МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 2 • 2011
УДК 539.4
© 2011 г. А.А. МОВЧАН, Л.Г. СИЛЬЧЕНКО, Т.Л. СИЛЬЧЕНКО
УЧЕТ ЯВЛЕНИЯ МАРТЕНСИТНОЙ НЕУПРУГОСТИ ПРИ ОБРАТНОМ ФАЗОВОМ ПРЕВРАЩЕНИИ В СПЛАВАХ С ПАМЯТЬЮ ФОРМЫ
Модель нелинейного деформирования сплавов с памятью формы (СПФ) обобщена на случай учета возможности структурного перехода при обратном мартенситном превращении. Обосновано положение об активных термомеханических процессах пропорционального изменения компонент девиатора напряжений. Решена задача о потере устойчивости стержня из СПФ, вызванной обратным мартенситным превращением. Показано, что учет структурного перехода при выпучивании в процессе обратного превращения существенно меняет решение этой задачи.
Ключевые слова: Сплавы с памятью формы, обратное превращение, мар-тенситная неупругость, устойчивость, стержень.
1. Введение. В [1—3] предложена модель линейного деформирования сплавов с памятью формы (СПФ) при фазовых превращениях, в рамках которой интенсивность деформации, накапливаемой при полном прямом фазовом превращении из аустенита в мартенсит под действием постоянного напряжения, является линейной функцией интенсивности этого напряжения. Уравнение для деформаций обратного фазового превращения вообще не зависит от действующих напряжений. Линейная модель не учитывает явление мартенситной неупругости (т.е. нелинейного роста деформаций при изотермическом нагружении СПФ в мартенситном состоянии, связанного со структурным переходом, приводящим к увеличению ориентированности низкосимметричных мартенситных элементов).
В [4—6] предложена модель нелинейного деформирования СПФ, в рамках которой диаграмма прямого фазового превращения является уже нелинейной, что соответствует экспериментальным данным. Учитывается возможность структурного перехода либо самого по себе, либо одновременно с прямым фазовым превращением. Однако в процессе обратного фазового превращения, когда за счет явления памяти формы уменьшаются как фазовые, так и структурные деформации, возможность роста структурных деформаций при возрастании напряжений не рассматривалась. Поэтому соотношения нелинейной модели [4—6] для случая обратного превращения идентичны аналогичным соотношениям линейной модели [1—3].
Логично считать, что мартенситная часть СПФ, находящегося в двухфазном состоянии, независимо от того, увеличивается ее объем при прямом превращении или уменьшается при превращении обратном, в случае роста напряжений всегда испытывает структурный переход. В этом случае следует учитывать явление мартенситной неупругости как при прямом, так и при обратном фазовом превращении. В данной работе выполнена соответствующая модификация системы определяющих соотношений модели [4—6], которая теперь стала нелинейной как для прямого, так и для обратного фазового перехода. В рамках полученной системы определяющих соотношений уста-
новлено положение об активных процессах пропорционального нагружения для произвольного сочетания этапов прямого и обратного фазового перехода. Приведены соотношения термодинамического замыкания системы уравнений нелинейного деформирования СПФ [7], включающие в себя связное уравнение энергетического баланса и выражения для характерных температур фазовых переходов при наличии напряжений.
В [8] экспериментально установлено, что термоупругие фазовые превращения могут вызвать потерю устойчивости стержня из СПФ. В [9—14] предложены различные концепции, в рамках которых это явление может быть адекватно описано. Установлено, что результат решения задачи устойчивости элемента из СПФ существенно зависит от используемой для описания поведения СПФ системы определяющих соотношений. Большинство известных решений задач устойчивости элементов из СПФ [9— 13, 15—17] получены в рамках модели линейного деформирования СПФ при фазовых превращениях [1—3].
В [14, 18] в рамках модели нелинейного деформирования СПФ [4—6] решены задачи о потере устойчивости стержня [14] или круглой пластины [18], вызванной прямым фазовым превращением. Показано, что учет как нелинейности процесса накопления деформаций прямого превращения, так и происходящего при выпучивании структурного перехода существенно меняют результаты решения соответствующих задач устойчивости. Без учета возможного структурного перехода при обратном фазовом превращении определяющие соотношения модели [4—6] для обратного перехода фактически совпадают с соответствующими определяющими соотношениями линейной модели [1—3], в рамках которой задачи о потере устойчивости, вызванной обратными фазовыми превращениями, были решены ранее [9, 12, 15]. Поэтому задачи о потере устойчивости элементов из СПФ, вызванной обратными фазовыми превращениями в рамках модели нелинейного деформирования СПФ [4—6] не решались.
В данной работе сформулированная модель нелинейного деформирования СПФ при обратном превращении применена к решению задачи о потере устойчивости стержня из СПФ, вызванной обратным фазовым переходом. Показано, что учет происходящего при выпучивании структурного превращения существенно меняет результаты решения.
2. Система определяющих соотношений модели нелинейного деформирования СПФ. Рассмотрение ведется в рамках теории малых деформаций. Система определяющих соотношений состоит из трех групп уравнений. Первая группа определяет процессы фазовых переходов и сводится к соотношениям
д = 0.5 (1 - ^(яО}, (2.1)
при 0 < t < 1, д = 0 при t < 0, д = 1 при t > 1. Для прямого превращения
. = М° - Т м а = мо + <4а'у + г(д7) + аккг 0 м0-м0' 5 5 А^
= 3 Рв ^ (1 - /ОЖ^) + / (д)42)' (2.2)
2
Ф1(°I) = Д(оI - 01) + Д(о;- + 01) -1 а для обратного превращения
t = 1 - Т = А0 , ^¿И + г(аУ) + °кк£0
А0 - Л0' 5 5 А^
6г( ) = ^2и(Кл - Км) + а2(^л - 0м), = ^ (2.3)
I/ I/ Г* Г* 4 ~
КлКм °л°м
Здесь q — объемная доля мартенситной фазы, Т — температура, оу, <о1 тензор и интенсивность напряжений, штрихом обозначаются компоненты девиаторов, А 5 — разница объемных плотностей энтропии аустенита и мартенсита при отсчетной температуре, е о — линейная деформация объемного эффекта реакции прямого мартенситного превращения, М{°, М/, А°, температуры начала (нижний индекс 5) и окончания (нижний индекс /) прямого (символ М) и обратного (символ А) фазового перехода в отсутствии напряжений. Те же символы с верхним индексом а соответствуют наличию напряжений, К, О — утроенный объемный модуль и модуль сдвига СПФ, нижними индексами А, М обозначаются значения этих модулей для аустенитного и мартенситного состояния СПФ, б® ' — девиатор фазово-структурной деформации, рв — максимальная интенсивность деформации прямого превращения. Материальная функция Р^с,) имеет смысл функции распределения микронапряжений в представительном объеме СПФ (аустенитное состояние), о^ — соответствующее пороговое напряжение [6]. Материальная функция /(д) определяет соотношение между процессами зарождения и развития мартенситных элементов и удовлетворяет неравенству 0 < /^) < 1/q.
Процесс деформирования подчиняется следующей системе определяющих соотношений
„ _„(!), „(2) „(1) _ скк р (1), 1_ ^ 1 - q 1_ ^ 1 - q
ьу — ьу + ьу , ькк _ -<, ^ц _ , — —--1--, — —--|--
11 1 К 1 2О К КМ КА О ОМ ОА
е(2) =eоq8ij + е(2)' (2.4)
dгf' = (Й^ + 3 рв <-ду2(а№(2.5) 2 <
V 2(<0) = Р2О0 - 02) + Р2О0 + 02)
Здесь е у, е® — полные и упругие деформации (температурными деформациями в силу их малости пренебрегается), Ъу — дельта Кронекера, р2(<3/) — материальная функция, имеющая смысл плотности распределения микронапряжений в мартенситном состоянии, 02 — соответствующие пороговые напряжения [6]. Соотношение (2.5) определяет изменение девиатора фазово — структурной деформации, приращение которой состоит из двух слагаемых. Первое из них связано с фазовым превращением и имеет различные формы для прямого (dq > 0, знак +) и для обратного (dq < 0, знак —) превращения. Второе слагаемое связано со структурными переходами и вычисляется по единой формуле как для случая прямого, так и для случая обратного превращения. Это слагаемое отлично от нуля лишь при dа 1 > 0 и равно нулю в противоположном случае. Микромеханическое обоснование приведенных выше соотношений приведено в [4—6], однако в определяющих соотношениях [4—6] слагаемое, связанное со структурным переходом, учитывалось лишь при прямом превращении. Для дальнейшего важно, что формула (2.2) для прямого превращения переходит в формулу (2.3) для обратного превращения, если в ней положить /= .
Уравнение энергетического баланса имеет вид [7]
kqДT = Сст Т + Таскк- (Аи + скк£0 + ЮуСу)РDqУ2(с-)с - с/
где к коэффициент теплопроводности, Сст — удельная теплоемкость единицы объема при постоянном напряжении, а — коэффициент температурного расширения, Аи —
разница внутренних энергий единиц объема аустенитной и мартенситной фаз в отсутствии напряжений и при отсчетной температуре.
3. Распространение положения об активных процессах пропорционального нагружения на случай обратных превращений. Рассматриваются процессы прямого или обратного превращения, сопровождающиеся или нет структурным переходом, но без разгрузки:
dGi > 0 (3.1)
При этом считается, что компоненты девиатора напряжений меняются пропорционально одному параметру:
а'у = kjjGj, by = const (3.2)
В этих условиях для каждой пары индексов ((, j) уравнение (2.5) имеет форму уравнения Пфаффа [19] для неизвестной функции г у' и независимых переменных q, а,. Процесс термомеханического нагружения задается в виде некоторой кривой на плоскости (q, с,). В общем случае, получающаяся в результате этого процесса деформация зависит не только от начальной и конечной точек процесса на плоскости (q, а,-), но и от истории изменения q и а, между этими точками. В [19] приведены условия интегрируемости уравнения Пфаффа, при выполнении которых решение не зависит от истории изменения независимых переменных, а определяется лишь начальной и конечной точками процесса (фактически это условия единственности решения при заданном начальном значении). Легко видеть, что для уравнения (2.5) это условие (помимо требований гладкости соответствующих функций) сводится к соотношению
(фКст,) -V2(ст,)) (1 - qf(q)) = 0 (3.3)
Равенств
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.