ИЗВЕСТИЯ РАН. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2014, № 3, с. 3-18
ТЕОРИЯ СИСТЕМ И ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ
УДК 517.977
УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ СИСТЕМАМИ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПА ПОСРЕДСТВОМ РЕГУЛЯТОРОВ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ ДИНАМИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЫ* © 2014 г. А. Т. Павловская, В. Е. Хартовский
Гродно, Гродненский государственный ун-т им. Я. Купалы Поступила в редакцию 25.11.13 г., после доработки 17.01.14 г.
Для решения задачи модальной управляемости линейными автономными системами нейтрального типа предложен новый класс линейных дифференциально-разностных регуляторов с обратной связью динамической структуры, принцип построения которых основан на использовании эффекта последействия в управляющем воздействии. Область применения таких регуляторов включает в себя системы, не обладающие свойством модальной управляемости в традиционных классах регуляторов с обратной связью, имеющих постоянную структуру.
Б01: 10.7868/80002338814030123
Введение. Одной из ключевых задач теории автоматического регулирования является аналитическое конструирование регуляторов типа обратной связи, обеспечивающих системе управления заданные свойства. В настоящей работе предлагается использовать класс линейных дифференциально-разностных регуляторов типа обратной связи, обладающих динамической структурой. При этом структура регулятора меняется в дискретные моменты времени по линейному закону, что удобно при его физической реализации. В качестве основы исследования выступает идея использовать для расширения класса управляемых систем эффект запаздывания в управляющем воздействии. Подобный подход в случае построения программного управления достаточно хорошо себя зарекомендовал при исследовании задачи полной управляемости и ее обобщения на объектах запаздывающего [1] и нейтрального [2, 3] типов, а в дальнейшем был распространен на алгебро-дифференциальные системы с последействием [4]. В настоящей работе идеи [1—4] обобщаются на случай построения регулятора типа обратной связи для решения задачи модального управления (управления спектром) линейными автономными системами нейтрального типа со многими соизмеримыми запаздываниями в состоянии и управлении.
Принципиальные результаты по исследованию проблемы модального управления в случае задачи стабилизации для систем с запаздыванием посредством обобщения метода декомпозиции пространства состояний и построения интегральной обратной связи получены в [5, 6]. Приведенный в этих работах критерий стабилизируемости представлен в спектральной форме [7], обобщение на системы нейтрального типа — в [8, 9]. В [10] для решения задачи модальной управляемости приводится метод построения интегральных регуляторов, основанный на теории целых функций. Более простой и удобный с точки зрения практической реализации класс регуляторов — разностные регуляторы [10—14], построение которых можно осуществить алгебраическими методами. В случае систем нейтрального типа их обобщением являются дифференциально-разностные регуляторы [15]. Другие постановки задач модального управления, а также основные этапы истории исследования можно проследить по работам [10, 16—18] и библиографическим ссылкам в них.
Невзирая на достаточную простоту в построении и реализации дифференциально-разностных регуляторов, достаточные условия разрешимости задачи модального управления в классе таких регуляторов представляются весьма жесткими [12, 15]. Кроме того, наличие запаздывания в управлении оказывает в большинстве случаев негативное влияние на разрешимость задачи. На-
* Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Белорусского республиканского фонда фундаментальных исследований (грант Ф12МВ — 043).
пример, скалярная система x(t) = ax(t) + bu(t) + blu(t - h) при bbl Ф 0 не является модально управляемой в классе регуляторов
s
u(t) = S r¡x(t - i h),
i = 0
однако при bl = 0 ситуация меняется на противоположную. Регулятор, предложенный в настоящей работе, применим в случаях, когда дифференциально-разностные регуляторы постоянной структуры построить не представляется возможным. Более того, предложенный подход не требует у исходной системы свойства спектральной управляемости [19], которое необходимо для существования интегральной обратной связи [10].
На исследование систем нейтрального типа с позиции управляемости существенное влияние оказывает (см., например, [2, 3]) трактовка понятия "решение", которое может определяться по-разному [20, с. 36; 323]. От этого зависит возможность применения в его структуре производных решения. В упомянутой работе [15] модальное управление системой нейтрального типа осуществляется посредством дифференциально-разностного регулятора
el в2
u(t) = Q00x(t) + SSQijx<l)(t - Jh), i = 0 j = l
который заведомо налагает требование определенной гладкости на начальную функцию. В настоящей работе в качестве вспомогательных результатов строятся регуляторы подобного типа, не требующие дополнительной гладкости решения и не выводящие систему из исходного класса. Далее эти результаты используются для решения задачи модального управления посредством регулятора динамической структуры, который также не требует дополнительной гладкости начальной функции.
1. Постановка задач. Объект исследования — линейная автономная система нейтрального типа с многими соизмеримыми запаздываниями, которую обозначим e:
m m m
x(t) - S D>iX(t - ih) = S A¡x(t - ih) + S B¡u(t - ih), t > 0, (1.1)
i = l i = 0 i = 0
x(t) = n(t), t e [-mh, 0], (1.2)
где X — я-вектор-столбец решения уравнения (1.1), u - r-вектор-столбец кусочно-непрерывного
0^1 Т\ Ttnxn л nnxn п nnxr
< h — постоянное запаздывание, D¡ e R , A¡ e R , Bi e R — постоянные матрицы соответствующих размеров. Начальная функция n предполагается абсолютно непрерывной. Тогда [20, с. 36] при любом кусочно-непрерывном управлении u(t), t > -mh, существует единственное абсолютно-непрерывное решение x(t), t > -mh, системы e, удовлетворяющее (1.2) и уравнению (1.1) почти всюду.
Наиболее простой тип линейных регуляторов с обратной связью, применимых к системе e в случае абсолютно непрерывного решения и не выводящих ее за пределы исходного класса систем нейтрального типа с соизмеримыми запаздываниями, имеет вид
s s
u(t) = ST¡x(t - ih) + SRix(t - ih), t > t0 = (s - m)h, (1.3)
i = l i = 0
где s — некоторое натуральное число, T¡ e Rrxn, R¡ e Rrxn — постоянные матрицы. При t > t0 + mh система e, замкнутая регулятором (1.3), будет однородной линейной автономной системой нейтрального типа с соизмеримыми запаздываниями, которую для краткости будем называть системой E.
Пусть C — множество комплексных чисел, Ek e Rkxk — единичная матрица,
m m m s s
A(z) = S Ail > D(z) = S Dz1, B(z) = S Bii, R(z) = S Rii, T(z) = STiZl.
i = 0 i = l i = 0 i = 0 i = l
Для произвольной полиномиальной квадратной матрицы Р (г) присоединенную к ней будем обозначать ПР (г), т.е. П Р (г)Р(г) = Р(г)П Р (г) = ¿й Р(г)Еп. Характеристический квазиполином А 2(к) разомкнутой системы Е (при и = 0) имеет вид
А= ёе1[МЕ - Ще-Хк)) - А(е= X^А(е),
I = 0
где А ¡(г) — некоторые полиномы степени не выше тп, причем А п(0) = 1. Пусть
А= &е1[ЦЕп - Ще~хь) - В(е~хн)Т(е~хн)} - {А(е~хь) + В(е~хьЩе~Хк)}]
— характеристический квазиполином системы 2.
Определение 1. Систему Е назовем модально управляемой в классе регуляторов (1.3), если для любых заданных полиномов
ч _
Г(г) = X гУ ' '' = 0,П Гв(0) = 1,
1 = 0
существует регулятор (1.3), такой, что
А ф) = X ^Г(е ~ХН).
¡ = 0
Замечание 1. Здесь и далее под фразой "существует регулятор" будем понимать существование в необходимом количестве соответствующих матриц, его образующих.
Наряду с классом регуляторов (1.3) рассмотрим класс линейных регуляторов типа обратной связи, имеющих динамическую структуру
и(0 = XМ рс($ - ¡И) + XN {х($ - ¡И) + Р^(0, I > t0,
' =1 ¡ =0 (1.4)
у^) = ¿у^ - И) + X М¡хЦ - ¡И) + X Й{х( - ¡И), t > t0, у(0 = 0, I < 10,
1 = 1 ¡ = 0
где М I е Иг*п, N) е Иг*п, Мк е ЯГ[Хп, Йк е Япхп, Р е ЯгХГ1, Б е Яг,хг', г1 — некоторое натуральное число. Систему Е, замкнутую регулятором (1.4) при t > t0 + тИ, будем называть системой Ё. Дадим пояснение, что будем понимать под замкнутой системой в случае регулятора (1.4). На каждом полуинтервале [?0 + кИ, t0 + (к + 1)И), к = 0,1,..., из второго равенства в (1.4) определяется у(0, ? е [t0 + кИ, t0 + (к + 1)И), после чего по первой формуле в (1.4) формируется «(?), I е [?0 + кк, t0 + (к + 1)к). После подстановки этого управления ы(1) в (1.1) при t > t0 + тИ получим линейную автономную однородную систему нейтрального типа с соизмеримыми запаздываниями £. Пусть А^ (А) — ее характеристический квазиполином.
Определение 2. Систему Е назовем модально управляемой в классе регуляторов (1.4), если для любых заданных полиномов
51 _
Г(г) = X 1 > ¡ = 0, п, г,(0) = 1,
1 = 0
существует регулятор вида (1.4), такой, что замкнутая система £ при t > t0 + тИ будет линейной однородной автономной системой нейтрального типа с соизмеримыми запаздываниями, а ее характеристический квазиполином
АЁ (А) = X ^(е ~Хк).
¡ = 0
п
п
Замечание 2. Подчеркнем, что невзирая на то, что управление u на каждом полуинтервале [t0 + mh + kh, t0 + mh + (k + l)h), к = 0,1,..., меняет свою структуру, параметры системы £ остаются неизменными. Точный вид матриц, образующих систему £, будет указан в разд. 4.
Заметим, что для модальной управляемости системы Е в классе регуляторов (1.3) необходимо, чтобы выполнялось условие
гапк[W(к), B(e~хh)] = n УХ е C, (1.5)
где W(X) = h(En - D(e~Xh)) - A(e~Xh) — характеристическая матрица уравнения (1.1), т.е. чтобы система Е имела полный ранг [2]. Это же условие необходимо для модальной управляемости системы Е в классе интегральных регуляторов (см., например, [10]). Далее будет показано, что регулятор (1.4) применим в случае системы Е неполного ранга, т.е. в случае нарушения условия (1.5).
Задача исследования — получить достаточные условия модальной управляемости системы Е в классе регуляторов (1.4). Предварительно (разд. 2, 3) установим достаточные условия модальной управляемости системы Е в классе регуляторов (1.3), на базе которых затем сф
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.