УГЛОВОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЧЕРЕНКОВСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ РЕЛЯТИВИСТСКИХ ТЯЖЕЛЫХ ИОНОВ С УЧЕТОМ ТОРМОЖЕНИЯ В РАДИАТОРЕ
О. В. БогдановаЬ* Е. И. Фикса, Ю. Л. Пивоварова
а Национальный исследовательский Томский политехнический университет
634050, Тоа).ск, Россия
ъ Национальная лаборатория. Фраскати 00044, Фраскати, Италия.
Поступила в редакцию 11 октября 2011 1".
Численными методами исследованы зависимости структуры и ширины углового распределения излучения Вавилова - Черенкова с фиксированной длиной волны вблизи черенковского конуса как от параметров радиатора (толщина, показатель преломления), так и параметров пучка релятивистских тяжелых ионов (заряд, начальная энергия). Торможение релятивистских тяжелых ионов в радиаторе, приводя к уменьшению скорости ионов, меняет условие конструктивной интерференции волн, испущенных с различных участков траектории, в результате чего возникает сложное угловое распределение излучения Вавилова-Черенкова. Ключевой величиной является тормозная способность тонкого слоя радиатора (средние потери энергии иона), которая в работе вычислялась по формуле Бете-Блоха и с помощью пакета БШМ. Получена простая формула для оценки ширины углового распределения черенковского излучения (с фиксированной длиной волны) релятивистских тяжелых ионов с учетом торможения в радиаторе. Измерение ширины может дать прямую информацию о заряде пролетающего через радиатор иона, тем самым расширяя возможности черенковских детекторов. Обсуждается также изотопический эффект — зависимость углового распределения излучения Вавилова-Черенкова от массы иона.
1. ВВЕДЕНИЕ
Черепковское излучение (ЧИ) возникает при движении заряженной частицы в прозрачной среде со скоростью, превышающей фазовую скорость распространения света в этой среде. Теоретическое объяснение явления ЧИ было дано Таммом и Франком в работе [1]. Теория Тамма Франка (ТФ) не учитывает отклонение траектории частицы от прямолинейной из-за многократного рассеяния и уменьшение скорости частицы вследствие потерь энергии на ионизацию. Впервые влияние многократного рассеяния на угловое распределение ЧИ без учета потерь энергии было исследовано Дедриком [2]. В статье Кузьмина и Тарасова [3] был рассмотрен другой крайний случай угловое распределение ЧИ для релятивистских тяжелых ионов {2, А 1) с учетом потерь энергии (торможения) ионов в тонком радиаторе, в пренебрежении многократным рассея-
Е-таП: boviffltpu.ru
нпем. Модель Кузьмина Тарасова (КТ) предсказывает тонкую структуру углового распределения ЧИ вблизи черенковского конуса, подобную возникающей при дифракции Френеля.
В работе [4] был разработан новый метод, основанный на использовании компьютерного кода БШМ [5], который позволяет достаточно точно определять потери энергии и скорость иона в зависимости от глубины проникновения в радиатор и тем самым избежать используемого в модели КТ приближения тонкого радиатора. Согласно [4], полученные с помощью БШМ значения скорости подставляются в формулу классической электродинамики для спектрально-углового распределения излучения заряженной частицы, движущейся по произвольной траектории в прозрачной среде с известной частотной дисперсией (показателем преломления).
В настоящей работе получена оценка ширины углового распределения ЧИ релятивистских тяжелых
ионов с учетом торможения в радиаторе и проведены расчеты структуры углового распределения ЧИ с использованием различных способов описания торможения (потерь энергии): по формуле Бете Блоха, с помощью пакета программ ЭММ. Полученные расчеты демонстрируют зависимости от толщины радиатора, длины волны излучения, заряда иона. Также исследуется изотопический эффект зависимость углового распределения ЧИ от массы иона.
справедливо разложение (3), можно определить скорость иона (.'1 при вылете из радиатора. Учитывая, что черепковские углы, соответствующие начальной г'о и конечной скоростям иона, равны
0o,i = arceos
1
nßo,l
ßo,l =
V од
оцениваем ширину Д0<? углового распределения ЧИ релятивистских тяжелых ионов с учетом торможения следующим образом:
2. ТОРМОЖЕНИЕ РЕЛЯТИВИСТСКОГО ИОНА В РАДИАТОРЕ И ОЦЕНКА
УГЛОВОЙ ШИРИНЫ КОНУСА ЧЕРЕНКОВСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
Черепковские фотоны излучаются в направлении движения частицы (частица движется в радиаторе с постоянной скоростью V) в конус, угол излучения 0 связан со скоростью частицы формулой
cos 0 = —.
n/v
(1)
где с скорость света в вакууме, п показатель преломления радиатора.
В теории ТФ, как известно, ширина А$тр углового распределения ЧИ вблизи черенковского конуса определяется длиной волны излучения А и толщиной радиатора Ь:
А0П « X/L.
(2)
Понятно, что при учете торможения в радиаторе скорость иона уменьшается и, в соответствии с (1), угол ЧИ также уменьшается. Достаточно просто получить оценку ширины углового распределения в случае тонкого радиатора. Как и в модели КТ [3], используем зависимость скорости частицы от глубины проникновения х в радиатор в приближении тонкого радиатора:
1
v(x)
1
Со
1
■
"n =
dv(x)
dx
< 0,
(3)
3-0
, _ Jr еШ _ /
0 (IE dx Ev V c2 ) dx
3-0
- - 77 -2 , 3{Ео). (4) -ЬоОо'о
Здесь Е полная энергия частицы; £0, 7о, ''о энергия, релятивистский фактор и скорость иона при влете в радиатор; —йЕ/йх = 5'(£о) тормозная способность иона, соответствующее его начальной скорости. При толщине радиатора х = Ь, если
A0s = 0о — 01 ~ arceos — nßо
arceos
1
nßо
1
4L
Vo
■ (5)
Поскольку ЧИ сосредоточено в узком интервале углов 01 < 0 < 0о, 0о — 01 •С 1, последнее слагаемое в правой части (5) можно разложить в ряд Тейлора в окрестности значения аргумента 1/пво- Разложение с учетом только первых двух членов имеет следующий вид:
arceos
1
nß о
4L
Vo
arceos
1
nßО
^ctg0o. (6)
"о
Подстановка (6) в (5) приводит к простой формуле для М8:
A0S
\4\L л ■Ctg во =
ЕоЯ'?
S(Eo)Lctg0o. (7)
''о '-II /о 1 О
С учетом (1) формулу (7) можно представить в виде 1 . 1
Ms =
Eollßl
S(Eo)
s/Wo
1
n = n{ А). (8)
Выполненная простая оценка ширины углового распределения совпадает с шириной распределения в модели КТ, возникающей при сложном вычислении углового распределения ЧИ в [3]. Если толщина радиатора такова, что разложение (3) неприменимо, конечное значение скорости нужно вычислять, используя, например, пакет программ ЭММ или аналогичный пакет, а затем определять ширину как
A0s = 0о — 01 ~ arceos
1
nßо
arceos
1
nß i
Формула (8) для ширины A0s углового распределения ЧИ вблизи черенковского конуса демонстрирует линейную зависимость от толщины радиатора, в отличие от соотношения АОтр ~ АЬ-1. Таким
образом, в очень тонком радиаторе (торможением можно пренебречь) ширина углового распределения ЧИ обратно пропорциональна толщине радиатора Дч)тр ~ ХЬ^1, а с ростом толщины эта зависимость переходит в прямую Ав$ « 5Х. Также из формулы (8) следует явная зависимость от тормозной способности радиатора 5'(£о) (в свою очередь зависит от квадрата заряда иона) и от длины волны излучения, так как п = п(А).
Более того, формула (8) учитывает и изотопический эффект: действительно, тормозная способность 5'(£о) пропорциональна квадрату заряда иона одинаково для изотопов, по множитель Ед1 = (70 Мс2)-1 в явном виде содержит зависимость от массы изотопа.
3. ТЕОРЕТИЧЕСКИМ АНАЛИЗ
Согласно теории Тамма Франка [1], угловое распределение ЧИ в радиаторе конечной толщины определяется формулой
2
= и)Ь | ...... 1
<Р1
(ко <К1
(9)
где
1 / БШ X
X =
А'Отр \ •'•
(10)
(11)
Формулы (10), (11) содержат ширину А^/ / углового распределения ЧИ вблизи черепковского угла:
-1
Ль/,, = Х(пЬу
(12)
Здесь г в заряд иона, Л = 2тге/и> длина волны излучения, и) частота черепковского фотона. Угловое распределение (10) имеет дифракционную структуру и его ширина )тр ос АЬ-1.
В работе [3] для анализа углового распределения ЧИ и ширины углового распределения ЧИ с учетом торможения в радиаторе использовалась формула классической электродинамики для спектрально-углового распределения излучения заряженной частицы, движущейся в веществе по произвольной траектории:
(1и)(1(сОзв)
где
Ф(х) = кX СОЯ в — и!
(1х'
(13)
с(х')
к = ит/с волновое число черепковского фотона.
Используя разложение (3), авторы работы [3] путем дальнейших преобразований формулы (13) (см. Приложение) получили аналитические формулы для расчета углового распределения ЧИ релятивистских тяжелых ионов с учетом торможения в тонком радиаторе:
<Р1
(1и(1{соя в)
= <лЬ
/кт(в,о>)
(14)
где
/кт(в,и) =
2Авкт >¡11 в0 х ([СЫ-СЫГ + рЫ-БЫ]'"
В формуле (15)
(15)
I— и I— и
/2 Г /2 Г
С(и) = \ — / со я í2fIí. Б(и) = \ — / Ш112(М
V тг ,) V 7Г ,]
интегралы Френеля;
иод =
к соя в — и/г>од
и =
2ил>'0
Авкт — —
Со
ширина углового распределения ТШ,
во,1 = агссоБ
пг< од
1
"1
1
('о
(.'1 скорость частицы на выходе из радиатора.
Формула (15) содержит правильные выражения для пределов интегрирования (аргументов интегралов Френеля), в работе [3] они, видимо, приведены с опечатками.
Таким образом, различие угловых распределений ЧИ, полученных по теории ТФ [1] и в рамках модели КТ [3], заключается только в функциях и При этом /тр(@-и)) содержит
зависимость от длины волны излучения и толщины радиатора, а в появляется зависимость от
начальной энергии частицы и ее удельных потерь энергии (1Е/(1х в радиаторе. Зависимость от толщины радиатора Ь совершенно различна: в первом случае это зависимость типа Ь^1, во втором линейная зависимость от Ь.
На рис. 1 схематично представлены угловые распределения ЧИ согласно теории ТФ, ширина углового распределения ЧИ А&тр = А(пЬ)-1, и с уче-
Рис. 1. Черенковский конус и диффракционно подобная структура углового распределения ЧИ: согласно теории ТФ
(а) и с учетом торможения ионов в радиаторе (б)
том торможения ионов в радиаторе, ширина углового распределения зависит от тормозной способности радиатора как
_ £__¿'(■Ер)
у/(п(\т2 -1
В последнем случае угловое распределение с ростом толщины радиатора становится шире и «ползет» внутрь первоначального черенковского конуса. Результаты детальных численных расчетов представлены в разд. 4.
Сделаем замечание о применимости п
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.