научная статья по теме УДАР УПРУГОЙ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКОЙ ПО ТОНКОМУ СЛОЮ ЖИДКОСТИ Физика

Текст научной статьи на тему «УДАР УПРУГОЙ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКОЙ ПО ТОНКОМУ СЛОЮ ЖИДКОСТИ»

МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 2 • 2015

УДК 532.58

УДАР УПРУГОЙ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКОЙ ПО ТОНКОМУ СЛОЮ

ЖИДКОСТИ

© 2015 г. Т. И. ХАБАХПАШЕВА

Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск e-mail: tana@hydro.nsc.ru

Поступила в редакцию 29.07.2014 г.

Рассмотрена осесимметричная задача об ударе упругой сферической оболочкой по тонкому слою идеальной несжимаемой жидкости. Деформации сферической оболочки описываются с помощью метода нормальных мод, а для гидродинамического анализа и определения радиуса смоченной поверхности используется разложение области течения жидкости на подобласти, предложенное в [1]. Связная задача гидроупругости сведена к эволюционной системе дифференциальных уравнений, проведены расчеты для исследования особенностей соударения при различных параметрах задачи. Показано, что при ударе по поверхности жидкости в нижней части оболочки возникают колебания, соответствующие высоким модам, что согласуется с экспериментами и доказывает несостоятельность моделей, в которых учитывается небольшое количество мод. Чем тоньше слой жидкости, тем выше гидродинамические нагрузки и амплитуда упругих колебаний оболочки при ударе.

Ключевые слова: взаимодействие тела и жидкости, удар по тонкому слою жидкости, метод сращиваемых асимптотических разложений, сферическая оболочка.

Задача об ударе тела по поверхности жидкости стала актуальной в тридцатых годах прошлого века, когда началось строительство первых гидросамолетов. Пионерскими работами в этой области являются работы Кармана [2] и Вагнера [3]. Жидкость предполагалась идеальной, несжимаемой и бесконечно глубокой, а форма тела практически параллельной поверхности жидкости. Карман в 1929 г. провел первое теоретическое исследование и определил давление на жесткое днище понтона при посадке самолета, при этом область контакта определялась простым пересечением области, занимаемой погружающимся телом, и области, занимаемой невозмущенной жидкостью. Использовалось так называемое "приближение плоского диска", при котором и кинематическое, и динамическое условия на поверхности тела и на свободной поверхности сносились на уровень невозмущенной поверхности жидкости.

Вагнер в 1932 г. расширил модель Кармана, учтя возвышение свободной поверхности жидкости при ударе. Предполагалось, что возвышение свободной поверхности в точке сопряжения (точке контакта свободной поверхности жидкости и тела) совпадает с положением поверхности тела, а граничные условия сносятся на горизонтальную прямую, проходящую через точку сопряжения. Впоследствии подход Вагнера был применен и адаптирован к различным задачам о соударении с жидкостью как твердых, так и упругих тел. Подробные обзоры этих исследований приведены в [4, 5].

Практически в то же время аналогичные исследования проводились в ЦАГИ [6—10], однако в этих работах рассматривался удар по телу, уже плавающему на поверхности жидкости, а стадией удара с расширяющейся областью контакта пренебрегалось. Но эта стадия очень важна, поскольку нагрузка на тело пропорциональна скорости рас-

ширения области контакта и при соударении с жидкостью тел с днищем, параллельным поверхности жидкости, гидродинамическая нагрузка на тело выше, чем на стадии погружения, когда тело смочено полностью. Поэтому определения области контакта и скорости ее расширения принципиально для корректного решения задач о соударении тела и жидкости.

Другой подход к задачам о соударении тела с жидкостью и определению размера области контакта развит Коробкиным [1] при исследовании двумерной задачи о соударении твердых недеформируемых тел, одно из которых покрыто тонким слоем жидкости. Полагалось, что толщина струй, возникающих на краях области контакта, сравнима с толщиной жидкого слоя и определяется вместе с решением задачи. Отметим, что в подходе Вагнера влияние струй на течение не учитывается, но в качестве границы области контакта между поверхностью тела и жидкостью принимаются точки разворота струй. Для решения задачи об ударе по тонкому слою [1] область течения была разделена на четыре подобласти, и решения в каждой из этих подобластей согласованы.

Двумерная теория быстрого входа в воду слабоискривленных тел в жидкость конечной глубины развита в [11]. Однако эта теория достаточно громоздкая и расширение ее на случай взаимодействия с упругими телами в настоящее время не представляется возможным. Для этой теории указанные подходы предельны: подход Вагнера — при глубине жидкости стремящейся к бесконечности, а подход Коробкина — при глубине жидкости, стремящейся к нулю.

В [12] метод [1] применен к решению задачи об ударе упругой цилиндрической оболочки по свободной поверхности слоя жидкости. Упругие колебания оболочки описывались с помощью метода нормальных мод. Показано, что удар по тонкому слою жидкости более опасен, чем удар по глубокой воде, поскольку напряжения, возникающие в оболочке, и ее деформации в первом случае значительно выше. Отмечено, что при увеличении глубины жидкого слоя упругие деформации оболочки перестают зависеть от глубины. Кроме того, в [12] проведено сравнение удлинений в цилиндрической оболочке при ударе по жидкости, полученных в рамках приближения тонкого слоя, с результатами эксперимента [13] и результатами, полученными [14] для бесконечно глубокой жидкости в приближении Вагнера. В [14] для определения колебаний оболочки использовался метод нормальных мод. Показано, что во всех трех случаях результаты близки как для эволюции напряжений, так и для максимальных значений напряжений и времени их достижения. Кроме того, в экспериментах [15] продемонстрировано, что в начале процесса удара наибольшие перемещения в жидкости происходят в верхнем слое, тогда как основной объем покоится, и реакция тела на наличие покоящегося толстого слоя жидкости под движущимся слоем несущественна. Это наглядно показало важность решения задач об ударе в рамках теории мелкой воды.

Численные исследования входа и выхода из воды цилиндрических оболочек проводились в [16, 17]. Исследовалась двумерная задача гидроупругости для удара цилиндрической оболочкой с применением модального анализа для тела и численных методов для определения течения в конечном слое жидкости. Однако использовалась упрощенная модель оболочки без учета растяжения серединной поверхности, а вычисления проводились не более, чем с пятью модами. В работе [12] показано, что учет такого малого количества мод недостаточен.

В работах [18, 19] рассмотрена двумерная задача о наклонном соударении свободного твердого тела, имеющего пологое дно, с тонким слоем идеальной несжимаемой жидкости. В [18] исследовалась начальная стадия соударения, с образованием струй как перед телом, так и за ним, а в [19] — образование зоны отслоения за движущимся телом и последующим отскоком тела от жидкости. Показано, что нагрузки на тело в течение всего соударения максимальны на начальной стадии, пока область контакта

Фиг. 1. Схема рассматриваемой задачи

растет во всех направлениях. Эта же стадия рассматривается в данной работе для удара упругой сферической оболочкой.

В настоящей работе описаны упругие колебания нижней части сферической оболочки при ударе по тонкому слою жидкости и определены деформации и нагрузки на оболочку. Течение жидкости, деформации оболочки и размер области контакта определяются одновременно. Для анализа течения жидкости используется метод сращиваемых асимптотических разложений [1]. Деформации сферической оболочки описываются с помощью метода нормальных мод, в рамках которого прогиб представляется в виде ряда по формам свободных колебаний оболочки, что позволяет построить эволюционную систему дифференциальных уравнений для решения связной задачи гидроупругости.

1. Постановка задачи и основные предположения. В начальный момент времени ?' = 0 сферическая оболочка радиуса Я' касается жидкости в единственной точке, выбранной в качестве начала декартовой системы координат Ох'у'£ (фиг. 1). Невозмущенная свободная поверхность жидкости соответствует плоскости Ох'у'. Жидкость покоится, толщина слоя жидкости И'. Затем оболочка начинает погружаться в жидкость так, что скорость центра V вертикальна и постоянна.

Скорость и форма оболочки при ( > 0 меняются вследствие соударения с жидкостью. Радиус линии контакта между свободной поверхностью жидкости и оболочкой заранее неизвестен и должен определяться одновременно с деформациями оболочки и течением жидкости.

Связная задача гидроупругости решается при следующих предположениях: жидкость идеальная и несжимаемая; течение в слое осесимметрично относительно оси О£'; течение жидкости непосредственно под проникающим телом рассматривается в рамках теории мелкой воды; толщина оболочки постоянна и мала; внешние массовые силы и силы поверхностного натяжения не учитываются; размер области контакта в зависимости от времени монотонно возрастает.

Задача решается в безразмерных переменных. В качестве масштабов длины, времени и скорости течения выбираются соответственно Ь = Н ', Т = К/Vи V, а гидродинамического давления — р V 2, где р — плотность жидкости.

Течение жидкости определяется с помощью метода сращиваемых асимптотических разложений [1], в рамках которого область течения разбивается на четыре подобласти: I — область непосредственно под проникающим телом; II — область зарождения струй; III — область струй; IV — внешняя область, жидкость в которой покоится, фиг. 2, а.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\v

H c

___

Р = p(c, t)

-hj.

p = 0

Uo(t)

h = 1 p = 0

777777777777777777777777777777777

Фиг. 2. Схема разбиения области течения жидкости в диаметральном сечении (а) и схема квазистационарного течения в области зарождения струй (б)

z

Отметим, что размер области I изменяется в процессе удара в зависимости от радиуса области контакта. Связь параметров течения жидкости в различных областях осуществляется в области зарождения струй II на основе общих законов сохранения. Предположение о монотонном росте области контакта со временем позволяет сохранить наличие струй и общую геометрию области течения на протяжении всего рассматриваемого времени взаимодействия.

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком