МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА <3 • 2008
УДК 531.38
© 2008 г. Ю.Г. МАРТЫНЕНКО, И.В. МЕРКУРЬЕВ, В.В. ПОДАЛКОВ
УПРАВЛЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫМИ КОЛЕБАНИЯМИ ВИБРАЦИОННОГО КОЛЬЦЕВОГО МИКРОГИРОСКОПА
Влияние вращения основания на изменение спектра частот колебаний тонких упругих оболочек и колец было известно еще в конце XIX века [1]. Физическое явление инертности упругих волн свободных колебаний осесим-метричного тела, впервые объясненное в [2], получило практическое применение при разработке новых типов гироскопов [2-6]. Основы теории волновых гироскопов были заложены в работах [2, 4], исследование погрешностей таких гироскопов с различными формами колеблющегося резонатора выполнено в [2, 4, 7, 8]. Было показано, что погрешности изготовления резонатора (переменная плотность, толщина, анизотропия упругих свойств материала и др.) [2, 8], геометрическая нелинейность изгибных колебаний резонатора, изученная в [2, 7], вызывают раздвоение собственной частоты изгибных колебаний [2], которое отражается на волновой картине колебаний резонатора и характеризует точность гироскопа.
В данной работе исследованы погрешности вибрационного микрогироскопа, возникающие из-за нелинейных упругих свойств материала кольцевого резонатора. Построено управление потенциалами электродов, позволяющее поддерживать заданную амплитуду нормального прогиба резонатора и парировать погрешности гироскопа из-за нелинейных упругих свойств материала.
1. Постановка задачи. В данной работе рассмотрим кольцевой вибрационный микрогироскоп [5, 6], резонатор которого представляет собой тонкое упругое кольцо, связанное с основанием при помощи восьми полукруглых спиц - торсионов (фиг. 1). Толщина резонатора h, а осевая линия в недеформированном состоянии представляет собой окружность радиусом R. Резонатор 1 изготавливается методом литографии совместно с торсионами 2 упругого подвеса и электронным контуром управления. Колебания резонатора возбуждаются и регистрируются системой управляющих и измерительных электродов 3, 4.
Целью работы является синтез закона управления колебаниями резонатора, уменьшающий влияние нелинейной упругости материала кольца на ошибки гироскопа.
2. Уравнения движения. Пусть Oxyz - правая декартова система координат, связанная с основанием гироскопа и плоскостью Oxy, содержащей упругое кольцо; r, ф - полярные координаты в плоскости Oxy. Обозначим через и и w упругие смещения элемента кольцевого резонатора в окружном и радиальном направлении соответственно (фиг. 1). Предположим, что ось крепления резонаторов вращается вокруг оси Oz с медленно изменяющейся угловой скоростью Q, которую в дальнейшем будем считать малой по сравнению с характерной частотой колебаний резонатора юя, т.е.
--е ^ 1, max
ю„
2 dt
е
I
П
1
Фиг. 1
где е - малый параметр. В этом случае удельная, отнесенная к единице длины осевой линии резонатора кинетическая энергия тонкого упругого кольца выражается в виде
РР [(и + П( и + Я ))2 + (Пи - и; )2 ]
(2.1)
где р, Я, 5 - соответственно плотность материала, радиус и площадь поперечного сечения резонатора. Здесь и далее точкой обозначена производная по времени г.
Предположим, что свойства материала резонатора подчиняются нелинейному закону Гука [13]:
о = Е(е - а3е )
(2.2)
где о - напряжения, возникающие в резонаторе при окружной деформации е; Е - модуль Юнга; а3 - безразмерный упругий модуль.
Энергия деформации единицы объема резонатора имеет вид [13]:
П
|о йе
1,
е - а,
(2.3)
Выражение для окружной деформации определяется соотношением [2]: е = 1 (и' + и) -4;(V- и")
Я
Я
(2.4)
здесь штрихом обозначена частная производная по окружной координате ф; д - координата, отсчитываемая от срединной линии резонатора в направлении внешней нормали (-й/2 < д < й/2).
4
е
4
0
После подстановки (2.4) в (2.3) и интегрирования по площади поперечного сечения резонатора получим удельную потенциальную энергию:
1"
(2.5)
P
ES / « \2 EI, . »t\2 (v + w) + —-(v - w )
R
R
12
+ 2cw + q(t, ф)Rw -
1
- 2 E
S , , 44 31, , -.2, , „л 3Ih , , „.4 — (v + w) + — (v + w) (v - w) +-7 (v - w)
2R
R
40 R
Здесь I - момент инерции поперечного сечения кольца, c - коэффициент, характеризующий жесткость поддерживающих торсионов, q(t, ф) - удельная плотность электрических сил системы управления колебаниями резонатора [2]:
q(t, ф)
£J¿ (U
" 2 Id
(2.6)
где е0 = 8.854 ■ 10 Кл/(Н ■ м2) - электрическая постоянная; l - высота электрода; d = d0 + w(t, ф) - зазор между кольцевым резонатором и электродами; d0 - зазор между не деформируемым резонатором и электродами; U = U(t, ф) - разность потенциалов между обкладками, которую зададим следующим образом:
U = U0(1- Ú71 sinяф - U/2cosяф)
(2.7)
где и0 - постоянное "опорное" напряжение; [, и2 - нормализованные напряжения для возбуждения и управления я-й модой колебаний резонатора.
В дальнейшем будем рассматривать низкочастотные изгибные колебания резонатора и воспользуемся гипотезой о нерастяжимости срединной линии резонатора
и + w = 0 (2.8)
Уравнение (2.8) является уравнением связи между упругими смещениями и и w, рассматриваемыми в качестве обобщенных координат. Заметим, что основные результаты теории вращающихся резонаторов [2-4] были получены с использованием гипотезы нерастяжимости (2.8).
Для описания внутреннего трения в системе используем модель Кельвина-Фойгта и введем диссипативную функцию Рэлея, которая по структуре аналогична потенциальной энергии упругой деформации резонатора и торсионов:
Ф
Щ (V- W )2 + c*w2
R
(2.9)
где Б* - вязкоупругий модуль материала резонатора, с* - вязкоупругая жесткость торсионов. В формуле для функции Рэлея (2.9) учтено условие (2.8) и опущены малые нелинейные слагаемые, так как обычно резонатор изготавливается из материала с низким уровнем внутренних потерь.
Для нормирования удельного лагранжиана Ь = Т - Р разделим его на коэффициент и, принимая во внимание (2.1), (2.5), (2.8), получим:
L = {(V + Qw)2 + (w - Qv)2}/2-
- к2{(V - w")2 - a2(V - w")4}/2 - ZkV/2 - -А-(V + w) - w
pSR p S
(2.10)
Здесь введены параметры
2
2 Е1 г 2 С 2 3 а3й к = —4' = ^ а = Т (2.11)
рБЯ4 " РБЯ' 40 Я4
характеризующие упругие свойства резонатора с системой поддерживающих торсио-нов; X - неопределенный множитель Лагранжа, отвечающий уравнению связи (2.8).
Применяя вариационный принцип Гамильтона, получим уравнения движения кольцевого резонатора:
и + 2ПИ + к2{(и111 - V") + 6а2(V - и")2(и" - и111)} + + е*к2( и111- и") - Х'/(рБЯ) = 0
2 (2.12)
и - 2 П и + к2{( и1У - V111 + С и ) + 12 а2( V - и")(и111 - и") +
+ е*к2( и™ - и111 + С и ) + 6 а2( V - и" )2 (V111 - )} + Х/(рБЯ) + q / (р 5) = 0 Здесь е*, С* - коэффициенты демпфирования
е* = Е*/Е, с* /(р БЯ) = С*е* к2 (2.13)
В уравнениях (2.12) опущены слагаемые, пропорциональные П , П2.
Для того, чтобы исключить неопределенный множитель Лагранжа в системе (2.12), продифференцируем по ф второе уравнение (2.12) и сложим с первым. Полученное уравнение, в которое уже не входит X, продифференцируем еще раз по ф и, учитывая условие нерастяжимости срединной линии (2.8), получаем уравнение для нормального прогиба
и"- и + 4 Пии' + к2 [ иУ1 + 2и1У + (1 + С)и" ] +
2Г .VI „ .IV -щ ^22 Эк Шч
+ е* к[ и +2 и + (1 + С) и ] -6к а <!( и - и )(и- и ) +
Эф1 (2.14)
+ [2(и - и'')(и' - и111 )2 + (и - и'')2(и' ' - и™)] I + = 0 оф I р Б
Функцию нормального прогиба резонатора будем считать малой, т.е.
и = Те Яи* (2.15)
где е - малый параметр; и* - безразмерный нормальный прогиб резонатора.
Будем полагать малым воздействие электрических сил на резонатор. Введем также безразмерные параметры
2 2 2 3/2 п е01и0 2 П 2,, 2 1ч2
е =—-Л, ®п = —— к ((п -1) + 0
(п + 1 )р БЯй0юп п +1
2 2 2 2 (2.16)
п(С* + (п -1))е*К 4п П , 3п2(п2-1)4К2а2Я2 еу = -2-, еv = —-—, % = —5;—2—--—2-
(п + 1 )ю„ (п + 1 )®п 2 (п + 1 )ш2
Здесь у - коэффициент демпфирования; v - нормализованная угловая скорость основания гироскопа; £ - параметр, характеризующий нелинейные упругие свойства материала резонатора; юя - характерная частота свободных колебаний тонкого нерастяжимого кольцевого резонатора с системой торсионов.
Задачу (2.14) решаем в одномодовом приближении, т.е.
w = f sin яф + g cos яф (2.17)
Здесь и далее индекс * опущен; я - номер моды колебаний резонатора; f, g - искомые нормализованные функции времени.
После подстановок (2.6), (2.7), (2.15), (2.17) в уравнение для нормального прогиба (2.14) и применения процедуры Бубнова-Галеркина [8] получим систему нелинейных дифференциальных уравнений, описывающую колебания резонатора в одномодовом приближении:
f + f = е[ - Yf- vg + £( / + g2) f + Ui ]
2 2 ~ (2.18) g + g = e[-Yg + vf + £(f + g )g + U2]
Здесь и далее точкой обозначено дифференцирование по безразмерному времени т = ю^. В уравнениях (2.18) опущены слагаемые порядка O(e3/2).
Для возбуждения колебаний резонатора по основной форме колебаний напряжения управления выберем в виде
U1 = M1sin т + M2cos т, U2 = M3sin т + M4cos т (2.19)
где щ, ..., u4 - медленно изменяющиеся управляющие воздействия.
Систему (2.18) будем исследовать методом усреднения Крылова-Боголюбова [14]. С этой целью выполним в (2.18) замену переменных по формулам
f = р^тт + q^os^ f = p1cosт - q1sinт (220)
g = p2sin т + q2cos т, g = p2cos т - q2sin т
здесь ръ qb р2, q2 - медленно изменяющиеся переменные.
Уравнения движения в медленных переменных рх, qx, р2, q2 в первом приближении метода осреднения имеют вид:
qi = е[-4yqi-4vq2-3£Pi(qi + q2 + P2 + p2) -2£q2(P2qi -Piq2) + 2ui]/8
Pi = e[ - 4y Pi-4v P2 + 3 £qi(qi + q2 + pi + p2) -2£ P2( P2qi- Pi q2) -2 M2]/8
q2 = e[ -4y q2 + 4 v qi-3 £ P2( qi + q2 + p2 + p2 ) + 2 £ qi( P2 qi- Pi q2) + 2m3 ]/8 P2 = e[ -4y P2 + 4 v Pi + 3 £ q2( qi + q2 + p2 + p2 ) + 2 £ Pi( P2 qi- Piq2) -2 u4]/8
(2.21)
Отметим, что в гироскопе физически реализуется схема осреднения Крылова-Боголюбова: с помощью емкостной системы электродов, расположенных вдоль резонатора (фиг. 1), измеряются компоненты р1, q1, р2, q2 в функции нормального прогиба (2.17), (2.20).
Для исследования уравнений (2.21) удобно представить эти уравнения в гамильтоно-вой форме:
q^ = • р = <-!><), ' =
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.