РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2004, том 49, № 2, с. 215-221
ДИНАМИЧЕСКИЙ ХАОС ^^^^^^^^
В РАДИОФИЗИКЕ И ЭЛЕКТРОНИКЕ
УДК 621.391
УПРАВЛЕНИЕ КОЛЕБАНИЯМИ ГЕНЕРАТОРА ЧУА
© 2004 г. Э. В. Кальянов
Поступила в редакцию 17.06.2003 г.
Рассмотрено управление колебаниями хаотического генератора при использовании "автокоммутации". На примере генератора Чуа, показана возможность полного изменения структуры характерных для него хаотических колебаний, которым без управления соответствовал аттрактор типа "двойной завиток". Показана возможность получения хаотических движений при параметрах, когда без управления реализуются лишь регулярные колебания.
ВВЕДЕНИЕ
Управлению колебаниями различных автоколебательных систем с хаотической динамикой в настоящее время посвящено большое число работ [1-16]. Обычно при управлении колебаниями генератор переводится тем или иным способом, например с помощью внешнего сигнала, из хаотического режима в режим регулярных колебаний. Представляется возможным иной способ управления колебаниями системы с хаотической динамикой. Как показано в работе [17], при использовании метода автокоммутации возможно получение хаотических движений даже в автоколебательной системе с простой регулярной динамикой, причем и при слабой нелинейности активного элемента. Применение этого метода к системе с хаотической динамикой открывает новые возможности в управлении колебаниями таких систем. Возможно как изменение структуры хаотических движений, так и возбуждение хаоса в режимах, когда происходит срыв хаотических колебаний. Удобным генератором, пригодным для иллюстрации такого управления колебаниями является генератор Чуа. Этот генератор обладает простотой и наглядностью. Хаотические колебания реализуются в нем лишь в определенной области параметров. При этом аттрактор, имеющий структуру типа двойного завитка, отображает относительно слабое перемешивание фазовых траекторий.
В данной работе рассматривается генератор Чуа при управлении его колебаниями с помощью коммутирующего устройства. Описывается математическая модель системы с автокоммутацией ее колебаний и приводятся результаты численного анализа. Показана возможность возбуждения хаотического режима колебаний при параметрах, при которых без управления реализуются лишь регулярные движения.
1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
Уравнения, описывающие колебательные процессы х, у, z в генераторе Чуа имеют вид [18, 19]
йх/йг = а[у - Н(х)], йу/йг = х - у + z, й^йг = -ву,
где а, в - постоянные коэффициенты, Н(х) - характеристика нелинейного элемента.
При обычно используемой кусочно-линейной аппроксимации функции Н(х) возможно аналитическое рассмотрение колебательных процессов в участках характеристики, которым соответствуют линейные уравнения [19]. При численном анализе удобно использовать "гладкую" аппроксимацию характеристики в виде [20]
Н (х) = х - к аг^ х, (1)
где к - постоянный коэффициент.
При исследовании управления колебаниями системы, описываемой уравнениями Чуа, целесообразно представить их в форме генератора с инерционностью аналогично тому, как это сделано в [20]. При учете активных потерь в колебательном контуре и воздействия внешнего сигнала /(г), исключая z, можно получить
d2у/dt2 + l5dy/dt + Ю0y = - h(x) + Df (t), dx/dt + ax = ay + ф( x),
(2)
где В - коэффициент связи, 25 = 1 + рв, Ю0 = (1 + + р)в - а, ф(х) = ак агс\£ х, р - параметр потерь.
При В = 1, р = 0 уравнения (2) преобразуются в систему, рассмотренную в [20].
Будем полагать, что коммутирующее устройство содержит два фильтра, причем колебательные процессы Мх(г) и и2(г) на их выходах описываются уравнениями
d2Uf/dt2 + 25jduj/dt + ю; щ = D, ю; x,
(3)
где г = 1, 2, В, 5;, Ю; - постоянные. При этом определим функцию /(г) как решение системы уравне-
[х] 24
24
(б)
hi J'jjjijjjJumij"w*"^*/»чnmГ
11 a
-4
(в)
^ / >w // у у у /
v /■ / / у / j } J
7.5
8.0
a
Рис. 1. Изменение максимальных значений колебаний х(£) в зависимости от параметра а: а - Б = 0; б, в -Б = 1, а = 12, Ь = 30.
0
-40
(а)
£yV/v-ЛЛ-wr-^^™^
40
60 (б)
120
180
Рис. 2. Реализации колебаний в различных интервалах времени при Б = 1, а = 12, Ь = 30, а =11.5.
ний (1)-(3) при выполнении условия коммутации, имеющего вид
f( t) =
[u2(t), если \u 1 > a, \u 1 (t), если |u2 > b,
(4)
где a, b - постоянные.
Соотношения (1)-(4) определяют математическую модель рассматриваемой управляемой системы на основе генератора Чуа. Запись уравнений Чуа в форме генератора с инерционностью не имеет принципиального значения. Она лишь позволяет ввести воздействие внешнего сигнала в правую часть уравнения так, как это обычно делается при исследованиях неавтономного режима работы генераторов различного типа [21-23].
Численный анализ проводился методом Рун-ге-Кутта 4-го порядка при шаге интегрирования по времени t, равном 0.01. Оптимальный режим работы, при котором колебаниям соответствовал обычный для автономного генератора Чуа аттрактор типа "double scroll" (DS), реализовывался при f(t) = 0, р = 0, когда a = 9, в = 14.286, 8 = 1.6. Поскольку в реальной цепи Чуа присутствуют потери в колебательном контуре (индуктивность контура относительно велика) при расчетах целесообразно учитывать незначительные потери, полагая, что р Ф 0. При численном анализе задано значение р = 0.002. Параметры фильтров выбраны так, что ш1 = 3.3, ш2 = 4, 81 = 0.0825 , 82 = 0.1, D1 = 0.7, D2 = 0.9. Начальные условия для переменных в уравнениях Чуа заданы величиной 0.01. Для простоты и наглядности варьировались лишь параметры a, a и b.
2. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННОГО АНАЛИЗА
На рис. 1 приведены бифуркационные диаграммы, иллюстрирующие максимальные значения колебаний x(t) (обозначенные [x]) при адиабатическом изменении a для двух различных режимов работы.
Рис. 1а получен при D = 0 и отображает характерное изменение режима работы в генераторе Чуа при наличии потерь в колебательном контуре. Первая бифуркация Андронова-Хопфа происходит при достижении значения a - 7.2. При дальнейшем увеличении a (в интервале a е [7.6, 7.8]) происходят бифуркации по сценарию Фейгенбаума с возбуждением колебаний, которым соответствует аттрактор рёсслеровского типа. Затем (при a - 7.8) реализуется бифуркация перехода к колебаниям с переключением движений (к колебаниям, которым соответствует аттрактор типа DS). Эти колебания сохраняются до значения a - 10.9. При a > 10.8 происходит дехаотизация движений с возбуждением регулярных колебаний, которым соответствует большой предельный цикл. Этот режим
8
0
х
t
0
t
-40 -40
дБ
-25
[х]
20
(а)
т -¡¡С
_I_1_
11 а
Рис. 3. Аттрактор в интервале времени г е [120, 240] (а) и спектры мощности (б): а, б (кривая 1) - В = 1, а = 12, Ь = 30; б (кривая 2) - В = 0.
Рис. 4. Изменение максимальных значений колебательного процесса х(г) в зависимости от параметра а при В = 1, а = 3, Ь = 1.2.
0
х
можно рассматривать как самоорганизацию колебаний в системе; образом саморганизации является предельный цикл. Хаотический аттрактор типа ВБ (например, при а = 9) и предельный цикл (например, при а = 11.5) имеют вид, подобный фазовым портретам, приведенным для случая р = 0 в работе [20].
При В > 0 оказываются возможными различные хаотические режимы работы, зависящие от условий коммутации. При В = 1, а = 30, Ь = 12 (рис. 1б) стимулируются хаотические движения при значениях а, при которых в случае рис. 1а возбуждаются только регулярные колебания. Об этом свидетельствует случайный разброс точек, соответствующих максимальным значениям колебательного процесса х(г). Колебания, которым соответствует аттрактор типа ВБ, несколько затягиваются: значение параметра а, при котором происходит бифуркация перехода к хаосу без переключения движений, равно а = 11 (вместо а = 10.8 на рис. 1а). При а < 9 влияние коммутации проявляется слабо, что обусловлено относительно большими величинами заданных значений параметров а и Ь. Это иллюстрируется рис. 1в, на котором представлен фрагмент диаграммы, показанной на рис. 16: на нем практически незаметно влияния коммутирующего устройства.
Хаотические колебания, соответствующие разбросу максимальных значений х(г) при а = 11.5 на рис. 16, иллюстрируются рис. 2, 3. На рис. 2 показаны реализации колебаний, а на рис. 3 - аттрактор в интервале времени г е [120, 240] (а) и соответствующий спектр мощности (б, кривая 1). Для наглядности кривой 2 на рис. 36 отображен спектр мощности, рассчитанный при том же значении а, когда В = 0.
Как видно (рис. 1), стимулированному хаосу при а = 11.5 не свойственны переключения движений и реализуется большой размах колебаний. Однако в качестве переходного процесса возбуждаются (в интервале времени г е [0, 58]) колебания с их переключением между двумя бассейнами притяжения. Этот интервал переходного режима с колебаниями, которым соответствует аттрактор типа ВБ, практически отсутствует, когда а > 12. В интервале значений а е [11, 12] переходной процесс с переключением движений заметен, но определенной закономерности нет. Так, при значениях а, равных 11.1, 11.2, 11.3, 11.4, 11.6, 11.7, 11.8, 11.9, переходной процесс соответственно равен 18, 28, 10, 20, 10, 15, 24, 14. Получается, что при а = 11.5 переходной процесс наиболее длительный. Он сокращается даже при малом отклонении от этой величины; при уменьшении а лишь на 0.01 переходной процесс сокращается до ин-
(а)
120
180
Рис. 5. Реализации колебаний в различных интервалах времени при В = 1, а = 3, Ь = 1.2, а = 8.
[х]
24
(а)
24
(б)
11
а
Рис. 7. Изменение максимальных значений колебательного процесса х(г) в зависимости от параметра а в случаях его увеличения (а) и уменьшения (б) при В = 1, а = 30, Ь = 1.2.
¿х/йг
(а)
-4 -1
дБ
-25
Рис. 6. Аттрактор в интервале времени г е [120, 240] (а) и спектры мощности (б): а, б (кривая 1) - В = 1, а = = 1.2, Ь = 3; б (кривая 2) - В = 0.
-30
60 (б)
120
180
Рис. 8. Реализации колебаний в различных интервалах времени при В = 1, а = 30, Ь = 1.2, а = 8.
тервала времени г е [0.42], а при увеличении на 0.01 - до интервала г е [0, 12]. Переходной процесс уменьшается с увеличением начальных значений для переменных
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.