
где екк — энергия электронов подложки, ех — энергия электронов адсорбционной системы, С+ (скст) — оператор рождения (уничтожения) электрона подложки, а* (аст) — оператор рождения (уничтожения) электрона адатома, /, к — совокупность квантовых чисел, описывающих движение электрона в подложке, X — совокупность квантовых чисел, описывающих движение электронов адатома, У!к, х — потенциал гибридизации, и — внутриатомное куло-новское отталкивание адатомных электронов с противоположными спинами а, Н.е. — эрмитово-
сопряженные члены. В дальнейшем мы опускаем спиновое число.
Общие уравнения для функций Грина адсорбционной системы в формализме Каданова—Бей-ма имеют вид [28, 30]:
[со - е* (<а) - Х{а<А' 'А'« +
я <1 + ' ' ,*'(<)} = 0, (1)
[< - е*]й5^(ю) - Х{(©^^(ю)} = ..
X"
Здесь g<, gR, А — корреляционная функция, запаздывающая и опережающая функции Грина электрона адатома, аR, А — соответствующие массовые операторы, а< — обобщенный интеграл столкновений. Массовый оператор аЯ А состоит из двух частей: аЯ А = ст0 + ст^ , где а0 — массовый оператор изолированного адатома, аЬ1 — вклад в массовый оператор адатома, обусловленный взаимодействием с подложкой. Этот вклад имеет вид
а <$&(«>) = X ^(ю^Дю)^ к ,г(®), (2)
¡к
Гк'
где О — функция Грина электрона подложки.
Система уравнений (1), (2) совместно с уравнениями движения для функций Грина электронов подложки описывает общий случай, когда учтены все возможные взаимодействия адатома с подложкой и между собой. Случай графена интересен тем, что взаимодействие между его атомами приводит к линейному энергетическому спектру электронов (строго говоря, это справедливо только вблизи дираковской точки). Следовательно, в дальнейших выражениях мы опускаем часть массового оператора для изолированного адатома, считая а0 учтенным при определении энергетического спектра графена в отсутствие взаимодействия с подложкой. Кроме того, будем считать, что адатом имеет один энергетический уровень. В этом случае выражение для корреляционной функции адатома, согласно (1), принимает вид
g <(ю) = £Я(ю)а<м(ю)£А(ю). (3)
Полагая, что потенциал гибридизации — постоянная величина, можно показать, что для а <п1 (ю) имеет место выражение
= \2 X ^к(а). (4)
¡к
Для корреляционной функции электрона подложки имеем
0<((о) = Дю)4к(ю), (5)
/(ю) — функция распределения Ферми—Дирака, Ак(ю) — спектральная функция подложки,
4t(ö>) = '
гй(а>)
(ю - £1к - ЯеЕ,к(®))2 + Г^ю)
Здесь Г — затухание одночастичных состояний в подложке, ReZ — перенормировка одночастич-ных состояний за счет взаимодействия (кулонов-ского и кристаллического потенциалов). Определяя самосогласованную энергию электронов подложки согласно соотношению
Е к = + Яе £Л(ю = Е к), получим выражение для спектральной функции
4t(œ) = zik
Гк(ю)
(ю- Eik ) + zikrik(a>)
(6)
где
z- = 1 (Re Zik(œ))ffl_ дю
<ü=Eit
перенормировочная ферми-жидкостная константа подложки. Используя выражения (1)—(6), окончательно можно получить следующее выражение для корреляционной функции адатома:
g <(ю) = / (ю)а(ю), (7)
где спектральная функция адатома имеет вид
И2 X^к(ю)
а(ю) = za
г ,(8)
[ю-е*. - ReЛв(ю)]2 + z] \V\4 X At(œ)
V ik
где
z- = 1 - — (Re Л e(ffl)) ,
перенормировочная ферми-жидкостная константа адсорбата (графена). Здесь
л » = V2 X;
ю - Eik - Re Sik(œ)
ложкой дается выражением n =
¡œ
I g< (w)dw.
J-rn
Переход от одиночного адатома к эпитакси-альному графену можно осуществить, следуя схеме, развитой в работе [12]. Она заключается в том, что графен представляется в виде адатомов угле-
рода, выстроенных в структуру графена, а далее учитывается взаимодействие между этими адато-мами. В работах [1, 12] было показано, что такая система обладает следующим законом дисперсии:
е ± (кх, ку) = ес ± / (кх, ку),
где знак плюс относится к верхней зоне я*(^ = = ю — е > 0), а минус — к нижней зоне = ю — е < < 0) [9], I — матричный элемент перехода между соседними узлами решетки адатомов, кх, ку — квазиволновые векторы, описывающие движение электрона в плоскости графена, ес — положение центра квазиуровня изолированного адатома углерода. Отметим, что величина ес есть перенормированная энергия, которая в отсутствии взаимодействия с подложкой переходит в соответствующую точке Дирака энергию ев для изолированного гра-фена. Перенормировка связана с возмущением электронной плотности графена за счет взаимодействия с подложкой. Функция/(кх, к
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.