Автоматика и телемеханика, Л- 6, 2007
Адаптивные и робастные системы
PACS 02.30.Yy
© 2007 г. A.A. ВОВЦОВ, канд. техн. наук, H.A. НИКОЛАЕВ, канд. техн. наук (Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики)
УПРАВЛЕНИЕ ПО ВЫХОДУ НЕКОТОРОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМОЙ С НЕИЗВЕСТНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ И НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ1
Дапо развернутое замечание, связанное с возможностью использования алгоритма управления, опубликованного в [1]. для обеспечения полуглобалыюй асимптотической устойчивости нелинейной системы без секторных ограничений.
1. Введение и постановка задачи
В [1] были предложены алгоритмы управления по выходу для стабилизации нелинейной системы с неизвестными параметрами и нелинейностью. Там была рассмотрена нелинейная система в форме вход состояние выход вида
2 = ^ + Ьм + О^(у),
У = КЯ
где ъ(Ь) € Яп — вектор переменных состоянпя; Ь, О и К - неизвестные постоянные матрицы соответственно пхп, п х 1, п х 1 и п х 1 размерноети; <^(у) - неизвестная скалярная функция; у(Ь) € Я выходная переменная.
Относительно неизвестной нелинейной функции <^(у) в [1] было сделано следующее допущение:
у(У)
—С0 < - < С0 для любых у = 0,
у
где число С0 > 0 предполагается неизвестным.
Данное допущение можно отнести к так называемым секторным допущениям. В этой статье рассматривается возможность использования алгоритма управления. опубликованного в [1]. для обеспечения полуглобалыюй асимптотической устойчивости нелинейной системы без секторных ограничений. Проблемам, связанным с полуглобалыюй устойчивостью, посвящено достаточно большое количество работ, см.. например. [2 6].
1 Работа выполнена ири финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты .N-» 05-08-33388-а и .N-» 06-01-08038-офи).
Зам сч а ип с 1. Для определения понятия полуглобальной устойчивости рассмотрим нелинейную систему
X = ! (х,и).
Положение равновесия замкнутой системы является полуглобально стабилизируемым с помощью алгоритмов управления по обратной связи класса Г, если для определенного множества начальных состояний х (0) € О существует алгоритм управления и(х) € Г такой, что положение равновесия замкнутой системы является асимптотически устойчивым, однако данный алгоритм не обеспечивает глобальную устойчивость замкнутой системы (т.е. при других начальных условиях х (0) € О система может быть неустойчивой).
Рассмотрим нелинейную систему в форме вход выход
(1) У = Щ и + С-Щ р(уЛ
а(р) а(р)
где р = - оператор дифференцирования; выходная переменная у = у(€) измеряется, но не ее производные; Ь(р) = Ьтрт + ... + Ъ1р + Ъ0, с(р) = сгрг + сг-1рг-1 + ... ... + С1р + со и а(р) = рп + ап-1рп-1 + ... + а1р + ао - полиномы с неизвестными ко-
Ъ(р)
эффициентами; число г < п — 1; передаточная функция имеет относительную
а(р)
степень р = п — ш; полином Ъ(р) гурвицев и параметр Ът > 0; неизвестная функция р = р(у, ^ такая, что
(2) \р(у,1)\<Оо для всех у(1):
где число С0 > 0 неизвестно, а целое число в > 1 известно.
Пусть для стабилизации системы (1) используется управление следующего вида [1]:
(3) и = —а(р)(¡л + к)у,
{¿1 = а¿2, 6 = ^3,
¿р-1 = — к2& — ...— кр-1^р-1 + к1у),
(5) у = ¿1,
где число л и полином а(р) такие, что передаточная функция Ъ(р)а(р)
(6) Ж (р) =
а(р) + ¡Ъ(р)а(р)
является строго вещественно положительной; положительный параметр к используется для компенсации неопределенности р(у, ^ (см. ниже доказательство теоремы, условие (П.8)); число а > л + к (см. ниже доказательство теоремы, неравенство (П.6)); параметры к вычисляются таким образом, чтобы система (4) была
у
Замечание 2. В силу следствия 3 из [1] существуют число ¡л > ¡0 > 0 и любой гурвицев полином а(р) степени р — 1 такие, что передаточная функция (6) является строго вещественно положительной.
Цель данной статьи заключается в том, чтобы доказать правомочность использования управления вида (3) (5) (алгоритма последовательного компенсатора, опубликованного в [1]) для обеспечения полуглобальной асимптотической устойчивости у=0
2. Модельные преобразования и основной результат
Подставляя (3) в уравнение (1). получаем
(7) у = ар-[—а(р)(л + к)у] + ар. ф(у,г) =
а(р) а(р)
Ь(Р) г / Ч / N / \/ 4 1 С(Р) / Ч
= —г~\[—°(р)(^ + к)у + а(р)(^ + к)е] + ТТ р(у,1)-а(р) а(р)
После простых преобразований для модели (7) имеем
а(р)у + /ла(р)Ь(р)у = Ь(р)а(р)[(л + к)е — ку] + с(р)<р(у)
(8)
Ь(р)а(р)
а(р) + лЬ(р)а(р)
где передаточная функция Ш (р) =
[—ку + (л + к)е] +
с(р)
а(р) + лЬ(р)а(р)
¥>(у,*),.
Ь(р)а(р)
а(р) + ¡лЬ(р)а(р)
является строго вещественно
положительной, а функция е равна:
£ = у — У-
Представим модель вход выход (8) в форме вход состояние выход (9) х = Ах + Ъ(—ку + (л + к)е) + щр(у,Ь) (Ю)
т
у = с х,
где х € Яп — вектор переменных состояния системы (9), (10); А, Ъ Ч и с — соответствующие матрицы перехода от модели (8) к модели (9). (10).
Так как передаточная функция Ш (р) строго вещественно положительная, то в силу известной леммы Якубовича-Калмана (см., например, обзор [7] или монографию [8]) существует симметрическая положительно определенная матрица Р = Рт, удовлетворяющая двум матричным соотношениям
(Н)
АтР + РА = —Q1, РЪ = с,
где Ql = Qт - положительно определенная матрица и параметры матрицы Ql зависят от л и те зависят от к.
Перепишем модель (4), (5) в форме
£ = а(Г£ + йк^у), У = Ьт
0 1 0 •• •0 0 1
0 0 1 •• •0 0 0
где Г = 0 0 0 •• •0 = 0 и Ь = 0
. —к1 —к2 —к3 •• • —кр-1 _ 1 0
Введем в рассмотрение вектор (12) п = Ь у —
который связан с функцией е следующим образом:
е = у — у = ЬтЬу — Ьт£ = Ьт(Ьу — = Ътп. Дифференцируя уравнение (12). получаем
П = Ьу — а(Г(Ьу — п)+ d к1у) = Ьу + аГп — а(в.к1 + ГЬ)у. Так как dк1 = — ГЬ (может быть проверено подстановкой), то
(13) г} = Ьу + аГп, е = Ьтп,
где матрица Г является гурвицевой в силу расчета параметров к системы (4) и
(14) Г^ + КГ = —Q2,
где N = Nт > 0 и Q2 = QT > 0.
Теперь сформулируем теорему, в которой будут представлены условия асимптотической устойчивости системы (9), (10), (13).
Теорема. Рассмотрим нелинейную систему (9), (10), (13) с допущениями на нелинейную функцию р = р(у,г) вида (2). Пусть положительные числа к и а удовлетворяют условиям
—аQ2 + б-1 (л + к)ЬЬт + (л + к)^ЬстЪЪтсЬ^ + (л + к)ЬЬт+ + б-^ЬстААтchTN + кNhcTqqTchTN + б-1^ЬстЪЪтсЬтN < —Q
к > фоС$(к-1 + б-1)2,
где Q = Qт - положительно определенная матрица, числа 0 < б < 0,5 и фо > 0 такие, что
—Q1 + 61 + (бл + 2бк — к)РЪЪтР + бРqqTP <—Q< 0, Фо >\-1\1(У(го))28-2,
Ьо)Рх(Ц)+П (го)^ п(го)
Тогда нелинейная система (9), (10), (13) асимптотически устойчива. Доказательство теоремы приведено в Приложении.
Из доказательства теоремы следует, что для каждого множества начальных уело-
У (го) = хт(го)Рх(го) + пT(tо)Nп(tо).
впй функции У (го) найдутся положительные числа к, фо и а, для которых нелинейная система (9), (10), (13) будет асимптотически устойчива. Однако изменение начальных условий функции У (го) в сторону их увеличения при фиксированных к Ф0 а
к невыполнимости неравенства (П.11). Таким образом, при фиксированных значени-к Ф0 а
нелпнейной системы (9), (10), (13) и, следовательно, о полуглобальной асимптотической устойчивости положения равновесия у = 0.
3. Заключение
В работе рассмотрена проблема управления нелинейной неопределенной системой, состоящей из линейного минимально фазового динамического блока и нелинейного звена, статическая характеристика которого ограничена степенной функцией
выходной переменной в обратной связи. Показано, что алгоритм управления вида (3) (о), использующий измерения только выходной переменной, обеспечивает полуглобальную асимптотическую устойчивость положения равновесия y = 0 замкнутой системы.
ПРИЛОЖЕНИЕ Д о к а з а т с л ь с т в о то о р с м ы. Рассмотрим функцию Ляпунова вида (П.1) V = xTPx + nTNn.
Дифференцируя (П.1) в силу уравнений (9). (10) и (13). получаем
(П.2) V = xT(ATP + PA)x + 2(p + k)xt PbhTn +
+ 2xTPqp(y, t) - 2kxtPby + nMrTN + NT)n + + 2nT N hcTAx + 2(p + K)nTNhcTbhTn + + 2nTNhcT q<p(y, t) - 2KnTNhcTby. Подставляя в (П.2) уравнения (11). (14) и принимая во внимание неравенства
2xTPbhTn < 6 xTPbbTPx + S-1nThhTn, 2xTPq<p(y, t) < 6 xTPqqTPx + 6-1[^(y,t)]2,
rp rp rp m rp rp rp rp rp
2n NhcTbhTn < П NhcTbbTchTNn + nThhTn,
2nTNhcTAx < 6-1nTNhcTAATchTNn + 6 xTx,
2nTNhcTq<p(y,t) < кпТNhcTqqTchTNn + K-1[^(y,t)]2,
rp rp rp rp rp rp rp rp
-2KnTNhcTby < 6-1KnTNhcTbbTchTNn + 6KxTPbbTPx,
получаем
(П.З) V < -xTQ1x - anTQ2n - kxtPbbTPx - Ky2 + + 6 (p + k)xtPbbTPx + 6-1 (p + K)nThhTn + + 6xTPqqTPx + 6-1[if(y, t)]2 + (p + K)nTNhcTbbTchTNn + + (p + K)nThhT n + 6-1nTNhcTAATchTNn + 6 xTx + + KnTNhcTqqTchTNn +
+ K-1[^(y, t)]2 + 6-1KnTNhcTbbTchTNn + 6kxtP bbTP x,
где число 0 <6 < 0,5 такое, что
(П.4) -Q1 + 61 + (6p + 26k - k)pbbTP + 6PqqTP <-Q < 0.
Подставляя неравенство (П.4) в (П.З), имеем
(П.5) V < -xTQx - anTQ2n - Ky2 + 6-1(p + K)nThhTn + + 6-1[^(y,t)]2 + (p + K)nTNhcTbbTchTNn + + (p + K)nThhT n + 6-1nTNhcTAATchTNn + + KnTNhcTqqTchTNn + K-1[<p(y, t)]2 + + 6-1KnTNhcTbbTchTNn.
а
(П.6) —аQ2 + б-1 (л + к)ЬЬт + (л + к)N hcTЪЪTchTN + + (л + к)ььт + б-1^стААт сь^ + + кNhcTqqTchTN + 6-1кNhcTbbTchTN < —Q. Подставляя выражение (П.6) в неравенство (П.5). получаем
(П.7) У < —xTQx — пTQп — ку2 + (б-1 + к-1)[р(у,г)]2 <
< —ХоУ — ку2 + (к-1 + б-1)С2у28-1у <
< —ХоУ — ку2 + фоС4(к-1 + б-1)2у2 + ф-1 у48-2,
где в силу условия (2) [р(у,г)] < С2 \у(г)\2% а числа Хо > 0 и фо > 0. к
(П.8) к > фоС4(к-1 + б-1)2. Тогда
(П.9) У < —ХоУ + ф-у48-2 < —ХоУ + ф-1Х1(хтРх)28-1 <
< —ХоУ + ф-1Х1У28-1 = —У (Хо — ф-1Х1У28-2), Х1 > 0
Х1(хтРх)28-1 > (стх)48-2 = у48-2. Выбирая число
(^ фо >х-1Х1(у(го))28-2, для неравенства (23) получаем
(У (г))28-2
(П.И) У < —ХоУ,„," _9 < 0 для любого г > го. (У(г0))28-2
Из последнего выражения следует асимптотическая устойчивость системы (9). (10). (13). что и требовалось доказать.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бобцоа А.А., Николаев Н.А. Синтез управления нелинейными системами с функциональными и параметрическими неопределенностями па основе теоремы Фрадкова // АиТ. 2005. 1. С. 118 129.
2. Khalil Н.К., E
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.