УНИВЕРСАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ СПЕКТРОВ ФОНОНОВ В ОЦК-, ГЦК- И ГПУ-КРИСТАЛЛАХ С КОРОТКОДЕЙСТВУЮЩИМ МЕЖАТОМНЫМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ
В. Г. Вакс* И. А. Журавлев, А. Д. Заболотский
Национальный исследовательский центр «Курчатовский институту 123182, Москва, Россия
Московский физико-технический институт (государственный университет) Ц1700, Долгопрудный, Московская обл., Россия.
Поступила в редакцию 30 мая 2011 г.
Показано, что частоты фононных ветвей, соответствующих колебаниям плотноупакованных атомных плоскостей, в ОЦК-, ГЦК- или ГПУ-кристаллах с короткодействующим межатомным взаимодействием при каждой поляризации А описываются универсальным соотношением, содержащим только два параметра для каждой ветви. В ОЦК-кристаллах эти фононные ветви соответствуют направлению (£,£,0), в ГЦК-кристаллах — направлению (£,£,£), в ГПУ-кристаллах — направлению (0,0,£). Указанное универсальное соотношение может нарушаться только дальнодействующими взаимодействиями, а именно, взаимодействиями за пределами шестой координационной сферы в ОЦК-кристалле, пятой координационной сферы в ГЦК-кристалле и одиннадцатой или десятой координационной сферы в ГПУ-кристалле. Влияние этих дальнодействий для каждой из обсуждаемых фононных ветвей можно количественно характеризовать некоторыми параметрами Д„а, просто выражающимися через частоты трех фононов данной ветви. Приведены значения этих параметров для всех ОЦК-, ГЦК- и ГПУ-металлов, для которых измерялись фононные спектры. Найдено, что в значительном большинстве случаев обсуждаемые соотношения для частот выполняются с точностью порядка нескольких процентов. В тех же случаях, когда параметры Д„л не малы, их значения могут давать существенную информацию о типе и масштабе эффектов дальнодействия в различных металлах.
1. ВВЕДЕНИЕ
Характеристики фононных спектров ид (к) в твердых телах и их аномалии в некоторых металлах широко обсуждаются в литературе, см., например, [1]. Феноменологическое описание спектров и!д(к) дается обычно с использованием матриц Борца Кармана А^ [2], каждая из которых отвечает вкладу в силовые постоянные от взаимодействий /7-х соседей в кристалле. Если для хорошего описания и>д(к) достаточно использовать только небольшое число матриц А„, то межатомные взаимодействия называют короткодействующими. Если это не так, то говорят о проявлении эффектов дальнодействия, и для объяснения этих эффектов
*Е-таП: \ракк'й'тЬк1аЬ.kiae.ru
развиваются различные теоретические модели [1]. Принято считать, что для большинства металлов спектры ид (к) в целом неплохо описываются моделями Борна Кармана с короткодействием. Для ОЦК- и ГЦК-металлов это соответствует учету взаимодействий в пределах пяти шести координационных сфер, а для ГПУ-металлов в пределах шести восьми координационных сфер [1, 3, 4].
В этом сообщении мы обращаем внимание на то, что в ОЦК-, ГЦК- и ГПУ-кристаллах с короткодействующими взаимодействиями, точное определение которых дано в разд. 2, частоты фононных ветвей, соответствующих продольным и поперечным колебаниям плотноупакованных атомных плоскостей, описываются простым и универсальным соотношением, даваемым ниже формулой (11), которое содержит только два параметра для каждой ветви. Поэтому
спектр всех фононов данной ветви полностью определяется частотами только двух фононов этой ветви. Для ОЦК-кристалла эти ветви соответствуют направлению (£, 0), для ГЦК-кристалла направлению (С,С,С), а для ГПУ-кристалла направлению (0,0,С) в зоне Бриллюэна, т.е. соответствуют одним из наиболее симметричных типов колебаний.
Влияние дальиодействующих взаимодействий, нарушающих обсуждаемые универсальные соотношения, для каждой ветви можно характеризовать некоторыми параметрами Д„д. определенными ниже равенствами (15). В разд. 3 приводятся наблюдаемые значения этих параметров для всех О ЦК-, ГЦК- и ГПУ-металлов, для которых известны результаты измерений фононных спектров, а в разд. 4 обсуждаются эти значения. Мы показываем, что в значительном большинстве случаев обсуждаемые соотношения для частот выполняются с точностью порядка нескольких процентов. В тех же случаях, когда параметры Д„д не малы, их значения могут давать существенную информацию о типе и масштабе эффектов дальнодействия в различных металлах.
2. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ЧАСТОТАМИ КОЛЕБАНИЙ ПЛОТНОУПАКОВАННЫХ АТОМНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ
Ниже мы рассмотрим колебания плотноупако-ванных атомных плоскостей и обозначим вектор относительного смещения двух таких соседних плоскостей в каждой структуре как Ь. Для краткости, ОЦК-структуру будем отмечать индексом а:, ГЦК-структуру индексом 7, а ГПУ-структуру индексом е (как это принято для таких структур в железе), и период вдоль главной оси к в ОЦК-решет-ке будем обозначать как а*а, в ГЦК-решетке как , а период вдоль гексагональной оси с в ГПУ-решетке как с. Тогда вектор относительного смещения соседних плотноупакованных плоскостей, обозначаемый ниже как Ь. для каждой из этих структур можно записать так:
Ьа = ^(а1а+а2а), Ц = ^ (а^ +а2^ +а37),
Если обозначить ¡у-й вектор решетки в п-й координационной сфере атома как то каждый такой вектор можно записывать в виде суммы его «поперечной» части г„р, перпендикулярной вектору Ь. и «продольной» части Н„р = тЬ, где т номер плотноу пакованной плоскости, в которой лежит вектор Н„.р:
Rnp — i'/¡/* I НПр — гпр \ mil. (2)
Волновые векторы к, которые для обсуждаемых нами колебаний параллельны векторам h, будем описывать безразмерным параметром равным отношению компонент вектора к к длине соответствующего вектора обратной решетки:
ka = (£,£,0)2тг/ма, Ц = (Ç,Ç,Ç)2TT/ib, к (().().£)»-/«•.
Здесь иа или и1 постоянная ОЦК- или ГЦК-ре-шетки, а значения £ меняются в интервале 0 < £ < < 0.5. В теории колебаний кристаллов фононные ветви с волновыми векторами kQ, к, и к. в формуле (3) обозначаются соответственно как ï, Л и Д [1], и для поляризации Л эти ветви будут обозначаться ниже как S-Л, Л-Л или Д-Л, например: Е-Т1, Л-Г и т.п. Заметим также, что для ГПУ-решетки определение £ в формуле (3) отличается множителем (1/2) от аналогичного параметра обычно используемого в литературе [1]: £ = £е/2. Однако ниже показано, что при рассмотрении колебаний плотно-упакованных плоскостей определение £ в формуле (3) для ке является более удобным и позволяет единым образом описывать эти колебания во всех трех обсуждаемых структурах.
Для простоты рассмотрим сначала ОЦК- и ГЦК-кристаллы, в которых имеется только один атом в элементарной ячейке. При этом изменение энергии U при произвольных малых смещениях атомов ur из положений равновесия г выражается через матрицы силовых постоянных ^^(R) таким образом [2]:
SU = -r')M?M¿, (4)
г,г'
где о. и 3 декартовы индексы. Динамическая матрица Da¿{к), собственные значения которой i/дк связаны с частотами фононов ид (к) соотношением ^Ак = Ми!д(к), есть фурьс-компонента от матрицы силовых постоянных .-l'^'lR). входящей в равенство (4), и эту динамическую матрицу можно записать в виде суммы вкладов от векторов решетки R„p, принадлежащих разным координационным сферам п ф 0:
Da¿(k) = £ Aafi(R) oxp(-¿k • R) =
R
«m ax
= E E ^(R„p)[oxp(-ík • Rnp) - 1]. (5)
B=1 p
531
8*
Здесь через nmax обозначен номер последней из учитываемых координационных сфер и учтено, что при к = 0 динамическая матрица должна обращаться в нуль вследствие трансляционной инвариантности взаимодействий [2].
Для обсуждаемых фононов с волновыми векторами к, даваемыми формулой (3), динамическую матрицу (5) с учетом равенств (2) можно записать так:
Da¿(k)= £ ^[oxp(-/k-hí/í)-l]. (6)
ni
Здесь через nimax обозначен номер последней из учитываемых плотноупакованных плоскостей, а через Aff обозначена сумма матриц силовых постоянных Aa^(Rnp) по всем значениям поперечных компонент г„р, которые соответствуют векторам R„p с одним и тем же значением продольной компоненты Н„р:
^ = (7)
H„„ = mh
Г„р
Отметим, что матрицы в формулах (6) и (7) четны по тп: j4£f = \ это следует из четности по R матрицы силовых постоянных ^"^(R) в рассматриваемых центросимметричных кристаллах. Поэтому динамическую матрицу (6) для обсуждаемых фо-нонных ветвей можно компактно записать в таком виде:
Да,,(к)= £ Я^8ш2(тгшО, (8)
!U I
где для краткости обозначено В^ = —4А^ и учтены соотношения (1) и (3).
С учетом кристаллической симметрии, динамические матрицы (8) для фононных ветвей (3) имеют такой вид:
/ и с 0 \ / и Ь Ь \
Da = С и 0 , D^ = Ь и ь
V 0 0 Ь V Ь Ь и У
Если собственные значения Ми2 этих матриц для поляризации А обозначить как то для направления Е = (£, £,0) в ОЦК-кристалле поперечной поляризации Т1 вдоль направления (1,1,0) соответствует значение 1>Т1 = и — с, поперечной поляризации Т2 вдоль оси (0,0,1) значение Ут2 = а продольной поляризации Ь значение г/£ = и + с. В ГЦК-крпсталле для продольной и поперечной ветвей направления Л = (£,£,£) имеем ь>1 = и + 26,
vt = и — Ь. Таким образом, для всех обсуждаемых ветвей квадраты частот u|(k) являются линейной комбинацией элементов динамической матрицы. И поскольку зависимость каждого из этих элементов от компонент волнового вектора £ дается выражением (8), такой же является эта зависимость и для квадратов частот и>|(£):
in. ,
'A(Í) = J2 -ßmASill^Trmf). (10)
!U I
Соотношения (8) (10) показывают, что задача о колебаниях плотноупакованных атомных плоскостей при любой поляризации А оказывается формально эквивалентной задаче о колебаниях линейной цепочки атомов, и число разных эффективных силовых постоянных Вт х в формуле (10) равно числу плоскостей nimax («соседей в цепочке»), взаимодействие с которыми учитывается в используемой модели взаимодействий.
Заметим теперь, что вследствие плотноу пакованного характера обсуждаемых структур уже относительно небольшие значения номера rnmax последней из учитываемых плоскостей в формулах (5), (8) и (10) соответствуют учету взаимодействий достаточно удаленных соседей в кристалле. Так, для ОЦК-структуры выбор ттах = 2 включает взаимодействия во всех координационных сферах п вплоть до птах = 6 (т.е. взаимодействия с Ar¿0¿ 64 соседями), а для ГЦК-структуры вплоть до птах = 5 (т.е. с AtLoL = 80 соседями). Для ГПУ
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.