Автоматика и телемеханика, Л- 8, 2007
РАС Б 45.80.—г
© 2007 г. В.М. ВАРАХОВ (ФНПЦ ОАО "НПО Марс", Ульяновск), Ю.Н. САНКИН, д-р техн. наук (Ульяновский государственный технический университет)
УПРАВЛЕНИЕ МНОГОЗВЕННЫМ МАНИПУЛЯТОРОМ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
Разработан метод управления манипулятором па заключительном этапе движения при использовании пропорциопалыго-иптегралыю-дифференциального регулятора (ПИД-регулятора). Упругие системы с распределенными параметрами имеют три главных направления, возмущение по каждому из которых не влияет па другие направления. Это свойство позволяет независимо использовать по каждому главному направлению одпокапалыгое управление. Особенностью разработанного способа управления является математическое моделирование манипуляторов как стержневых систем с распределенными параметрами. при этом соответствующие передаточные функции были получены в виде ряда по колебательным звеньям. Этот ряд является аналогом спектрального решения Гильберта-Шмидта для самосопряженного вполне непрерывного оператора.
1. Введение
Современные манипуляторы представляют собой сложные динамические устройства. осуществляющие разнообразные перемещения при различных конфигурациях в условиях большого числа возмущений.
Динамический расчет манипуляторов с учетом распределенных параметров в настоящее время разработан недостаточно [1]. Обычно манипуляторы схематизируются в виде стержневых систем (рис. 1). однако при исследовании динамики манипулятор рассматривается как система твердых тел [2]. И если учитываются распределенные параметры, то это осуществляется приближенно, путем аппроксимации полиномами дополнительных перемещений, возникающих за счет деформаций звеньев. При этом получаются громоздкие выражения, которые приводят к большим трудностям при конструировании системы управления. Кроме того, стремление повысить быстродействие манипулятора приводит к увеличению его динамической нагруженности. А это требует всестороннего прочностного анализа звеньев механизма. Прочностной анализ целесообразно осуществлять, определяя коэффициенты динамичности по переходным процессам, имеющим место, например, при торможении вблизи заданной позиции, а также в момент приложения управляющих воздействий. Таким образом, в области современной робототехники приходится решать задачи колебаний сложных стержневых систем при различных условиях, а также задачи оптимизации управления движением системы.
Реальные задачи оптимизации управления сложными техническими системами, состоящими из нескольких элементов, весьма трудоемки, так как обычно это задачи
Рис. 1. Схематическое гоображепие машшулятора.
со сложной математической моделью анализа состояния (напряженно-деформированного. устойчивости, колебаний и др.). Решение таких задач весьма затруднительно. если использовать точные уравнения движения каждого элемента в отдельности.
При разработке высококачественных систем управления манипуляторами необходимо выполнять подробные исследования динамики движения всех звеньев в различных режимах работы. Важным аспектом при построении управления манипулятором является учет и гашение колебаний узла-схвата манипулятора, особенно на заключительном этапе движения при выходе в заданное положение.
2. Построение математической модели
Методика расчета колебаний, представленная в [3]. позволяет осуществить строгий переход от сложной системы к простой эквивалентной модели. Данная методика использует построение и анализ амплитудо-фазо-частотных характеристик (АФЧХ).
При построении АФЧХ решается задача о вынужденных колебаниях упругой системы под действием периодических возмущающих сил при значениях частот, лежащих в заданных пределах. В задачах динамики стрежневых систем необходим учет трепня, так как требуется определить амплитуды колебаний при различных состояниях системы на заключительном этапе движения. Непосредственный учет трепня при расчете вынужденных колебаний упругих систем осуществляется методом малого параметра, пропорционального силам трения. Преимущество этого метода заключается в том. что с его помощью можно строить АФЧХ упругих систем с распределенными параметрами, не определяя заранее частоты и формы свободных колебаний.
Для того чтобы учесть внутреннее рассеяние энергии, необходимо все характеристики упругости системы заменить комплексными величинами:
(1) Е = Е (1 + ¿71); С = С(1 + г72); С = С (1 + ¿73); £ = £(1 + »74),
где Е - модуль упругости, С - модуль сдвига, С - сосредоточенные жесткости, £ -коэффициент упругого основания,
(2) 7 к = , к = ^ 2,...,т,
т - число элементов конструкции с различными интегральными коэффициентами рассеяния энергии ^>к.
Уравнения динамики линейной вязко-упругой системы, для которой зависимости между деформациями и напряжениями задаются линейными соотношениями, в операторной форме можно записать следующим образом:
(3) Ва + дЦ? + - / = 0' СВ*и + С1Б*ди = а.
Здесь а - вектор обобщенных сил или тензор напряжений; и — вектор обобщенных смещений; Д — матрица или тензор инерционных характеристик; Т - матрица или тензор внешнего рассеяния энергии; / — вектор-функция внешних нагрузок; С -
С1
матрица или тензор коэффициентов внутреннего трения; В и В* - дифференциальные операторы, сопряженные в смысле Лагранжа. Граничные условия:
^ по-а = Л к,
Пии = ия|Й2,
где па и пи - операторы статической и геометрической совместности на поверхности тела; Б^ Б2 - соответствующие части граничной поверхности. Начальные условия:
ди
(5) и |4=о = а0; — |4=о = а 1.
При силовом возмущающем воздействии передаточная функция стержневой системы при малой диссипации определяется следующим рядом:
П'П п (а)и^(в)
кп --¡1 ¡Го 1
О <»> =Е тп^гет •
где р - параметр преобразования Лапласа, Ап = -1, шп - собственная частота,
ш2
п
ип(а),ип(в) - значения форм колебаний в точках с пространственными координатами а и в,
(7) а = (аьа2,аз)т, в = (в1, в2, вз)Т.
Используя известные формулы метода перемещений для пространственного случая, в общем виде получаем следующие условия динамического равновесия узлов в единой системе координат:
(8) ... — Вприр — Впт иг + (Апр + ... + Апт )ип — Впзиз — Впгиг — ... =
= ... — Впр[Цр ] — Впт [и ] — ... — Впзиз — + Д п, п =1, 2,..., т,
п
где т - число узлов стержневой системы, р, т, в, £ - номера узлов, соседних с п-м узлом, и
(9) [и0] = Ь[ик ], Лпк = ЬтЛ0пк Ь, Бпк = ЬтБ0пк Ь,
где Ь - матрица направляющих косинусов перехода из местной к единой системе координат соответствующего звена, а ЛПк, БПк — матрицы динамических жестко-стей звена пк в местной системе координат, коэффициенты которых находятся по формулам, представленным в [3].
Л0
Лпк
(10)
Бп
( &пк 0 0 0 0 0
0 Г* ** гпк 0 0 0 Сгпк
0 0 *упк 0 Супк 0
0 0 0 ^пк 0 0 ,
0 0 Супк 0 Лупк 0
V 0 Сгпк 0 0 0 Лгпк )
( Тпк 0 0 0 0 0 \
0 Нхпп 0 0 0 &гпк
0 0 Нупк 0 &упк 0
0 0 0 -пк 0 0
0 0 &упк 0 Бупк 0
0 &гпк 0 0 0 Б гпк )
Здесь матрица Л°пк симметрична относительно главной диагонали, а матрица БПк
пк
этих матриц указывает поперечную ось сечения, относительно которой вычисляются коэффициенты жесткости:
(И) [и0]т = [[ик], [Ук], К], [дк], [Фк], Ук]]
вектор перемещений конца стержня от местной нагрузки, который определяется по формулам:
[ик] = КхгКпПх (1 - Сг) + I ! №х (в)КиЯх (1 - в)¿в,
о
1
[Ук] = Я'хгК-иПу (1 - О) МггКуЫ* (1 - Сг) + ^ №у (в)КуЕу (1 -в)dв,
0
1
[к ] = ^2 КггКыП^ (1 -Сг) + ^ МугКшМу (1 - (г) + ^ № г (в)КшДг (1-в)dв,
0
1
[дк] = ^ МхгК#м* (1 - Сг) + ^ ЗрО^Км (1 - в)г!в,
0
1
[^к] = - ^2 ^ггК^п^ МугК^Му (1 -Сг) - ^ (в)К^п^ (1-в)dв,
0 1
[Фк] = ^2 ЩгК-фПу (1-Сг) - ^2 МггК-фМ, (1 - Сг) + ^№У (в)Кф,Ду (1 - в)dв.
(12)
1
Здесь Кипх, КУп ,..., К^^ - функции влияния в матрице переноса метода начальных параметров [3]. Знаки суммирования в (12) распространяются на нагрузки слева от сечения, а в подынтегральных выражениях вектора перемещений конца стержня от местной нагрузки учитывается действие инерционных сил в момент фиксирования положения манипулятора в виде произведения соответствующей проекции скорости на погонную массу стержня.
3. Теорема о трех сериях собственных частот и форм колебаний
При применении универсальных законов управления механическими системами [4] манипулятор представляется системой твердых тел. учет распределенных параметров осуществляется загрублением закона управления, которое обеспечивает устойчивость движения, но не обеспечивает должное качество переходного процесса, который особенно на заключительном этапе движения обусловлен распределенными параметрами системы. В связи с этим с целыо повышения качества управления и более высокой точности необходим учет распределенных параметров манипулятора. Передаточная функция манипулятора WSYS (р) как системы с распределенными параметрами строится в виде суммы колебательных звеньев, при этом постоянные времени доминирующего витка АФЧХ используются для формирования корректирующего звена WpIв (р) ППД-регулятора. Передаточная функция манипулятора разная для его различных конфигураций, но строится по единому алгоритму.
В основе математической теории упругости лежит закон Гука, выражающий линейную связь между тензорами деформаций и напряжений.
Однако нельзя утверждать, что между перемещениями и приложенными к упругому телу силами всегда существует линейная зависимость. Вместе с тем в большом количестве задач теории упругости и строительной механики, основанных на применении закона Гука. получается линейная зависимость между внешними силами и перемещениями. На основании этого целесообразно принять видоизмененный закон Гука. приводящий к линейным соотношениям между силами, приложенными к упругому телу, и перемещениями его точек:
п
(13) = Сек Як, э = 1,..., п,
к = 1
где С3к - постоянные коэффициенты, которые образуют симметричную матрицу жесткостей.
Симметричность матрицы жесткостей является следствием потенциальности упругих сил. При этом потенциальная энергия представляет собой знакопостоянную положительную квадратичную форму. В трехмерном случае этой квадратичной форме соответствует эллипсоид, уравнение которого можно записать в кан
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.