Автоматика и телемеханика, Л- 2, 2007
PACS 02.30.Yy
© 2007 г. A.A. ГУРЧЕНКОВ, д-р физ.-мат. наук (Вычислительный центр им. A.A. Дородницына РАН, Москва), A.C. ЕСЕНКОВ
(Московский физико-технический институт (государственный университет)), В.И. ЦУРКОВ, д-р физ.-мат. наук (Вычислительный центр им. A.A. Дородницына РАН, Москва)
УПРАВЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЕМ РОТОРА С ПОЛОСТЬЮ, СОДЕРЖАЩЕЙ ВЯЗКУЮ ЖИДКОСТЬ
Предлагается постановка и методика решения задач оптимального управления для возмущенного относительного равномерного вращения тела с полостью, содержащей вязкую несжимаемую жидкость. Рассмотрения ведутся для случая цилиндра, однако в принципе подход справедлив для полости произвольной формы. Выведена формула для угловой скорости возмущенного движения в зависимости от внешнего возмущающего момента. После этого имеется возможность поставить различные задачи оптимального управления возмущенным движением и применить разработанный в теории оптимального управления формализм. Представлены две иллюстративные задачи.
1. Введение
Динамические задачи о движении тел с полостями, содержащими жидкость, имеют многочисленные приложения в авиации, космонавтике, кораблестроении, проектировании гироскопов, быстровращающихся роторов и т.д. Этой проблемой стали заниматься еще в XIX в.. а теория устойчивости особенно была развита в деталях в 60-е г. прошлого столетия в фундаментальных работах [1 4]. Десять лет спустя появился цикл статей по этой проблеме, но с более практической направленностью [5. 6]. в которых теоретические результаты по устойчивости тел с полостями, содержащими идеальную жидкость, стали применять к конкретным системам. Наконец, в [7. 8] была предпринята попытка рассмотрения задач оптимального управления движением таких тел. Рассматривался случай полного заполнения полости идеальной жидкостью, и с использованием метода преобразования Лапласа удалось найти зависимость угловых скоростей, перпендикулярных основному вращению, от возмущающих моментов. Затем было осуществлено сведение этой зависимости к стандартной формулировке задач оптимального управления и намечена постановка широкого класса задач. В данной работе этот подход распространяется на случай тел с вязкой жидкостью.
2. Постановка задачи
В этом разделе используются результаты [1 6] и [9]. Рассматривается возмущенное относительно стационарного вращения движение твердого тела с полостью Q,
целиком заполненной вязкой несжнмаемон жидкостью плотности р и вязкости V, в поле массовых сил с потенциалом и. Уравнение движения жидкости записывается во вращающейся системе координат Охуг, жестко связанной с твердым телом,
дУ
М0 + ш х (ш х г ) + (м х г )+2(ш х V) + — + (V= 1
(!) \ = — УР -Уи + vAУ, Р
„ V = 0 в д, V = 0 па Б, V = У0(г ) при Ь = 0.
Здесь г - время, г - радиус-вектор, отсчитанный от точки О, V = V(V) - скорость жидкости в системе координат Охуг, Р = Р(V) - давление в жидкости, \¥0 - абсолютное ускорение точки О, ш = ш(Ь) - абсолютная угловая скорость вращения твердого тела, ш - его угловое ускорение, Б - граница области д.
В системе координат, связанной с телом, уравнение моментов относительно центра инерции О1 всей системы имеет вид
7 /'
(2) -+ ш х К = ММ1, К = Зш + р г х Vм ад,
аЬ }
Я
здесь З - тензор инерции системы тело — жидкость относительно точки О1, М1 -главный момент всех внешних сил, действующих на тело относительно центра инер-
КМ
Пусть невозмущенное движение тела с жидкостью относительно центра инерции представляет собой равномерное вращение всей системы как твердого тела относительно оси, параллельной Ог с постоянной угловой скоростью ш0.
В невозмущенном движении имеем: ш = шо = шовг, V = 0, М1 = шо х Зшо-Полагается, что
ш(Ь) = ш0(Ь) + П(Ь), М1 = ш0 х Зм0 + М, Р = Р ^-и - #о • V + ^(ш х V)2 + р^ .
Считается, что в возмущенном движении величины П, М, р М являются малыми первого порядка.
После подстановки соотношения (3) в (1) и (2), и отбрасывания малых высших порядков уравнения движения жидкости приводятся к виду
д^М
^ дь + 2(шо х М)+П х г = -Ур + vAV,
V = 0в д, V = 0на Б, V = ^(г ) при Ь = 0.
Уравнение движения тела с жидкостью имеет вид
(5) зП + П х зш0 + ш0 х зП + р IV х V ад + ^ ш0 х (г х V) ад = М + $М,
Я Я
здесь и в (4) точкой обозначена производная в системе Охуг, 6М - момент обобщенных сил, обусловленный диссипацией энергии в полости.
Уравнения (4) и (5) вместе с обычными уравнениями движения центра инерции, кинематическими соотношениями и начальными условиями описывают динамику тела с жидкостью.
Рассматривается гидродинамическая задача (4). Вводится линейное преобразование Ь(а)
ЬЪ = Ъ + а2е(е, Ъ) + а(Ъ х е)
и скалярные функции у(х,у,г), удовлетворяющие следующей краевой задаче на собственные значения:
(6) + ^ =0В Ц (ЬУу)п = 0 на
Задача (6) согласно [1] имеет счетное число собственных функций уп и собственных значений ап, заполняющих всюду плотно область И.еап = 0, \&п\ ^ 1- Вводятся комплексные вектор-функции Уп(х,у, г), определяемые как
(7) К = , Где Хп = —.
лп(1+ ) ап
В силу (6) и (7) величины Уп удовлетворяют уравнениям
ХпЪп + 2сЗо X К + Ууп = о, Уп = 0 в Ц, V ■ п = 0 на
Кроме того, функции Уп - ортогональны в Ц.
Решение уравнений (4) ищется методом Галеркина в виде рядов с неизвестными коэффициентами Бп и ип
<х
V(х, у, г, (х, у, г),
(8) Г1
р(х,у,г,г) = ^2 ип(г)у>
п(х, у, г) .
Выражение П х г из (4), связанное с движением тела, представляется в виде ,ап, П
(9) П X г = ^ у N, ап = 1 г X Vn зц, мп = мп = / \К\2 зц.
п — 1 мп ■) ■)
п—1 я Я
Подстановка (8) и (9) в (4) и использование в полученном равенстве выражения 2и}0 х V = —Хп Уп — Ууп, приводят после процедуры Галеркина к уравнениям для коэффициентов разложения скорости в ряд Фурье
ащй
(10) Бп — гХпвп + ~Мт = 5рп, вп = вп0 при I = 0, (п =1, 2, 3,...),
где 5Рп - обобщенные силы, связанные с диссипацией энергии в полости.
Используя разложения (8) и второе равенство (9). кинетический момент представляется в виде
(И) К = ,1ш0 + + р^2Бп(Ь)ап.
п=1
Подстановка (11) в (5) приводит уравнения движения тела с жидкостью к виду
(12) .10 + 0 х .1^0 + 'о х .10 + Р^^ + ('о х ап)Б,
п=1
= М + 5М.
Уравнения (10) и (12) и присоединенные к ним начальные условия для 0(г) описывают динамику тела с жидкостью.
Таким образом, задача динамики вращающегося тела с полостью, содержащей жидкость, разбивается на две задачи, которые могут выполняться независимо. Первая гидродинамическая задача сводится к решению краевой задачи (6) и зависит только от геометрии полости и не зависит от движения тела. Вторая динамическая часть задачи сводится к решению задачи Коши для системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений (10) и (12) и может быть решена известными методами аналитически и численно.
В дальнейшем будем считать, что стенки полости гладкие, а движение осуществляется при больших числах Рейнольдса Ие ^ 1. В этом случае диссипация энергии будет происходить в тонком пограничном слое вблизи стенок полости, а скорость диссипации по порядку 1/^/йее вблизи поверхности. В дальнейшем ограничимся членами порядка в выражениях для диссипативных сил. Толщина погранич-
ного слоя будет порядка 1 /у/Иё. Тогда воспользовавшись выражениями для обобщенных сил из [9]. уравнения возмущенного движения (12) и (10) можно записать в виде
(13) (I + /о)0 + 0 х(1 + 1о)'о + 'о х (I + 1о)0 + р^ \атБп + ('о х ат)Б[
1
М,
где I и 1о моменты инерции тела без жидкости и жидкости как твердого тела соответственно. и
(14) ^ Бп + I ^ - Т)Бп(^- Т)Бп(Т) ЗТ - гХпБп | + а*й =
V \ л атп (г - Т)Бп(т) + 13тп(1 - Т)Бп(т)
т=1
где ап = о-пп/Рп и вп = впп/Рп, п = 1, 2, 3,... Коэффициенты атп, втп, Рп = = р ! \У \2 ЗЦ и ап = р J(г х Уп) ЗЦ зависят только от вида полости и характе-
Я Я
ризуют взаимодействие между движением твердого тела и волновыми движениями жидкости.
Поскольку перекрестные коэффициенты инерционных связей атп, /Зтп слабо влияют на динамику вязкой жидкости (см.. например, обсуждения в [9]). то пренебрегая ими, оставим только члены с т = п.
Если ось вращения системы в невозмущенном движении является одновременно и осыо массовой и геометрической симметрии тела и полости, то уравнения могут быть значительно упрощены. Для динамически симметричного тела скалярное уравнение движения вокруг оси Ох отделяется от остальных, а уравнения движения относительно осей Ох и Оу идентичны. В цилиндрической системе координат уравнения (13) и (14) примут вид
Лй + г(О - Л)ш0й + 2р^ап(£^п - гш0Бп) = м(г), сйх = иг,
(15)
п=1
г
2 | о с , [у [ои(г - т)^и(т) + вп(г - т)Бп(т) Мп | ¿п - глпЬп + -у -^г-т- '+ а =
Л с Ох Ох
ственно, й = йх - гйу, М = Мх - гМу, ап(г - т) и вп(г - т) находятся из решения краевой задачи (6) для конкретного вида полости.
Произведем преобразование Лапласа над всеми уравнениями системы (15), выразим ¿п го каждого к-го уравнения (к ^ 2), подставим в первое уравнение и получим
(16) (Лр + г(О - Л).о)й - 2р ]Г = М(р),
где
*п(р)= Р - гХп + 1 ^Вп(р + 2ио)( . * + . 10. ) 2 \ VР + 2гшо УР - 2гшо )
чл/р + 2шо л/р - 2шо /
V п(р \]р + 2шо Vр - +
3. Устойчивость динамической системы
Выпишем условия устойчивости динамически симметричного тела с жидкостью. Характеристическое уравнение системы при невозмущенном движении (М = 0) имеет вид
Е 2пп2
(17) Лр + г(О - ЛН - р(р - г"о)^^Тп~)=0, Еп = ■
п=1 *п(р) Мп
Найдем корни функции (р) методом возмущений. Пусть рп = гХп + т/йёп, а поправка первого порядка по у/й к торию 5п = ¿п(рп) находится из условия *п(рп) = = 0. Разложим функцию 1/*п(р) в ряд Лорана и ограничимся членами разложения
в окрестности полюсов. Тогда уравнение (17) примет вид
^ Е
(18) Лр + г(О - Л)^о - р(р - г^о)^ П п
п=1*п(рп)(р - рп)
где Ъ'п(Рп) = 1 + л^ Ие (Цп) + г^ 1т (Цп), а
1 — г 1 — г
Цп = Цп(Лп) = вп(ч+ + — + 4^2>вп (ч+3 -ч-3) -
1 - гСп (ч+ - Ч-) + ^Спшо(я+3 + Я-3) + #,
л/2 пкч 4 ' 1 л/2 п ^ ' 4 7 1 лп 11
л/Рп + 2гшо л/Рп - 2гшо
Характеристическое уравнение (18) можно переписать в виде
(19) Ар + г{С - А)шо - Р(Р - 'о) У ^ (1 - ^ ^ Ш - ^^^ = 0.
Р - Р п
п=1
В первом приближении вместо бесконечной суммы оставим только один главный член
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.