ИЗВЕСТИЯ РАИ. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2007, № 3, с. 45-53
= УПРАВЛЕНИЕ В ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИСТЕМАХ
УДК 517.977
УКЛОНЕНИЕ ОТ ГРУППЫ ИНЕРЦИОННЫХ ОБЪЕКТОВ
© 2007 г. Л. С. Чиркова
Ижевск, Удмуртский государственный ун-т Поступила в редакцию 05.06.06 г., после доработки 23.10.06 г.
Получены достаточные условия уклонения от встречи в игре с равными возможностями участников, закон движения каждого - уравнение третьего порядка. Участвуют один убегающий и группа преследователей.
Введение. В [1] были получены необходимые и достаточные условия поимки группой преследователей одного убегающего в задаче простого преследования с равными возможностями всех участников. Показано, что поимка происходит тогда и только тогда, когда начальная позиция убегающего принадлежит внутренности выпуклой оболочки начальных позиций преследователей. В [2-4] рассматривалась задача преследования группой преследователей одного убегающего при условии, что все участники обладают равными возможностями, а закон движения каждого из них - дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. В [2, 3] было получено достаточное условие уклонения от встречи при дискриминации преследователей. В [4] сформулировано достаточное условие поимки убегающего при его дискриминации. В [5] исследована задача уклонения управляемой точки, скорость которой ограничена по величине, от встречи с любым конечным числом преследователей, скорости которых также ограничены по величине и строго меньше скорости уклоняющейся точки.
В данной работе найдены достаточные условия уклонения от встречи при условии, что все участники обладают равными возможностями, преследователи дискриминированы, закон движения каждого из участников - дифференциальное уравнение третьего порядка. Стратегия уклонения убегающего имеет определенное сходство со стратегией уклонения из работы [5] и строится следующим образом. До сближения с очередным преследователем и далее, после того как данный преследователь будет оставлен позади, убегающий выбирает постоянное управление. При сближении с очередным преследователем управление убегающего выбирается либо равным управлению преследователя, либо строится специальное управление, позволяющее уклониться от встречи на достаточно малом отрезке времени. Если убегающий встречается с несколькими преследователями, то маневр "обхода" совершается по оче-
реди, подпуская следующего преследователя ближе, чем предыдущего. Так как преследователей конечное число, то такой маневр позволяет избежать поимки.
1. Постановка задачи. В пространстве К*, к > 2, рассматривается игра Г, в которой участвуют п преследователей Рь ..., Рп и убегающий Е. Закон движения при этом имеет вид
Xi = и,, х, (0) = х0, X (0) = х0, х (о) = х0, 1И1 < 1,
У = V, У( 0) = У0, У (0) = у0,
у (0) = У0, И1 < 1. Вместо данной системы рассмотрим систему
"¿г = Щ - V, г(0) = г0, ¿г(0) = г0,
г (0) = г0.
Пусть 5 = {х е ||х|| < 1}, N = {1, ... , я}, = = {г + 1, ..., г + п}, 1пХ, ЭХ, соХ - соответственно внутренность, граница и выпуклая оболочка множества X.
Определение 1. Назовем предысторией управления преследователя Р, г е в момент ^ I > 0, функцию
и,Х■) = {и,(s) : и,(s) е 5,
5 е [0, t], иг(s) - измерима }
и будем говорить, что задана квазистратегия убегающего Е, если определено отображение У^, г0, ихХ0, ..., ипХ0), ставящее в соответствие начально-
0 , 0 .0 ..0 0 .0 ..0 ч
му состоянию г0 = (г1, г1, г1, ..., гп, гп, г п), моменту t и произвольной предыстории управления преследователей и^О, ..., иш(~) измеримую функцию МР) = У($,г0, и^-), ..., ип(У) со значениями в 5. При этом предполагается, что должно быть выполнено условие "физической осуществимости", т.е. ес-
1 2
ли и1 , и1 - два допустимых управления преследо-
12
вателя Р, 1 е причем (О = (О для почти всех t и любых 1 е то соответствующие им при отображении и^(0, ..., ипt(•)) функции V1, V2
также равны почти всюду при t > °.
Будем говорить, что в дифференциальной игре
-Г, ° , 0 .0 ..0 0
1 из начального состояния = (г1, г1, г1, ..., гп,
00
2п, гп) происходит уклонение от встречи, если существует квазистратегия u1t(•), ..., unt(•)) убегающего Е, такая, что ||^(0|| Ф ° для всех 1 е Nn, t > 2. Решение задачи. Теорема. Если ° й
й со |, то в игре Г из начального состояния г°
возможно убегание.
Доказательство. Пусть ° й со г01. Из
теоремы об отделимости выпуклых множеств следует, что существуют вектор р е дБ и число £ > °,
такие, что справедливо неравенство тах (¿'°, р) <
1 < 1 < п
< -2£. Введем обозначения
ni(t) = min z(t)
1 < i < n
П2(t) = min ¿i(t)
1 < i < n
5 = min{ 1,е^,/п1(0), 7л2(0)}. Случай 1. Пусть
и и^), s е [°, v(s), 5 е t1 + т1). Из рассуждений, приведенных в случае 1, следует, что ||гг(0|| Ф °, t >°, 1 е Nn \{/}.
Так как ((t1), р) > °, (г (t1), р) < -5, то при любых и(5), на отрезке ^^ t1 + т1] справедливо (г(?1 + т1), р) < Следовательно, в момент t = t1 + т1 состояние дифференциальной игры Г соответствует рассмотренному выше случаю 1. Таким образом, если по любому управлению и(5) можно построить управление ^5), 5 е t1 + т1), обеспечивающее ||г Х0|| Ф ° при t е [t1, t1 + т1], то разрешимость задачи убегания из начального состояния будет доказана.
Предположим, что ¿1 (^)) = -^(^Ц •
• || 21 (t1)||. Векторы г Х^), (t1) линейно зависимы, поэтому существует вектор у е дБ, для которого (г(^), у) = (г (^), у) = Пусть £1 е (°, т1) - некоторое число, такое, что при произвольных управлениях и/я), 5 е t1 + т1], справедливо неравенство (г (t1 + £1), р) > Покажем, что если на отрезке t1 + £1] управление выбирать из условия
[ 1, если (и(5),у)< 0,
(V(5),У) = \ л ( ( ) ) п (2.1)
[-1, если (и(5), у) > 0, то существует такое число у1 е [°, £1), что (г (11 + у 1), г (tl+ у 1 ))*
* 41 г (tl+ у 1 )||- \\г, (tl+ У1 )||.
(2.2)
max (z0, p)< 0, max (z0, p)< 0.
1 < i < n 1 < i < n
Зададим управление убегающего следующим образом: v(t) = p, t e [0, Тогда справедливо (z/t), p) < 0 для любых t и i e Nn.
Случай 2. Предположим, что (z0, p) > 0 для
некоторого l e Nn и (z0,p) < 0 для любого i e Nn\ {/}. и при t, < t < t, + ex имеет место система уравнений
При t > t1 введем в рассмотрение функции /,(t), /2(t) и/3(t), где
t
/з(t) = (z(t),у) = J"(ui(s) - v(s),Y)ds,
При этом max (z°, p) < 0. Опишем маневр уклоне-
1 < i < n
ния, гарантирующий разрешимость задачи убегания из такого начального состояния z0. Пусть т, =
= , 5, = 5Т1 + (Т1-,, . Справедливы неравенства 22 2 2 • 3!
ni(0) > 5,, п2(0) > 5,. Полагаем v(t) = p, t e [0, t,), где t, - либо момент, в который \zl(t1 = 5, и (zl (t,),p) > > 0, либо Если t, < +<», то на полуинтервале [t,, t, + т,) управление v(s) будем выбирать специальным образом, а при t > t, + т, опять положим равным p. При так заданном управлении убегающего E преследователь P, i e Nn\ {l}, по существу не влияет на исход игры. Действительно, из определения числа т, и вектора p следует, что (z,(t), p) < 0 при любых t >0
11
А (0 = т ¡2 (0 = /з(0, /з (t) = (и^) - v(t), у). Причем /1(0 = = /3(t1) = Из этих уравнений следует, что/3(0 Ф ° на отрезке t1 + £1]. Множество О = ^ е t1 + £1),/3(t) Ф °} непусто и открыто, поэтому представимо в виде
О = ),
]
где {(а,-, Р,)} - взаимно непересекающаяся не более чем счетная система интервалов. Рассмотрим (а-, в,) как некоторый интервал из этой системы. Тогда /з(а-) = /з(р-) = °,/з(0 Ф ° на (а,, в,). Если /(а,) Ф °, то
/2 (t) = /3(0 Ф ° на (а-, в,) и /2(в-) Ф °. Следовательно, соотношение (2.2) выполнено при ^ + у1 = в-. Когда (г^), ¿, (tl)) Ф Н№)|| • ||¿г (0||, полагаем У1 = °.
Итак, управление -У) на t1 + ух) выбираем по правилу (2.1) и в момент t1 + у1 справедливо (2.2). Далее полагаем -У) = и/у) при у е [t1 + ух, t1 + тх). При этом
t - ti-у i
Zi( t) = z, (ti+ Y1) + J (ti+ Y1) ds,
t e [t1; t1 + t1 ),
следовательно, ||zX0|| ф 0 и по любой измеримой u(s) e S можно построить такую измеримую функцию v(s) e S, что ||zХ0|| ф 0 при t e [t1, t1 + т1].
Случай 3. Предположим, что (z\, p) > 0 для
некоторого l e Nn и (z0, p) < 0 для любого i e Nn \ {l}.
В этом случае max (z0, p) <0. Опишем маневр
1 < i < n
уклонения, гарантирующий разрешимость задачи убегания из такого начального состояния z0. Пусть
т1 = ■5- , 51 = 5 Т-1 + ('г-'1-) - . Справедливы неравен-
22 2 2 • 3!
ства п1(0) > 51, п2(0) > 51. Полагаем v(t) = p, t e [0, t1), где t1 - либо момент, в который ||zXt1)|| = 51 и (zl(t1), p) > 0, либо Если t1 < +«>, то на полуинтервале [t1, t1 + т1) управление v(s) будем выбирать специальным образом, а при t > t1 + т1 опять положим равным p. При таком управлении преследователь Pi, i e e Nn \ {l}, по существу не влияет на исход игры. Это показано в случае 2. Для любых u(s), v(s) на [t1, t1 +
2
4
до тех пор, пока у < где t2 - момент, в который ||¿у (t2)|| = 52. После управление Vзададим, как в случае 2, только вместо 51 нужно взять 52, далее --У) = Р, . > t2 + т1.
Рассмотрим ситуацию, когда сближение с у-м преследователем происходит раньше, чем с 1-м. Примем = р, t е [0, t1), где t1 - либо момент, в который ||¿у (t1)|| = 52 и (¿у (t1), р) > 0, либо Пусть t1 < +<», тогда на полуинтервале t1 + т1) управление -У) формируется специальным образом и с учетом поведения преследователя Р 1. Если на полуинтервале ^^ t1 + т1) не наблюдается равенство ||гХ0|| = 81, то управление следует определять, как в случае 2. Далее установим -У) = р, у > > ^ + т1, до тех пор, пока у < где ^ - момент, в который ||гХ^)|| = 61, t2 < Управление v(t) при t > t2 строим так же, как случае 3, но вместо 51 поставим 52. В дальнейшем -У) = р, у > t2 + т1.
Пусть ^ е (t1, t1 + т1). Полагаем v(t) = р, t е [0, t1), где ^ - либо момент, когда ||гХО|| = 61 и (¿Xt1), р) > 0, либо Если ^ < +<», тогда на полуинтервале t1 + т1) управление -У) будем выбирать специальным образом и с учетом поведения преследователя Ру. Сначала на t1 + т1) управление такое же, как в случае 3, до тех пор, пока у < где ^ определяется условиями || ¿у (^)|| = 53 и (¿у (^), р) > 0. Управление V в момент ^ соответствует рассмотренному в случае 2,
но вместо 51 используется 53 = 5 -г2 +
т1 Т1
+ Т1] выполнено (¿Xt1 + Т
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.