МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА < 6 • 2008
УДК 531.36
© 2008 г. Б.Н. СОКОЛОВ
УЧЕТ ВЛИЯНИЯ УПРУГИХ ЭЛЕМЕНТОВ СВОБОДНОЙ КОНСТРУКЦИИ
НА ТОЧНОСТЬ ЕЕ СТАБИЛИЗАЦИИ ПРИ РЕЛЕЙНОМ УПРАВЛЕНИИ
Рассматривается задача стабилизации относительно заданного положения двигающегося прямолинейно и поступательно твердого тела с внутренними материальными точками, которые соединены друг с другом и с внешним телом линейными вязкоупругими связями. Движение происходит под действием постоянного внешнего возмущения и релейной управляющей силы, направленных вдоль линии движения. Предполагается, что в канале управления релейной силой имеется фиксированное запаздывание, так что сколь угодно частые переключения управления невозможны. Предложено позиционное управление, обеспечивающее решение поставленной задачи. Получена оценка амплитуды колебаний твердого тела относительно центра масс всей конструкции, а также оценка точности стабилизации заданного положения твердого тела в зависимости от механических характеристик системы и величины управляющей силы. Рассмотрена задача максимизации точности стабилизации в зависимости от параметров управления. В качестве примера рассмотрено управляемое движение двухмассовой колебательной системы. Работа примыкает к [1-3] и продолжает исследования гарантированно оптимальных релейных регуляторов с запаздыванием в канале управления [4-9]. Динамика твердого тела с упругими и диссипативными элементами в предположении о малости периода собственных колебаний и времени их затухания по сравнению с характерным временем движения исследовалась в [10].
Рассматривается объект, состоящий из твердого тела P с массой mP и системы N материальных точек p¡ с массами m¡, соединенных друг с другом и с твердым телом P линейными упругими и диссипативными связями. Тело P может перемещаться поступательно вдоль оси X неподвижной системы координат OXYZ под действием постоянной силы f, направленной вдоль оси X, и релейного управляющего воздействия w, которое может принимать одно из двух значений: u0 либо -u0, где вектор u0 направлен вдоль силы f и u0 > f > 0. Предполагается, что продолжительность каждого участка постоянства управления не меньше Ai, где Ai - заданная величина запаздывания в канале управления двигателем.
В качестве критерия качества управления рассматривается функционал
где х(0 - координата тела Р в неподвижной системе координат. Черта сверху означает, что предел берется верхний. Наличие запаздывания приводит к неравенству
где ¿р - два последовательных момента переключения управления и(0. Требуется выбором допустимого управляющего воздействия и как функции фазового состояния
J[u(■)] = lim \x(i)|, u = {u0, -u0}
(1)
tp - ta> At = const > 0
(2)
тела Р и системы материальных точек минимизировать функционал (1), т.е. обеспечить режим стабилизации нулевого положения тела Р в неподвижной системе координат с максимальной возможной точностью. Вследствие запаздывания (2) в канале управления невозможно привести тело в начало координат с последующей остановкой. А наличие упругих элементов, связанных с телом Р, делает полное решение поставленной задачи чрезвычайно трудным из-за высокой размерности. Поэтому упростим условие задачи и будем искать управление в виде функции фазового состояния центра масс всей конструкции, разбив решение на два этапа. На первом этапе определим позиционное управление из условия стабилизации движения центра масс всей конструкции в окрестности начала координат. В результате при любом начальном состоянии системы начиная с некоторого момента получим периодическое движение центра масс, характеризующееся левой и правой границей его отклонения от начала координат. На втором этапе определим амплитуду возникающих под действием сил инерции периодических колебаний тела Р относительно центра масс. Последнее сделает возможным оценить точность стабилизации тела Р относительно начала координат, а некоторый произвол в выборе границ отклонения центра масс системы позволит в рамках предлагаемого подхода максимально увеличить эту точность.
Свяжем жестко с телом Р подвижную систему координат О'хуг, оси которой будут двигаться поступательно по отношению к неподвижной, а начало совпадать с центром масс тела Р, и направим ось х вдоль оси X. Обозначим через рк = (р^, рку, ркг)т постоянные векторы ООк равновесных положений точек рк в подвижной системе координат и гк = (хк, ук, 1к)т векторы смещений точек рк от равновесных положений Ок в подвижной
системе координат. Пусть М - совокупная масса системы материальных точек и тела Р: М = тР + Ъ нат. Тогда
T
M = mP + 1mk (k = 1, 2, ..., N) и (x, 0, 0)T - координата тела в неподвижной системе коорди-
Mx+ У mkxk = f + u, u = {u0, -u0}, f = const
k = i (3)
x (to) = x0, v( t0) = uU, Xk (to) = x°, Uk (to) = uk Введем безразмерные, штрихованные, переменные формулами t = At'11, x' = (u0At2 )-1 Mx, U = dx'/dt' = (u0At)-1 Mu
m'k = M— mk, mP = M— mP, u' = u^u, f = u-1 f
t 2 -1 t t -1 xk = (u0At ) Mxk, v'k = dx'k/dt' = (u0At) Muk
Соотношения (1)-(3) в безразмерных переменных имеют вид (далее штрихи будем опускать):
J[u(•)] = lim |x(t)|, u = {1, -1} (4)
t ^ ~
tp - ta> 1 (5)
N
x + У mkxk = f + u, u = {1, -1}
k = 1
x(10) = x , v(t0) = v , xk(t0) = x0, Vk(t0) = V0
N
V
1.0 0.5
0
-0.5 -1.0 -1.5
-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0 0.5 х
Фиг. 1
Обозначим через xc безразмерную координату центра масс всей конструкции в неподвижной системе координат xc = х + Imi(pix + х,) (i = 1, 2, 3, ..., N). Из (6) имеем
= Uc, "c = f + u, Xc( t0) = x°c Vc (t0) = U° (7)
Обозначим через т безразмерное время, прошедшее с момента ta = t - т последнего переключения в прошлом, n = u(t - т) - значение установившегося в результате последнего переключения управления, w = (xc, vc, т, n) - вектор состояния системы (7) при наличии запаздывания. Траектории системы (7) на фазовой плоскости (х, и) при постоянном управлении суть параболы
х = 0.5и2/( f + u) + C, C = const (8)
где u = ±1 в зависимости от значения управления. Будем для краткости называть участок фазовой траектории с управлением u = 1 (u = -1) между двумя моментами переключения положительным (отрицательным) участком соответственно.
Позиционное управление u(w), обеспечивающее, начиная с некоторого момента t:(w0), периодическое движение материальной точки (7) в пределах a < xc(t) < b, t > t1, xc(t) = xc(t + T) определим следующим образом. На оси Ox зафиксируем точки M1, M2 с координатами M1(a, 0), M2(b, 0) и рассмотрим линии E2A2M1A1 и E1A1M2A2 - бесконечные участки парабол (8) при u = 1, C = a и u = -1, C = b соответственно, так что контур M1A1M2A2 состоит из положительного A2M1A1 и отрицательного A1M2A2 участков фазовой траектории системы (7).
Обозначим символом D контур M1A1M2A2 и символами L+ и L- линии E2A2M1A1E1 и EjAjM2A2E2 соответственно и выберем эти линии в качестве кривых переключения (фиг. 1). Именно, рассмотрим следующий закон управления:
u (w)
1, (xc, uc) 6 L+ и (xc, uc) левее L+ rn> 1
-1, (xc, vc) 6 L- и (xc, vc) правее L- n т > 1 (9)
I n, (xc, uc) 6 intD и т < 1
Управление (9) максимум за три переключения при любой начальной позиции w0 обеспечивает, начиная с некоторого момента ^(w0), периодическое движение фазовой точки (xc, vc) (7) по замкнутому контуру M1A1M2A2, причем положительный A2M1A1 и отрицательный A1M2A2 участки фазовая точка проходит за время и т2 соответственно:
т1 = 2((Ь - a)( 1-f)/( 1 + f))m, т2 = 2 ((b - a)( 1 + f)/( 1-f))m, <x2 (10)
Можно показать, что при т1 = 1 разность b - a достигает минимального значения b - a = 1/4(1 + f )(1 - f )-1 среди всех законов управления, удовлетворяющих условию (5). Поэтому должно быть выполнено
b > a + 1/4( 1 + f)(1- f(11)
Максимальная точность стабилизации (4) материальной точки (7) при условии (5) равна
min J [ u (•)] = min( b - a)/2 = 1/8 (1+ f)(1- f(12)
Точка Aj(Xj, и) имеет координаты x{ = 1/2((b + a) - (b - a)f), v{ = (-1)' + 1((b - a)(1 - f 2))1/2, i = 1, 2. Пусть (xc(i1), uc(t1)) = (x1, v1) и tk - моменты переключения управления u(tk + 0) = (-1)k при движении фазовой точки (xc, uc) по контуру M1A1M2A2; tk = tk- 1 + xs; ^ = 1, если k нечетное, s = 2, если k четное, k = 1, 2, ... Тогда при t e [tk, tk + 1]:
xc(t) = x!- (-1 )kVl(t - tk) + ((-1 )k + f)(t - tk f/2 (13)
Рассмотрим движение связанных с твердым телом P системы материальных точек. Уравнения малых колебаний точек pk относительно положения равновесия запишем в форме уравнений Лагранжа. Будем характеризовать вектор относительного смещения rk точки pk от положения равновесия Ok вектором q = (q1, q2, ..., qn)T обобщенных координат, связанных с rk зависимостью
n
rk = X Hk i q> (14)
i = 1
где векторы Hki постоянны. Кинетическая энергия точек pk в подвижной системе координат определяется соотношением
1 N 2 1 N
T =2 X mk(rk) = 2(Aq q)' A'j = X mk(Hk" Hkj)
k=1 k=1
Отсюда получаем уравнения малых колебаний точек pk:
Aq + Bq + Cq = Q (15)
Матрицы A, B, C - симметричные постоянные положительно определенные матрицы масс, диссипации и упругой потенциальной энергии, Q - вектор обобщенных сил, обусловленных силами инерции
Q = - xh (16)
N
где вектор h = (h1, h2, h3, ..., hn)T; hj = X H'sj ms; H'sj - x-компонента вектора Hsj (14). Из
s = 1
соотношений (7), (14) и определения центра масс имеем
N
x - xc = -(h, q) - X mk Pxk (17)
k = 1
х = / + и - (Н, 4) (18)
Подставим (18) в (16), затем в (15):
+ + = -Н (/ + и) (19)
Здесь через Б обозначена матрица с компонентами
N
Б и = £ шк(Нк, И^) - Н Н
к = 1
В [7] показано, что матрица Б симметрична и положительно определена. Пусть характеристическое уравнение системы (19) ёе^А2Б + АВ + С) = 0 имеет п пар комплексно сопряженных корней А, А ¡. Матрица диссипации В положительно определена. Поэтому влияние начального состояния на поведение динамической системы (19), начиная с некоторого момента, будет пренебрежимо мало, и ее движение будет целиком определяться периодически меняющимся управлением и^). Решение уравнения (19) на участке ¿2), ¿2 = ¿1 + (10) постоянства управления имеет вид
п
4(0 = ехр(А,(? - ¿1)) + ехр(А,(? - ¿1)) - С"1 Н(/-1) (20)
; = 1
Черта над символом
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.