ИЗВЕСТИЯ РАИ. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2007, № 6, с. 127-141
СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖУЩИМИСЯ ОБЪЕКТАМИ
УДК 629.782.051
УПРАВЛЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ПЕРЕОРИЕНТАЦИЕЙ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ПО МЕТОДУ СВОБОДНЫХ ТРАЕКТОРИЙ
© 2007 г. М. В. Левский
г. Юбилейный, НИИ космических систем Государственного космического научно-производственного центра им. М.В. Хруничева Поступила в редакцию 11.05.04 г., после доработки 12.04.07 г.
Рассматривается задача оптимального управления пространственной переориентацией космического аппарата за заданное время. Минимизируется функционал, имеющий смысл расхода рабочего тела. Представлены варианты численного решения поставленной задачи. Оптимальное управление разворотом космического аппарата определяется в классе управлений со структурой "разгон - свободное движение - торможение". Исходная задача оптимального управления сводится к решению трех задач - разгону космического аппарата до необходимого кинетического момента, неуправляемому вращению космического аппарата и гашению угловой скорости. Для повышения точности приведения космического аппарата в заданное угловое положение предлагаются способы управления, реализующие метод свободных траекторий. Синтезированные управления инвариантны к внешним возмущениям и параметрическим ошибкам. Представлены результаты математического моделирования, демонстрирующие высокую экономичность разработанных алгоритмов управления. Приводятся количественные оценки затрат рабочего тела на осуществление программного разворота.
Введение. В статье применяется метод решения задач оптимизации и формализации описания кинематики вращательного движения твердого тела, предложенный в [1]. Проблема создания экономичных режимов и алгоритмов управления ориентацией космических аппаратов (КА), использующих в качестве исполнительных органов реактивные микродвигатели, является одной из наиболее важных в космической технике. Ставилась задача синтеза рациональных алгоритмов управления пространственным разворотом произвольного КА без ограничений на углы рассогласования, обладающих достаточно высокой экономичностью по сравнению с известными способами и относительно легко реализуемых.
Под пространственной переориентацией будем понимать перевод связанных с корпусом КА осей 0ХУ2 из одного известного углового положения в другое известное (обычно заданное) угловое положение за конечное время tк. В этом случае параметры разворота (например, компоненты кватерниона разворота) известны заранее, еще до начала маневра; исходные угловые рассогласования могут быть любыми (от нескольких градусов до 180°). При этом угловая ориентация правой системы координат 0ХУ2 (равно как ее начальное 0ХнУн2н и конечное 0ХкУк2к положения) определяется относительно выбранного опорного базиса I. В работе рассматривается наиболее распространенный случай, когда опорной
является инерциальная система координат 0ХиУи2и (ИСК). В связи с этим исследуется вопрос оптимизации терминального управления, обеспечивающего за фиксированное время управления ^ совмещение связанной с корпусом КА правой системы координат 0ХУ2 с программным базисом, положение которого в инерциальном пространстве задано.
Исследованию задачи оптимального управления переориентацией твердого тела в различных постановках посвящено множество публикаций [1-7]. В частности, в [4] рассматриваются вопросы оптимального разворота КА по быстродействию и минимуму энергетических затрат. Аналитическое решение было получено принципом максимума Л.С. Понтрягина для случая, когда область допустимых значений управляющего момента ограничена сферой, а сам КА разворачивается вокруг вектора конечного поворота. В [5] оптимальные управления находились методом совмещенного синтеза на основе алгоритма с прогнозирующей моделью, причем минимизировался функционал обобщенной работы. Аналитическое конструирование по критерию обобщенной работы (АКОР) представляет собой достаточно универсальное средство решения задач оптимального управления. Однако оптимизация по АКОР не позволяет выполнить ограничения, накладываемые на управления. Кроме того, управления, синтезируемые методом АКОР, представляют
собой непрерывные (и даже гладкие) функции; они обеспечивают асимптотический подход к требуемому конечному состоянию (угловым положению и скорости). Оптимальными же по быстродействию или экономичности являются релейные управления [2, 3]. Существенный недостаток АКОР - его непригодность для случая произвольных (в том числе и неограниченно больших) начальных угловых отклонений [2]. Использование при синтезе управлений прогнозирующих моделей повышает качество регулирования, в силу чего они широко применяются в настоящее время многими авторами. Но в таких алгоритмах конечный результат зависит в основном от вида прогнозирующей модели; последний полностью предопределяет реализующийся полученными управлениями тип разворота. Принятие сколько-нибудь близкой к реальности прогнозирующей модели влечет за собой неустранимые математические сложности. В известных последних публикациях по затронутой проблеме [5-7] найденное решение, к сожалению, не является принципиально новым. Разработанное при синтезе управление приводит к развороту КА вокруг оси Эйлера, хотя принципы оптимизации и алгоритмы управления различны. В то же время, очевидно, эйлеров разворот далеко не оптимален по энергетическим или временному критериям, как бы точно он не исполнялся.
Оптимизация переориентации КА по критерию минимума расхода топлива представляет определенную сложность как в математическом, так и в вычислительном плане. И несмотря на большое количество работ, посвященных этой проблеме, вопрос построения оптимальных управлений, доставляющих минимум расходу топлива, остается открытым. Нахождению численными методами оптимальной программы пространственной переориентации произвольного КА в заданном классе управлений и построению управлений по методу свободных траекторий посвящена статья.
1. Уравнения движения и постановка задачи.
Предполагается, что управление угловым положением КА осуществляется посредством трех и большего числа пар двигателей, создающих моменты относительно главных центральных осей инерции КА. Уравнения углового движения КА как твердого тела имеют вид [8]
J1 (Ь1 + (J3 — J2 )ю2ю3 = М1, J2 ю2 + (J1 — J3 )ю1ю3 = М2, J3 ю3 + (J2- ^ )ю1ю2 = М3,
(1.1)
лютной угловой скорости на оси связанного базиса Е, образованного главными центральными осями эллипсоида инерции аппарата (/ = 1, ... 3).
Для описания пространственного движения КА используем математический аппарат кватернионов (параметров Родрига-Гамильтона) [1]. Движение связанного базиса Е относительно опорного базиса I будем задавать кватернионом Л. Для определенности будем считать базис I инерци-альным. В этом случае имеют место следующие кинематические уравнения:
2А,о = - ю1 — Х2 ю2 — ^3ю3. 2 = ^0ю1 + ^2ю3 — ^3ю2, 2 А,2 = ^0ю2 + — 2 А,3 = ^0ю3 + ^1ю2 —
(1.2)
или в кватернионной форме: 2Л ° ю, где ^ - компоненты кватерниона Л,j = 0, ... 3, причем ^0 +
+ А<1 + + ^3 = 1.
В условиях космического полета особенность управления заключается в малости возмущающих моментов, обусловленных взаимодействием аппарата с внешними полями и сопротивлением среды. Управление движением КА относительно его центра масс производится путем изменения момента внешних сил М. Зададим граничные условия положения КА и его угловой скорости
Л(0) = ЛН, ю(0) = юо, (1.3)
Л(0 = Лк, ю(0 = Ют, (1.4)
где - время окончания процесса переориентации. Для того, чтобы задача управления была замкнута, вводится оптимизируемый функционал
О =
(1.5)
где Ji - главные центральные моменты инерции аппарата, Mi - проекции главного момента внешних сил на главные центральные оси эллипсоида инерции аппарата, юi - проекции вектора ю абсо-
где я - неотрицательная функция времени.
В статье исследуется случай, когда я = £(МЬ М2, М3). При оценке энергозатрат на управление Я - положительно-определенная функция управляющих переменных М, i = 1, 3 . Практическую ценность имеют задачи, в которых граничные значения юо = ют = 0, а ЛН и ЛК есть произвольные наперед заданные значения. Конкретный вид функции я в функционале (1.5) зависит от типа исполнительных органов, создающих управляющий момент М.
Определим оптимизируемый функционал применительно к задаче переориентации КА с требованием выполнения маневра за ограниченное время с заданным вектором состояния и с учетом
0
затрат по расходу топлива. Будем считать, что для управления пространственной ориентацией КА используется не менее трех пар управляющих реактивных микродвигателей. Величина расхода зависит от схемы установки двигателей ориентации (ДО). Управление относительно главных центральных осей инерции КА в настоящее время является широко применяемым. С помощью установленных по каждой строительной оси КА управляющих двигателей создаются независимо проекции требуемого вектора управляющего момента на соответствующие связанные с КА оси. Расход топлива на разворот при таком управлении складывается из затрат по каждому каналу. В этом случае главная часть функционала примет вид
откуда
G =
tK
J (f
M2I \M3
I2
1з
(1.6)
< U, i = 1, ..., 3;
t < T ;
1к — x зад'
£(Xy(ti) - Xjк)2 < e
дои-
j = 0
Учитывая, что
^(Xj (ti ) - Xk )2 = 2 1- £Xj (tK )Xj
j=0 V j=0
= 2Г1- cos-"! < едОП,
|Ay| < 4arcsin
Следовательно, задача оптимального управления переориентацией КА замкнута. Математически она формулируется так: требуется определить управление, обеспечивающее разворот КА из произвольного начального Лн в требуемое конечное положение ЛК за ограниченное заданной величиной Гзад время с минимальным расходом топлива
G=
tK
f V МЦ+МУ+М-Г) л
J V l1 l2 l3 J
min, ti < Тза
где /1, ¡2,¡3 > 0 и имеют физический смысл плеч установки двигателей ориентации по каналам х, у, 2.
Рассматривается переориентация КА из любого текущего положения в инерциальной системе координат в окрестность заданного конечного положения. Начальная и конечная угловые скорости КА предполагаются нулевыми. Задача оптимизации пространственного разворота КА заключается в том, чтобы указать
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.