научная статья по теме УПРАВЛЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫМИ КОЛЕБАНИЯМИ ВИБРАЦИОННОГО КОЛЬЦЕВОГО МИКРОГИРОСКОПА Механика

Текст научной статьи на тему «УПРАВЛЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫМИ КОЛЕБАНИЯМИ ВИБРАЦИОННОГО КОЛЬЦЕВОГО МИКРОГИРОСКОПА»

МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА <3 • 2008

УДК 531.38

© 2008 г. Ю.Г. МАРТЫНЕНКО, И.В. МЕРКУРЬЕВ, В.В. ПОДАЛКОВ

УПРАВЛЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫМИ КОЛЕБАНИЯМИ ВИБРАЦИОННОГО КОЛЬЦЕВОГО МИКРОГИРОСКОПА

Влияние вращения основания на изменение спектра частот колебаний тонких упругих оболочек и колец было известно еще в конце XIX века [1]. Физическое явление инертности упругих волн свободных колебаний осесим-метричного тела, впервые объясненное в [2], получило практическое применение при разработке новых типов гироскопов [2-6]. Основы теории волновых гироскопов были заложены в работах [2, 4], исследование погрешностей таких гироскопов с различными формами колеблющегося резонатора выполнено в [2, 4, 7, 8]. Было показано, что погрешности изготовления резонатора (переменная плотность, толщина, анизотропия упругих свойств материала и др.) [2, 8], геометрическая нелинейность изгибных колебаний резонатора, изученная в [2, 7], вызывают раздвоение собственной частоты изгибных колебаний [2], которое отражается на волновой картине колебаний резонатора и характеризует точность гироскопа.

В данной работе исследованы погрешности вибрационного микрогироскопа, возникающие из-за нелинейных упругих свойств материала кольцевого резонатора. Построено управление потенциалами электродов, позволяющее поддерживать заданную амплитуду нормального прогиба резонатора и парировать погрешности гироскопа из-за нелинейных упругих свойств материала.

1. Постановка задачи. В данной работе рассмотрим кольцевой вибрационный микрогироскоп [5, 6], резонатор которого представляет собой тонкое упругое кольцо, связанное с основанием при помощи восьми полукруглых спиц - торсионов (фиг. 1). Толщина резонатора h, а осевая линия в недеформированном состоянии представляет собой окружность радиусом R. Резонатор 1 изготавливается методом литографии совместно с торсионами 2 упругого подвеса и электронным контуром управления. Колебания резонатора возбуждаются и регистрируются системой управляющих и измерительных электродов 3, 4.

Целью работы является синтез закона управления колебаниями резонатора, уменьшающий влияние нелинейной упругости материала кольца на ошибки гироскопа.

2. Уравнения движения. Пусть Oxyz - правая декартова система координат, связанная с основанием гироскопа и плоскостью Oxy, содержащей упругое кольцо; r, ф - полярные координаты в плоскости Oxy. Обозначим через и и w упругие смещения элемента кольцевого резонатора в окружном и радиальном направлении соответственно (фиг. 1). Предположим, что ось крепления резонаторов вращается вокруг оси Oz с медленно изменяющейся угловой скоростью Q, которую в дальнейшем будем считать малой по сравнению с характерной частотой колебаний резонатора юя, т.е.

--е ^ 1, max

ю„

2 dt

е

I

П

1

Фиг. 1

где е - малый параметр. В этом случае удельная, отнесенная к единице длины осевой линии резонатора кинетическая энергия тонкого упругого кольца выражается в виде

РР [(и + П( и + Я ))2 + (Пи - и; )2 ]

(2.1)

где р, Я, 5 - соответственно плотность материала, радиус и площадь поперечного сечения резонатора. Здесь и далее точкой обозначена производная по времени г.

Предположим, что свойства материала резонатора подчиняются нелинейному закону Гука [13]:

о = Е(е - а3е )

(2.2)

где о - напряжения, возникающие в резонаторе при окружной деформации е; Е - модуль Юнга; а3 - безразмерный упругий модуль.

Энергия деформации единицы объема резонатора имеет вид [13]:

П

|о йе

1,

е - а,

(2.3)

Выражение для окружной деформации определяется соотношением [2]: е = 1 (и' + и) -4;(V- и")

Я

Я

(2.4)

здесь штрихом обозначена частная производная по окружной координате ф; д - координата, отсчитываемая от срединной линии резонатора в направлении внешней нормали (-й/2 < д < й/2).

4

е

4

0

После подстановки (2.4) в (2.3) и интегрирования по площади поперечного сечения резонатора получим удельную потенциальную энергию:

1"

(2.5)

P

ES / « \2 EI, . »t\2 (v + w) + —-(v - w )

R

R

12

+ 2cw + q(t, ф)Rw -

1

- 2 E

S , , 44 31, , -.2, , „л 3Ih , , „.4 — (v + w) + — (v + w) (v - w) +-7 (v - w)

2R

R

40 R

Здесь I - момент инерции поперечного сечения кольца, c - коэффициент, характеризующий жесткость поддерживающих торсионов, q(t, ф) - удельная плотность электрических сил системы управления колебаниями резонатора [2]:

q(t, ф)

£J¿ (U

" 2 Id

(2.6)

где е0 = 8.854 ■ 10 Кл/(Н ■ м2) - электрическая постоянная; l - высота электрода; d = d0 + w(t, ф) - зазор между кольцевым резонатором и электродами; d0 - зазор между не деформируемым резонатором и электродами; U = U(t, ф) - разность потенциалов между обкладками, которую зададим следующим образом:

U = U0(1- Ú71 sinяф - U/2cosяф)

(2.7)

где и0 - постоянное "опорное" напряжение; [, и2 - нормализованные напряжения для возбуждения и управления я-й модой колебаний резонатора.

В дальнейшем будем рассматривать низкочастотные изгибные колебания резонатора и воспользуемся гипотезой о нерастяжимости срединной линии резонатора

и + w = 0 (2.8)

Уравнение (2.8) является уравнением связи между упругими смещениями и и w, рассматриваемыми в качестве обобщенных координат. Заметим, что основные результаты теории вращающихся резонаторов [2-4] были получены с использованием гипотезы нерастяжимости (2.8).

Для описания внутреннего трения в системе используем модель Кельвина-Фойгта и введем диссипативную функцию Рэлея, которая по структуре аналогична потенциальной энергии упругой деформации резонатора и торсионов:

Ф

Щ (V- W )2 + c*w2

R

(2.9)

где Б* - вязкоупругий модуль материала резонатора, с* - вязкоупругая жесткость торсионов. В формуле для функции Рэлея (2.9) учтено условие (2.8) и опущены малые нелинейные слагаемые, так как обычно резонатор изготавливается из материала с низким уровнем внутренних потерь.

Для нормирования удельного лагранжиана Ь = Т - Р разделим его на коэффициент и, принимая во внимание (2.1), (2.5), (2.8), получим:

L = {(V + Qw)2 + (w - Qv)2}/2-

- к2{(V - w")2 - a2(V - w")4}/2 - ZkV/2 - -А-(V + w) - w

pSR p S

(2.10)

Здесь введены параметры

2

2 Е1 г 2 С 2 3 а3й к = —4' = ^ а = Т (2.11)

рБЯ4 " РБЯ' 40 Я4

характеризующие упругие свойства резонатора с системой поддерживающих торсио-нов; X - неопределенный множитель Лагранжа, отвечающий уравнению связи (2.8).

Применяя вариационный принцип Гамильтона, получим уравнения движения кольцевого резонатора:

и + 2ПИ + к2{(и111 - V") + 6а2(V - и")2(и" - и111)} + + е*к2( и111- и") - Х'/(рБЯ) = 0

2 (2.12)

и - 2 П и + к2{( и1У - V111 + С и ) + 12 а2( V - и")(и111 - и") +

+ е*к2( и™ - и111 + С и ) + 6 а2( V - и" )2 (V111 - )} + Х/(рБЯ) + q / (р 5) = 0 Здесь е*, С* - коэффициенты демпфирования

е* = Е*/Е, с* /(р БЯ) = С*е* к2 (2.13)

В уравнениях (2.12) опущены слагаемые, пропорциональные П , П2.

Для того, чтобы исключить неопределенный множитель Лагранжа в системе (2.12), продифференцируем по ф второе уравнение (2.12) и сложим с первым. Полученное уравнение, в которое уже не входит X, продифференцируем еще раз по ф и, учитывая условие нерастяжимости срединной линии (2.8), получаем уравнение для нормального прогиба

и"- и + 4 Пии' + к2 [ иУ1 + 2и1У + (1 + С)и" ] +

2Г .VI „ .IV -щ ^22 Эк Шч

+ е* к[ и +2 и + (1 + С) и ] -6к а <!( и - и )(и- и ) +

Эф1 (2.14)

+ [2(и - и'')(и' - и111 )2 + (и - и'')2(и' ' - и™)] I + = 0 оф I р Б

Функцию нормального прогиба резонатора будем считать малой, т.е.

и = Те Яи* (2.15)

где е - малый параметр; и* - безразмерный нормальный прогиб резонатора.

Будем полагать малым воздействие электрических сил на резонатор. Введем также безразмерные параметры

2 2 2 3/2 п е01и0 2 П 2,, 2 1ч2

е =—-Л, ®п = —— к ((п -1) + 0

(п + 1 )р БЯй0юп п +1

2 2 2 2 (2.16)

п(С* + (п -1))е*К 4п П , 3п2(п2-1)4К2а2Я2 еу = -2-, еv = —-—, % = —5;—2—--—2-

(п + 1 )ю„ (п + 1 )®п 2 (п + 1 )ш2

Здесь у - коэффициент демпфирования; v - нормализованная угловая скорость основания гироскопа; £ - параметр, характеризующий нелинейные упругие свойства материала резонатора; юя - характерная частота свободных колебаний тонкого нерастяжимого кольцевого резонатора с системой торсионов.

Задачу (2.14) решаем в одномодовом приближении, т.е.

w = f sin яф + g cos яф (2.17)

Здесь и далее индекс * опущен; я - номер моды колебаний резонатора; f, g - искомые нормализованные функции времени.

После подстановок (2.6), (2.7), (2.15), (2.17) в уравнение для нормального прогиба (2.14) и применения процедуры Бубнова-Галеркина [8] получим систему нелинейных дифференциальных уравнений, описывающую колебания резонатора в одномодовом приближении:

f + f = е[ - Yf- vg + £( / + g2) f + Ui ]

2 2 ~ (2.18) g + g = e[-Yg + vf + £(f + g )g + U2]

Здесь и далее точкой обозначено дифференцирование по безразмерному времени т = ю^. В уравнениях (2.18) опущены слагаемые порядка O(e3/2).

Для возбуждения колебаний резонатора по основной форме колебаний напряжения управления выберем в виде

U1 = M1sin т + M2cos т, U2 = M3sin т + M4cos т (2.19)

где щ, ..., u4 - медленно изменяющиеся управляющие воздействия.

Систему (2.18) будем исследовать методом усреднения Крылова-Боголюбова [14]. С этой целью выполним в (2.18) замену переменных по формулам

f = р^тт + q^os^ f = p1cosт - q1sinт (220)

g = p2sin т + q2cos т, g = p2cos т - q2sin т

здесь ръ qb р2, q2 - медленно изменяющиеся переменные.

Уравнения движения в медленных переменных рх, qx, р2, q2 в первом приближении метода осреднения имеют вид:

qi = е[-4yqi-4vq2-3£Pi(qi + q2 + P2 + p2) -2£q2(P2qi -Piq2) + 2ui]/8

Pi = e[ - 4y Pi-4v P2 + 3 £qi(qi + q2 + pi + p2) -2£ P2( P2qi- Pi q2) -2 M2]/8

q2 = e[ -4y q2 + 4 v qi-3 £ P2( qi + q2 + p2 + p2 ) + 2 £ qi( P2 qi- Pi q2) + 2m3 ]/8 P2 = e[ -4y P2 + 4 v Pi + 3 £ q2( qi + q2 + p2 + p2 ) + 2 £ Pi( P2 qi- Piq2) -2 u4]/8

(2.21)

Отметим, что в гироскопе физически реализуется схема осреднения Крылова-Боголюбова: с помощью емкостной системы электродов, расположенных вдоль резонатора (фиг. 1), измеряются компоненты р1, q1, р2, q2 в функции нормального прогиба (2.17), (2.20).

Для исследования уравнений (2.21) удобно представить эти уравнения в гамильтоно-вой форме:

q^ = • р = <-!><), ' =

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Механика»