ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2004, том 67, № 2, с. 267-272
= ЯДРА ^^
УНИТАРНЫЙ ПОДХОД К РЕАКЦИЯМ КВАЗИУПРУГОГО
РАССЕЯНИЯ
© 2004 г. Дж. В. Мебония, П. Дж. Саралидзе
Тбилисский государственный университет, Грузия Поступила в редакцию 26.11.2002 г.; после доработки 01.04.2003 г.
Рассмотрена возможность приближенного, но унитарного решения интегральных уравнений Фаддеева на основе К-матричного формализма. В рамках механизма истинного однократного столкновения получены явные выражения амплитуд для упругого, неупругого и квазиупругого трехчастичного рассеяния. Конкретные расчеты проведены для реакций квазиупругого рассеяния ¿(М, 2М. Достигнутое хорошее согласие теории с экспериментальными данными указывает на важность сохранения фундаментальных физических принципов при формулировке приближенных методов исследования.
Изучение реакций квазиупругого рассеяния (РКР) типа (М, 2М), (М, Ма) и т.д. дает ценную информацию об основных проблемах ядерной физики. Хотя в большинстве случаев РКР является многочастичной задачей, ее обычно сводят к трехчастичной задаче на основе некоторых модельных представлений. Поэтому, естественно, теория Фаддеева [ 1] оказала решающее влияние на развитие теоретических методов исследования РКР. Ввиду того, что непосредственное решение системы интегральных уравнений Фаддеева связано с большими техническими трудностями, прибегают к разным приближенным методам. Однако многие из них страдают одним недостатком: приближенная амплитуда не обладает свойством трехчастичной унитарности. Правда, существуют и другие унитарные схемы [2—4], но они достаточно громоздки и не очень удобны для конкретных расчетов.
Одна из унитарных схем была сформулирована в работе [5]. Основная суть метода заключается в приближенном решении уравнений Фаддеева в К-матричном формализме, позволяющем сохранить свойство унитарности Т-матрицы рассеяния.
Рассмотрим рассеяние трех нерелятивистских частиц в приближении парного взаимодействия
3
V = Е (1)
а=1
где Уа — потенциал взаимодействия между частицами в и 7 = 123, 231, 312).
Разделим функцию Грина для движения трех свободных частиц С0(2) на неэрмитовую С1(2) и эрмитовую С2(2) части:
с1(г) = ±с0(г)-±с0(г*), (2)
с2(г) = ±Со(г) + ±Со(г*). (3)
Здесь 2 — комплексный параметр, причем Re(Z) = = Е — полная энергия системы.
Определим эрмитовый оператор К(2) следующим образом:
К(2) = V - УС2(2)К{2). (4)
Тогда Т-матрицу трехчастичного рассеяния можно выразить через оператор К(2):
Т (2) = {1 + К (ад^ )}-1К (2). (5)
Таким образом, вместо того чтобы решить уравнение Липпмана—Швингера для Т-матрицы с С0(2)-функцией Грина непосредственно, мы выбираем другой путь: решаем уравнение для эрмитовой К(2)-матрицы (4), а потом выражаем Т-матрицу через оператор К(2). Преимущество нахождения Т(2) в такой последовательности заключается в том, что любое приближенное решение уравнения (4) обеспечивает унитарность Т-матрицы. Однако уравнение (4) содержит известные трехчастичные трудности, что не позволяет решить его однозначно. Поэтому, следуя Фаддееву, введем вспомогательные операторы Ка(2):
3
К(2) = £ Ка(2), (6)
а=1
для которых можно написать систему интегральных уравнений Фаддеева:
Ка2 = Ка(2){1 - С2(2)[Кв(2) + К(2)]}.
(7)
Здесь Ка (2) является двухчастичным эрмитовым оператором в задаче трех тел и удовлетворяет интегральному уравнению
Ка (2) = Уа{1 " С2 (2 )Ка (2)}.
(8)
Из определения видно, что Ка(2) является аналогом полной двухчастичной Та(2)-матрицы в задаче трех тел:
Та (2) = Уа[1 - Со (2 )Та(2)].
(9)
Эти два оператора связаны между собой уравнением Гайтлера
Та (2 )= Ка(2 )[1 - С1(2)Та(2)]. (10)
Ограничимся теперь решением первого порядка в уравнениях (7) и опустим аргумент 2 (будем считать, что все операторы от него зависят):
Ка » Ка. (11)
Аналогичное приближение в уравнениях Фад-деева для Т-матрицы называется "трехчастичным импульсным приближением" (ТИП) [6]. Поэтому приближение (11) было названо "трехчастич-ным унитаризованным импульсным приближением" (ТУИП). Мы считаем, что именно ТУИП соответствует истинному однократному столкновению, поскольку является унитарным решением задачи в наименьшем порядке, обеспечивающем сохранение полной вероятности. Тогда на основе формул (5), (6), (10) и (11) получим
Т = - ТеС1)(1 - ТаС1) х (12)
X {(1 - Т7С1 )(1 - ТаС1)-1(1 - ТаСТС1) X X (1 - ТаС1) + Т1С1 (1 - ТеС1)(1 - ТаС1 )}-1Т7,
где = 123, 231, 312.
Безусловно, выражение (12) очень сложно и не пригодно для непосредственного практического применения, однако его можно существенно упростить, если операторная норма ЦТ^С1ТаС1|| много меньше единицы:
1Т С1ТаС111 << 1. (13)
Можно ожидать, что условие (13) выполняется тем лучше, чем больше энергия рассеяния. Тогда формула (12) немедленно примет упрощенный вид:
Т = Е{1 - (Та + Те)С1 }Т1
(14)
порядка и члены второго порядка с неэрмитовой частью функции Грина.
Оператор (14) описывает рассеяние трех свободных частиц. Имея соответствующие асимптотические волновые функции, его можно применить для расчета любой трехчастичной задачи. Рассмотрим две из них.
1. Частица 1 рассеивается (упруго или неупруго) на связанной системе (2, 3):
1 + (2,3) ^ 1 + (2,3). (15)
Соответствующий матричный элемент примет вид
М = (ки, Ф/|Тз + Т2 - Т3С1Т2 - (16) - Т2С1Тз|Фг, ко^о),
где Фг и Ф/ — волновые функции связанной системы (2, 3) в начальном и конечном состояниях соответственно; к0 и и0 (к и V) — импульс и проекция спина падающей частицы 1 до (после) рассеяния.
Для упругого рассеяния формула (16) переходит в формулу Осборна [7] в приближении фиксированных рассеивателей или в формулу Глаубера— Ситенко [8, 9] с добавлением еще и эйконально-го приближения. Следует отметить, что формула Глаубера—Ситенко при выполнении соответствующих условий является точной формулой упругого рассеяния в том смысле, что в ней просуммированы все члены итерационного ряда многократного рассеяния.
2. Частица 1 разбивает связанную систему (2, 3), и в конечном состоянии образуются три свободные частицы с импульсами к1 , к2, кз и проекциями спинов и1, и2, и3:
1 + (2, 3) ^ 1 + 2 + 3.
(17)
В отличие от (12) выражение (14) удовлетворяет трехчастичной унитарности лишь с точностью (13).
Полученный результат (14) означает, что при требовании сохранения свойства унитарности приближенной Т-матрицы в итерационном ряде Фад-деева одновременно надо оставить члены первого
Этот процесс обычно называют дезинтеграцией. Его матричный элемент имеет вид
М = (к^ь к2кз»зТз + Т2 - (18) - (Т1 + Т2)С1Тз - (Т1 + Тз)С1Т2^г, коио).
Рассмотрим частный случай, когда в конечном состоянии на совпадение регистрируются две частицы, энергии которых Е1 и Е2 много больше энергии третьей частицы Ез:
Е1,Е2 » Ез. (19)
Это и есть условие справедливости квазиупругого механизма реакции. В таком случае вполне естественно предположить, что непосредственной причиной развала системы (2, 3) является взаимодействие регистрируемых частиц. Это означает, что в формуле (18) надо оставить лишь члены, содержащие оператор Тз.
УНИТАРНЫЙ ПОДХОД К РЕАКЦИЯМ
269
Таким образом, матричный элемент для РКР в ТУИП выглядит так:
М(ТУИП) = (к^ь к2и2, к3и3|Тз - (20)
- (Т\ + Т2)С1Тз - ТзОгТ^, кощ).
Для сравнения запишем матричный элемент РКР в ТИП:
М (ТИП) = (к^ь к 2 кз^з|Тз |Фг, ко^о). (21)
Одним из известных трехчастичных процессов является нуклон-дейтронное (ЫИ) столкновение. Задачу упругого и квазиупругого ЫИ-рассеяния можно решить в замкнутом виде для любого реалистического ЫЫ-потенциала. Такие потенциалы, дающие одинаковые результаты для физических двухнуклонных амплитуд, в трехнуклонной задаче могут привести к разным двухнуклонным вне-энергетическим амплитудам. Поэтому, если имеется надежный теоретический метод исследования, ЫИ-столкновения могут выявить дополнительные достоинства отдельных ЫЫ-потенциалов. С другой стороны, на примере ^^-столкновения можно испытать разные приближенные методы решения трехчастичных задач с целью их обобщения на более сложные процессы. В частности, реакция 2Ы)Ы является простейшим представителем широкого класса РКР, большинство которых протекает с участием сложных фрагментов. Поэтому нашей задачей в настоящей работе является систематическое исследование РКР р, 2р)п, р,рп)р и й(п, 2п)р для разного набора кинематических параметров и выявление возможностей предложенного метода ТУИП.
Эксперименты по РКР проводят, как правило, для компланарной геометрии в л.с., и на совпадение регистрируют две конечные частицы. Причем при данной энергии падающей частицы измеряют телесные углы (01, 02) регистрируемых частиц и энергию одной из них (скажем, Е\). Остальные кинематические параметры можно определить из законов сохранения энергии и импульса.
Запишем общий вид дифференциального сечения реакции 2Ы:
из а
3 4 зк\к2 = —7Г Ш —:— X
dQi dQ2dEi 8 ко
Е \AM|2
spins
парциального разложения волновой функции дейтрона Ф^ и матричных элементов операторов Та. Мы используем систему единиц Н = с = 1.
Далее пятимерное дифференциальное сечение проектируется на ось одного из параметров 9ь в2, Е1, скорее всего на ось энергии Е1, и выдается кривая зависимости дифференциального сечения от этого параметра. Иногда зависимость от Е1 заменяют зависимостью от так называемой длины дуги Б [10, 11], которая связана с энергиями конечных частиц следующим образом:
dS = ^JdEj + dEl
(23)
|2Й2 - ко 008(02) + к1 008(01 + 92)1'
Здесь т — масса нуклона, 91, 92 — углы рассеяния регистрируемых частиц, А — оператор антисимметризации по тождественным частицам; суммирование выполняется по спиновым проекциям нуклонов и дейтрона до и после реакции; в явном виде эти спиновые проекции появляются после
причем Б = 0, когда Е2 = 0 и Е1 =0.
Дифференциальное сечение йа/(й^1 ¿02йБ) легко можно выразить при помощи формул (22) и (23).
Предварительные расчеты дифференциального сечения РКР 2Ы)Ы по методу ТУИП с помощью лишь двух нуклонных Б-амплитуд (Ь = = 0) были выполнены в работах [5, 12]. Мы продолжаем систематический анализ этой реакции с учетом и других парциальных амплитуд (1Б1, 1Р1, 1 Аг, зБ1 + зА, зР1, зР2 + з^2, зА) для разных наборов кинема
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.