ИЗВЕСТИЯ РАН. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2015, № 5, с. 164-176
СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖУЩИМИСЯ ОБЪЕКТАМИ
УДК 62.50
УПРАВЛЕНИЕ ПО ВЫХОДУ ПРОДОЛЬНЫМ ДВИЖЕНИЕМ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА*
© 2015 г. Н. Е. Зубов, Е. А. Микрин, М. Ш. Мисриханов, В. Н. Рябченко
Москва, МГТУим. Н.Э. Баумана, г. Королёв МО, ОАО РКК "Энергия" Поступила в редакцию 11.09.14 г., после доработки 13.02.15 г.
Аналитически решена задача стабилизации продольного движения летательного аппарата в отсутствие информации об угле атаки. В основу решения положен метод синтеза управления по выходу спектром движения системы, которая имеет много входов и много выходов, базирующийся на специально организованной многоуровневой декомпозиции модели динамической системы в пространстве состояний. Приведены результаты численного моделирования.
Б01: 10.7868/80002338815040149
0. Введение. Будем использовать линеаризованную модель продольного движения относительно невозмущенного движения в виде равномерного прямолинейного горизонтального полета в штилевых условиях летательного аппарата (ЛА) самолетного типа следующего вида [1]:
ГАК ^
Аё
А®,
)
('_(у _ав
ау ау
0
1
0 аЛ _ах Г АV ^ ( р ах 8С ах
0 а _ау Аё + Р ар 8 с ау
а, _а г ш а _аш Р К
0 0 ; 1 0 0
АР
\8С
(0.1)
Здесь Д V — отклонение величины вектора скорости; А8 — отклонение угла наклона траектории;
Дю, — отклонение угловой скорости в канале тангажа; А V — отклонение угла тангажа; А Р — отО г V 0 а
клонение величины вектора тяги двигателя; ос — угол отклонения стабилизатора; ах , ах, ах и т.д. — коэффициенты линеаризации [1]. Вводя обозначения
х = (ДV ДО Дю, ДV)Т, и = (ДР 5С)Т, вместо (0.1) имеем
х =
ап а12 0 а14 ^ ' ¿11 ¿12
а21 а22 0 а24 х + ¿21 ¿22
а31 а32 а33 а34 ¿31 ¿32
0 0 1 0; 1 0 0
и,
(0.2)
где
а21 = -а:,
_ V
а31 — аш7,
V
-ах > а12 V
-ах
-а^
а22 — -а
_ о
а32 — аш
в
■ аУ
У У
а33 ■
а14 — —а
а24 — а
а,
- —а^
У а34
—аш
¿11 = ах , Ь12 = а
и Р и 5с ¿21 = ау, ¿22 = а/
¿31 = а„
¿32 = а„
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 14-11-00046).
В дальнейшем считается, что информация об отклонении угла атаки а или эквивалентно угла наклона траектории А8, поскольку А8 = А V - Аа, отсутствует. В результате вектор выхода системы имеет вид
у = (V Дюг ДV)т.
Следует заметить, что для широкого диапазона изменения высоты и скорости движения ЛА в силу особенностей линеаризации коэффициенты матриц A и B имеют кусочно-постоянный вид.
С учетом сделанных предположений, исходную математическую модель можно записать в форме динамической М1МО-системы (т.е. системы, имеющей много входов и много выходов) типа "вход—состояние—выход":
х(0 = Ах(0 + Би(0, у(0 = Сх(0, (0.3)
где х е К",п = 4 — вектор состояния (К — множество вещественных чисел, вещественная ось); u —
вектор входа (управления) из Кг, где г = 2; у е Кт, т = 3 — вектор выхода. При этом в (0.3) соответствующие матрицы имеют вид
A =
' а11 ai2 0 а14
А21 a22 0 а24
а31 аз2 азз а34
( 0 0 1 0
' ¿11 ¿12 ^
¿21 ¿22
b31 ¿32
10 0;
(0.4)
B
(1 0 0 0^ С = 0 0 10 ч0 0 0 1,
Если к тому же в качестве закона управления (0.2) предположить выражение Ц(0 = Ру(0 = РСх(/>,
(0.5)
(0.6)
(0.7)
где Г е Кгхт — матрица регулятора по выходу, то в соответствии с [2] для рассматриваемой системы (0.3)—(0.7) будет иметь место случай управляемой по выходу динамической М1МО-системы.
В дальнейшем также будем полагать, что матрица B е [R4x2 (0.5) имеет полный ранг, т.е. в данном случае rank B = 2 или эквивалентно матрица B B — обратимая (det(B B) * 0).
Введем в рассмотрение спектр матрицы A е (полюсов)
eigA = [l е С: det (Д4 - A) = 0,i = 1,4
„4x4
(0.4) — множество ее собственных значений
Здесь 14 — единичная матрица размера 4 х 4, С — множество комплексных чисел (комплексная плоскость).
Пусть Л — заданный спектр матрицы замкнутой управлением (0.7) системы А + БЕС, т.е.
Л = eig(A + BFC) = |Xb X2,..., X4
(0.8)
Требуется выбрать (синтезировать) в явном виде матрицу регулятора Г е К2х3, чтобы в точности выполнялось равенство (0.8).
Сложность рассматриваемой задачи объясняется необходимостью получения решения в явном, аналитическом виде, поскольку, как отмечалось ранее, матрицы А, Б в (0.3) имеют кусочно-постоянный вид. Этому и посвящена данная работа.
1. Декомпозиция динамической системы. Первым шагом в решении поставленной задачи будет осуществление специальной многоуровневой декомпозиции модели ЛА, предложенной в [3—9].
Поскольку для данной задачи выполняется неравенство т > г, то в общем виде, не придерживаясь конкретных числовых значений для т и г, введем в рассмотрение многоуровневую декомпозицию системы (0.3)—(0.7) следующего вида: нулевой уровень декомпозиции
А 0 = А, Б0 = Б, С0 = С, (1.1)
к-й уровень декомпозиции (к = 1, M, где M = ceil (n/r), ceil (*) — операция округления числа "*" в сторону большего значения)
A к = B ¿-iA k-iB ¿-^ B к = B ¿-iA k-iB k-l, г к = r k-iA k-iB fc+i- (12)
В формулах (1.1), (1.2) для к = 0, M фигурируют матрицы со свойствами
(Вк |в f ) =
гвл вк
VJ
BfcB к = 0, В+Вк = Ir, (1.3)
г Ск ^ г1
Vг к
-i
(г к |C1), г ¿СT = 0, г кС к = I m, (1.4)
где верхним индексом "±" обозначены полуортогональные матричные делители нуля, а индексом "+" — псевдообратные матрицы Мура—Пенроуза [3—5].
Введем также в рассмотрение формулы регуляторов для управления спектром на соответствующих уровнях декомпозиции (в обратном порядке): М-й уровень декомпозиции
ЕМ = (фмБМ - БМАм) СМ, (15)
к-й уровень декомпозиции (к = 0, М - 1)
¥к = (ФкБ- - БкЛк)С+, Б- = Б+ - Е^Б£. (1.6)
На этом процедуру многоуровневой декомпозиции можно считать выполненной. 2. Алгоритм синтеза управления MIMO-системой по выходу. Справедливо следующее утверждение, доказанное в [6] и приводимое здесь с учетом замены полуортогональных матричных делителей нуля на матричные делители нуля с отсутствием свойства полуортогональности [6], т.е.
на такие матрицы, для которых в общем случае Б^Б¿т Ф Iп_г.
Те о р е м а 1. Пусть т > г, следующие матрицы существуют и попарно полностью управляемые:
GI = B-AкС¿(B-С¿)+, H = (B-С^)Х, к = 0, M, (2.1)
тогда существует непустое множество матриц К,, / = 0, М, таких что,
Ф, = с;. + Кти;. = (Б:А;.С^)(Б:С^)+ + К т(Б;:С У, (2.2) и для (1.5), (1.6) выполняются равенства спектров
м
е1в (Ак + БкЕкСк) = У ^Ф,, к = , (2.3)
I = к
М
е1в (А 0 + Б 0^С 0) = е1в (А + БЕС) = у eigФ, = Л. (2.4)
I = 0
Условие т > г в теореме 1 не имеет обременительного характера и введено с целью указания, что в данном случае матрица Е из (0.7) традиционно рассматривается как матрица регулятора (число входов системы меньше, чем выходов).
Для случая m < r, который не характерен для рассматриваемой в данной работе задачи синтеза, теорема 1 имеет дуальную формулировку, а матрица F заменяется на матрицу наблюдателя L (число входов больше, чем выходов).
Те о р е м а 2. Пусть m < r, N = ceil (n/m), выполнена декомпозиция системы (0.3) следующего вида:
А 0 = А, В0 = В, С0 = С,
Ак = С к-1А к-1С ¿-1, Вк ~ Ск-1А к-1Ск-1, С к = Ск-1А к-1Ск-1> к = 1) N >
указанные ниже матрицы существуют и попарно полностью наблюдаемы:
Gt = (B^C+)+B¿AkCHk = (B^C+)\ k = 0, N,
тогда существует непустое множество матриц Ь^, I = 0, N, таких что,
¥, = + ИЬ = (В/"С+)+В/"А (-С+ + (В/-С+)1ЬТ, и при
^ = Вм(См^м - АмСм),
Fk = B k (C k¥ k - A kC k), выполняются равенства
C - — C + C и Fi
k
k = 1, N -1
N
eig (Ak + BkFkCk) = U eig^i, k = 1, N,
i = k
N
eig (Aо + B0F0Cо) = eig (A + BFC) = U eig^i = Л.
(2.5)
(2.6)
(2.7)
(2.8)
(2.9) (2.10)
(2.11) (2.12)
i = 0
Как и в алгоритмах, приведенных в [3—9], здесь при преобразованиях используются только полуортогональные и псевдообратные матрицы, что с вычислительной точки зрения, по крайней мере, не ухудшает обусловленность уравнений.
Рассмотренный подход не содержит ограничений в виде различия алгебраической и геометрической кратности элементов назначаемого спектра, а также на размерность решаемой задач. Это подтверждается математическим моделированием, которое было проведено авторами и показало высокую относительную точность управления спектром и практическое отсутствие ограничений на размерность системы (0.3).
3. Аналитический синтез управления продольным движением ЛА. Согласно постановке задачи, требуется найти в явном виде формулу регулятора F в законе управления (0.7), имеющего в данном случае вид
'AP(t) А(0
= FC
f AV Л f AV
АО
= F A®z
Аю7 z
z V Av
Uv ;
(3.1)
и обеспечивающего замкнутой системе "ЛА + система управления" указанный ранее спектр:
Л = (X1, X 2,..., X 4}. (3.2)
Выполним для системы (0.3) с матрицами (0.4)—(0.6) многоуровневую декомпозицию, определенную в разд. 1 и имеющую в данном случае два уровня декомпозиции (м = 1): нулевой (1.1) и первый (1.2), для которого
(¡11 ¡11 1 0
ВП =
0 0 0 1
вп+ =
(/11/-1 0Л ¡2-1 0 Г1 0 0 1
(3.3)
А1 =
( 1 1 ^
а11 а12
4^21 0 у
В, =
1 1
' Ь11 , 1 л ¿12 , С1 = Сц 1 С12 1
1 ь21 Ь22 У С21 с22
1 ^ С11 0 У
(3.4)
где
аи = (а/ + ац/Ц + а^ + Уп (а12 + а21)) 1, а^ = аз4 + а1з /п + а24 ¡12, а\1 = Г1, ¿и = аззЬз1 + Ьпа/ + Ь2щ^, ¿112 = аззЬз2 + Ьп(аз1 + ап/п + а21 ¡12) + ¿22а3, = Ьз1, Ь12 = Ьз2,
1 - ! 1 1 \/-1 1 - 1 - 1/-1 1 - 1 - /-1 С11 = (а11 ¡ц + а12/12)/ , с12 = а13, С21 = а/1 , с22 = a34, Сз1 = 1 ,
¡* = ЬцЬ22 - Ь12Ь21 ,
/ = Ь21Ьз2 - Ь22Ьз1 / = ~(Ь11Ьз2 - Ь12Ьз1) / = ¡2 + ¡2 + 1 11 ¡* ' 12 ¡* ' 11 12 '
1 2 з
Щ = азз + аз1 ¡11 + a32¡12, Щ = аз1 + а11 ¡11 + ^¡^ Щ = аз2 + а12 ¡11 + a22¡]
12
Для проверки условий управляемости, определенных в теореме 1, вычислим следующие матрицы:
/ 7.0+ ,0+ ,0+ ПЛ
ЬЦ Ь12 Ь1з 01
,0+ ,0+ ,0+ п V Ь21 Ь22 Ь2з 0У
С01 = (0 10 0), в0
в которых, при введенном обозначении
Ь = ЬПЬ99 + Ь2Ь
з2
- 2ЬцЬ19Ь91Ь99 - 2Ь11Ь19Ьз1Ьз9 + Ь19Ь91 + Ь19Ьз! + Ь91Ьз9 -
'1 1^22 + "11"з2 -"ЧМ 2^2 1^22 "Л 1и1 2<уз 1"з2 + и12и2 1 + и1 2<уз 1 + "2 1"з2 —2Ь21Ь22Ьз1Ьз2 + Ь22ЬзЪ
(3.5)
Ь0+ _ Ь11Ь22 - Ь12Ь21Ь22 + Ь11Ьз2 - Ь12Ьз1Ьз2 ¿0+ _ Ь21Ь12 - Ь11Ь22Ь12 + Ь21Ьз2 - Ь22Ьз1Ьз2
Ь91Ь] 9 Ь\\Ь99Ь\9 з9 Ь99 Ьз1 Ьз
7 0 +
Ь1з _
Ь22 =
О0+ 12 О0+
Ьз1 Ь12 -
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.