АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ВЕСТНИК, 2013, том 47, № 1, с. 3-12
УДК 523.3-1/-8
УЧЕТ ВЯЗКОСТИ ЖИДКОГО ЯДРА В ЗАДАЧЕ О ФИЗИЧЕСКОЙ
ЛИБРАЦИИ ЛУНЫ © 2013 г. Б. П. Кондратьев
Удмуртский государственный университет, Ижевск Главная (Пулковская) Астрономическая обсерватория РАН, Санкт-Петербург Поступила в редакцию 17.11.2011 г.
Построена двухкомпонентная теоретическая модель физической либрации Луны по долготе с учетом вязкости ядра. В новой редакции решена гидродинамическая задача о движении вязкого наполнения в твердой вращающейся оболочке. Установлено, что поверхности равной угловой скорости являются сферическими, а поле скоростей жидкого ядра Луны описывается элементарными функциями. Найдено распределение внутреннего давления в ядре. Обмен угловым моментом между жидким ядром и твердой мантией описывается дифференциальным уравнением третьего порядка с правой частью. Исследованы корни характеристического уравнения и доказана устойчивость вращения. По найденному решению дифференциального уравнения найден угол либрации как функция времени. Рассмотрены предельные случаи бесконечно большой и бесконечно малой вязкости и установлен эффект отставания фазы либрации от фазы действия внешнего момента сил. Это позволяет по данным наблюдений оценить вязкость и размеры жидкого ядра Луны.
Б01: 10.7868/80320930X12060035
ВВЕДЕНИЕ
Как известно, наряду с геометрическими (оптическими) либрациями по долготе, широте и параллаксу существуют и действительные покачивания Луны относительно центра масс, которые называют физической либрацией. Если бы Луна была идеальным сферически симметричным телом, у нее не было бы ни вынужденных, ни произвольных собственных покачиваний. Однако тело Луны имеет приливной (от взаимодействия с Землей) выступ, что и приводит в итоге к возникновению всех наблюдаемых форм физической либрации Луны от возмущающего влияния внешних тел: самой Земли, Солнца и (весьма мало) от планет. Конкретно, возмущающее влияние зависит от ориентации лунного выступа по отношению к внешним телам. Поэтому с точки зрения механики физическая либрация обусловлена тем, что большая ось асимметричной фигуры Луны периодически отклоняется от направления на внешние силовые центры. Возмущающее влияние от Земли на этот выступ много больше солнечного (амплитуды соответствующих гармоник от Солнца в сотни раз меньше). При движении Луны из-за оптической либрации ее большая ось периодически отклоняется на несколько градусов от направления на центр Земли (а точнее, на второй фокус орбиты, Кондратьев, 2009), и это приводит к появлению пары сил, которая заставляет тело Луны совершать небольшие покачивания относительно инерциальной системы отсчета. С хорошим приближением тело Луны можно считать
трехосным эллипсоидом, но иногда следует учитывать в ее форме и более высокие гармоники. Кроме того, из-за близкого расположения Земли в специальных случаях надо принимать во внимание и отклонение ее формы от шара (учитывать сжатие).
Физическая либрация есть отклонения во вращательном движении Луны от законов Кассини. В целом, физическая либрация — тонкий эффект, трудный как для наблюдений, так и для теоретического описания не зависимо от того, считать ли Луну твердым телом или многослойной и учитывать вязкость ядра. Над изучением физической либрации Луны трудились многие исследователи. Среди них основоположники небесной механики Ньютон, Эйлер, Лагранж, Лаплас, Тиссеран, известные иностранные ученые Гартвиг, Гайн, Ко-зиел (см. Моутсулас, 1973). Большой вклад был сделан школой казанских астрономов. A^. Краснов, Т Банахевич, A.A. Яковкин, И.В. Белькович (1949), A.A. Нефедьев и Ш.Т. Хабибуллин (см. Ха-бибуллин, 1958 и цит. там лит.) обработали уникальные ряды гелиометрических наблюдений и получили более или менее точные значения параметров либрации. Была предпринята и попытка нелинейного анализа проблемы (Хабибуллин, 1966). Заметный прогресс в изучении проблемы наступил после обработки результатов лазерного зондирования Луны (Caíame, 1976; Dickey, 1994; см. также Williams, Dickey, 2003). По горячим следам с учетом этих экспериментальных результатов был выполнен ряд теоретических исследований по
общим вопросам механики поступательно-вращательного движения спутников и обоснованию законов Кассини (Баркин, 1978; Moons, 1982; Be-letskii, 1972). Новый шаг сделал Eckhard (1970, 1981), применивший аналитико-численный подход. В работах Williams и его группы (см., например, Williams, 2001; Rambaux, Williams, 2011; а также Wenjing, Jinling, 1996) теоретические исследования уступили место численному решению исходных дифференциальных уравнений. Произошла смена интересов, и авторов численных работ иногда больше интересует не сама физическая либрация, а проверка на примере вращения Луны крайне малых эффектов теории относительности. Но без углубленного теоретического анализа проблемы физической либрации численное интегрирование уравнений не позволяет ответить на многие важные вопросы. Какими, например, должны быть граничные условия (авторы задают их "рукой") и как интерпретировать в численных решениях те или другие гармоники? Обилие гармоник замаскировывает и низкую эффективность численного метода в изучении гармоник с большими периодами. В рамках численного подхода не удается ответить и на такой принципиально важный вопрос: дает учет нелинейности только малые поправки к линейным решениям или в случае близких частот будут сказываться эффекты резонанса? Заметим, что намеки на такие резонансы в старой теории действительно были. Остается открытым и вопрос: присуще ли традиционное разделение собственных покачиваний Луны на либрацию по долготе и по широте самому явлению или это есть результат линеаризации исходных уравнений?
Поэтому было бы преждевременно полагать, что к сегодняшнему дню проблема физической либрации полностью решена. Даже для модели твердой Луны полная теория этого явления до сих пор не построена. По этой причине отсутствует и надежная интерпретация результатов лазерной локации поверхности Луны. В связи с этим отметим, что в статьях (Кондратьев, 2011a, 2011б) был развит новый, векторный метод, позволивший пересмотреть некоторые выводы прежней теории физической либрации.
Кроме сил гравитации на эффект физической либрации могут влиять и другие физические факторы. В настоящее время достигнута такая точность наблюдений, что для правильной их интерпретации следует знать: является ли Луна абсолютно твердым телом? Смелое (для своего времени) предположение об ограниченном характере модели твердой Луны сделал Белькович (1949), указавший на отсутствие у Луны сколько-нибудь заметной амплитуды собственных произвольных колебаний и предположивший, что такие колебания со временем затухают. Попытку учесть тормозящий момент на вращение Луны
сделал Шакиров (1976). О состоянии недр Луны и связанных с этим физических вопросах см. также монографию (Жарков и др., 1969). По современным данным лазерного зондирования и лунной сейсмологии, Луна действительно не является абсолютно твердым телом. О существовании жидкого ядра у Луны свидетельствуют данные четырех сейсмографов, поставленных экспедициями Apollo (Nakamura, 1983; Dickey et al., 1994). Исследователи приходят к заключению, что Луна обладает раскаленным жидким ядром радиусом 330 км, окруженным размягченной астеносферой радиусом 480 км. Внутри жидкого имеется еще и твердое ядро радиусом 240 км. Подтверждение о наличии и характере вращения вязкого ядра дает также независимое изучение данных по лазерному зондированию Луны (С. Турышев, частное сообщение).
Однако для модели Луны с жидким ядром до сих пор нет сколько-нибудь полной теории. Известные на сегодня модели двухслойной и трехслойной Луны, см., например, обзорную брошюру (Гусев, Петрова, 2008), как правило, численные, и в них отсутствует подробный анализ таких важных вопросов, как поле скоростей в жидком ядре, и, как следствие, нет надлежащего строгого учета переноса углового момента от вязкого ядра к твердой мантии (и обратно). Но только при строгом учете особенностей поля скоростей в ядре и анализе соответствующего уравнения переноса можно правильно оценить влияние внешнего момента сил на физическую либрацию Луны.
В данной работе разработана математически полная теория либрации по долготе для двухком-понентной модели Луны при учете возмущений от Земли. Дано решение основной гидродинамической задачи, что позволяет строго учитывать обмен угловым моментом между вязким сферическим ядром и твердой мантией. Затем выводится основное линейное дифференциальное уравнение третьего порядка для углового момента жидкого ядра. Найдено его решение и доказана устойчивость движений. В это уравнение входят два функциональных параметра: один отвечает за передачу углового момента от ядра к мантии, а второй обеспечивает связь между внешним моментом сил и углом либрации Луны в долготе. Первый находится из анализа поля скоростей ядра, а второй связан с асимметрией лунного экватора. Знание указанных параметров и поля скоростей в ядре позволяет оценить другие характеристики модели Луны.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ВЫВОД УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА УГЛОВОГО МОМЕНТА
Ограничиваясь двухкомпонентной моделью, считаем, что Луна состоит из твердой толстой мантии и жидкого сферического ядра. Введем об-
щие соотношения между величинами, описывающими данную модель. Для этого перейдем в систему отсчета, связанную с вращением твердой оболочки Луны вокруг оси (период Т = 27.32 сут.). В нашу задачу входит изучение физической либрации Луны в долготе в рамках принятой двух-компонентной модели. Угловую скорость физической либрации в долготе обозначим через О, так что выполняется соотношение
О, =
(1)
где 0, (?) — угол смещения при физической либрации Луны в долготе. Полный момент инерции Луны относительно полярной оси Ох3 разделим на момент твердой мантии 1т и момент жидкого ядра 1с. В принятой вращающейся системе отсчета полагаем, что ядро имеет собственное поле скоростей и (г, г) и на границе ядра с мантией (поверхность раздела считаем сферической) действует условие "прилипания" жидкости к твердой стенке
и = -ЦХ2, и = О^, из = 0.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.