научная статья по теме УПРАВЛЕНИЕ КОЛЕСНОЙ СИСТЕМОЙ С УЧЕТОМ БОКОВОГО ПРОСКАЛЬЗЫВАНИЯ КОЛЕС Кибернетика

Текст научной статьи на тему «УПРАВЛЕНИЕ КОЛЕСНОЙ СИСТЕМОЙ С УЧЕТОМ БОКОВОГО ПРОСКАЛЬЗЫВАНИЯ КОЛЕС»

ИЗВЕСТИЯ РАИ. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2007, № 4, с. 166-176

^=РОБОТОТЕХНИКА

УДК 007.531.011-681.037

УПРАВЛЕНИЕ КОЛЕСНОЙ СИСТЕМОЙ С УЧЕТОМ БОКОВОГО ПРОСКАЛЬЗЫВАНИЯ КОЛЕС*

© 2007 г. В. И. Матшхин

Москва, ИПУ РАН Поступила в редакцию 01.06.06 г., после доработки 09.11.06 г.

Изучается проблема управления колесными системами типа мобильного робота, автомобиля, колесного трактора и т.д. Эти системы относятся к классу неголономных механических систем, анализ ограничивается кинематическими моделями, учитывается динамика управляющих приводов. Построено управление, которое стабилизирует движение колесной системы вдоль заданной траектории (плоской гладкой кривой). По основным переменным системы свойство стабилизируемости обосновано в большом. Центральный результат связан с доказательством устойчивости при учете бокового проскальзывания колес системы.

Введение. Кинематические модели неголономных механических систем с качением выступают предметом широких исследований [1], поскольку достаточно хорошо описывают движения реальных колесных систем (КС). Эти модели используются в настоящее время в решении большого круга задач управления. Здесь надо указать проблемы стабилизации движения автомобиля на шоссе, задачи автоматической парковки, планирования движения, вопросы управляемости и т.д. [1-11]. Имеется существенный интерес в решении многих сугубо прикладных задач управления КС [8, 12-14].

В работе решается задача стабилизации движения КС вдоль заданной траектории. Такого рода задачи управления являются распространенными. Например, движение системы по заданной траектории требуется обеспечить для реализации строительных и других технологических операций (укладка кабеля, рытье траншей и т.д.). В агропромышленном комплексе осуществляют целый спектр аналогичных операций (вспашку, посадку, прополку и т.д. [12, 13]).

Решение указанной задачи управления получено в естественных условиях. Заданная траектория движения КС имеет форму плоской гладкой кривой. В системе используется только одно управление -управление передним мостом КС. Предполагается, что скорость движения системы вдоль кривой задана (водителем посредством ручных средств управления - газ, коробка передач) и обеспечивается только "поперечная устойчивость". Особенность работы заключается в учете динамики привода переднего моста в общей форме, а также в достижении устойчивости движения КС в большом. Основной результат состоит в обосновании устойчивости движения в

условиях возмущений. Рассматриваются возмуще-

*

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ

(грант < 04-01-00391а) и Программы 22 Президиума РАН.

ния, которые связаны с боковым проскальзыванием колес (вдоль их осей). Предполагается, что проскальзывание может быть обусловлено уклоном поверхности, вдоль которой движется КС.

Необходимо заметить, что рассматриваемая траекторная задача управления КС является задачей стабилизации многообразия пространства состояний КС [3]. Решение общей задачи управления (например, стабилизация точки) сталкивается с известными затруднениями. Например, гладкие стационарные законы управления не позволяют обеспечить, скажем, экспоненциальную устойчивость движения неголономной системы в общем случае [2]. Гладкость закона управления выступает существенным условием, поскольку требуется учитывать динамику приводов системы. Экспоненциальная устойчивость необходима для компенсации различного рода возмущений.

В следующем разд. 1 дается описание динамики КС. В разд. 2 приведена задача управления КС, формулируется задача работы. В разд. 3 построен закон управления, который стабилизирует движение КС в отсутствие возмущений, т.е. если проскальзывание колес КС отсутствует. В разд. 4 показано, что этот закон управления допускает малое проскальзывание и отклонение движения КС от заданной траектории будет малым. Отклонение будет стремиться к нулю, если величина проскальзывания непосредственно учитывается в законе управления (разд. 5). В разд. 6 приведены результаты моделирования.

1. Колесная механическая система как объект управления. Общая схема изучаемой колесной системы представлена на рис. 1. КС содержит корпус и ведущий задний мост, а также управляемый передний мост. Состояние заднего моста характеризуется углом а, а также координатами х, у в системе {X, У} некоторой его точки р. Состояние переднего

моста задается управляемым углом b. С учетом введенных обозначений движение КС будем описывать системой уравнений

x/ v = cos a - d sin a, y /v = sin a + d cos a,

a = (tgb - d) v/L, b = F(b, u, t).

(1.1)

Первые три уравнения системы (1.1) представляют линейное и угловое движение КС. Последнее уравнение описывает динамику привода управляемого переднего моста, u - управление, v, L = const > 0. Величина d характеризует проскальзывание задних колес КС вдоль их осей. Соотношение p е S отражает цель управления КС, где S - заданная кривая (рис. 1). Особенности системы (1.1) связаны с учетом явления проскальзывания, а также динамики управляющих приводов.

Проскальзывание. Первые три уравнения системы (1.1) при d = 0

X = v cos a, y = v sin a, a = vtg (b) /L (1.2)

представляют собой кинематическую модель колесной системы на рис. 1. Именно соотношения (1.2) - описание механических связей, которые наложены на систему. Первые два соотношения описывают первую механическую связь. Ее смысл состоит в том, что задние колеса КС не проскальзывают в направлении вдоль осей колес. Аналогичная вторая связь для передних колес позволяет построить третье уравнение системы (1.2). В (1.2) величина

v имеет смысл модуля скорости КС1.

Модель (1.2) и ее обобщения интенсивно изучаются [1]. Например, в некоторых работах дополнительно учитываются инерционные свойства колесной механической системы. Это позволяет детально исследовать, скажем, влияние на КС внешних сил, например ветра или сил инерции [8, 11]. Заметим также, что системы с качением - классический объект изучения в рамках аналитической механики неголономных систем [15-18].

Явление проскальзывания, как правило, не учитывалось, и возмущенная кинематическая модель КС вида (1.1), по существу, не изучалась [1]. Между тем идеальная модель КС (1.2) может нарушаться, например, если КС движется вдоль поверхности с заметным уклоном. Современные колесные системы предназначены для перемещения вдоль поверхности с уклоном порядка 15° и выше [13]. Для учета явления проскальзывания в некоторых исследованиях предполагалось, что d = const [10]. В отличие от этого величина d в системе (1.1) будет рассматриваться как функция состояния КС, т.е. d = d(x, y, a, b) (разд. 4). Заметим также, что в общем случае характеристика проскальзывания d может зависеть, например, от сил инерции, которые возникают при

Рис. 1. ОбщиИ вид колесноИ системы.

резких поворотах КС [8, 11]. Описать это можно в терминах сил, воздействующих на КС, которые модель (1.1) не содержит.

Динамика привода КС. Как правило, эта динамика явно не учитывалась [1]. При этом переменная Ь рассматривалась, например, как некоторый управляющий параметр, скажем, из класса непрерывных или гладких функций времени [5]. В работе динамика привода учитывается последним уравнением системы (1.1). В качестве привода переднего моста реальной КС обычно используются гидроприводы [20]. В рамках системы (1.1) отражены лишь наиболее общие их свойства. В частности, учитывается, что обычно описание динамики привода КС содержит неопределенные параметры, поэтому вид функции F в (1.1) не считается известным. Однако известно, что функция F ограничена и удовлетворяет соотношениям

F(b, h, t)> H, F(b, -h, t)< -H,

(1.3)

1 Простое условие v = const может быть связано с предполо-

жением об отсутствии проскальзывания вдоль корпуса КС и постоянством оборотов привода заднего моста.

Vb, Vt, |u| < h, H, h = const > 0. Это означает, что угловая скорость b управляемого переднего моста КС ограничена, а управление u, по существу, может

менять только знак скорости b . Свойство (1.3) в той или иной форме выражает необходимое свойство любого реального управляющего устройства. Заметим также, что динамика привода КС может быть учтена в общей форме (разд. 3).

2. Постановка задачи. Исходную цель pe S управления колесной системой (1.1) формализуем соотношениями

р = 0, р2 = min ((x - x1 )2 + ( y - y1 )2>. (2.1)

(x1,y)e S

Через (x*, j*) обозначим решение задачи (2.1), (x, j) - координаты точки p. Точка p* с координатами (x*, j*) лежит на кривой S и является ближайшей к точке p (рис. 1, 2). Таким образом, согласно (2.1), цель управления КС будет достигнута, если x = x*, j = j*.

Рис. 2. Расстояние р от точки p до заданной кривой S.

В качестве траектории S движения КС будут рассматриваться гладкие кривые S на плоскости X, У (рис. 1, 2)

Al < Л\ |A"| < A", A', A" = const > 0, A' = dA( s) Ids.

(2.2)

Здесь предполагается, что кривая S определена параметрически х = Фх(я), у = Фу(я), (dФх/ds)2 + + (dФy /ds)2 ф 0. Параметр s задает координаты х, у точек кривой S в системе {X, У}; А^) - угол касательной к кривой S в точке s, А* = А^*), где s* -значение s для точки (х*, у*) е S, которая является ближайшей к точке (х, у). Согласно (2.2), ограниченными оказываются кривизна А'^) кривой S и ее производная.

Заметим, что помимо цели управления (2.1) рассматриваются и иные цели управления колесными системами [1]. Например, описание цели управления в отличие от (2.1) может содержать требования к скорости движения вдоль траектории S. В прикладных задачах приходится вводить ряд дополнительных условий ограничительного характера (например, жесткие пределы, в которых может меняться угол Ь переднего моста КС, а также "латеральное ускорение" КС [8] и т.д.). В задачах автоматической парковки КС траектория S не задается. Траектория строится (планируется) для начального и конечного положений КС. Может учитываться ориентация корпуса системы, ее скорость, а также окружающие препятствия, в том числе и подвижные.

Задача управления КС состоит в том, чтобы построить такой закон управления и = и(х, у, а, Ь), который обеспечит устойчивость движения (2.1) замкнутой системы (1

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком