СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖУЩИМИСЯ ОБЪЕКТАМИ
УДК 517.93
УПРАВЛЕНИЕ СОСТОЯНИЕМ АВТОМАГИСТРАЛИ ПОСРЕДСТВОМ ВЫДЕЛЕННЫХ ПОЛОС*
© 2015 г. Е. Г. Дорогуш, А. А. Куржанский
Москва, МГУ; США, г. Беркли, Калифорнийский ун-т Поступила в редакцию 18.09.13 г., после доработки 09.05.14 г.
Предлагается алгоритм управления состоянием автомагистрали при помощи выделенных полос. Цель управления — поддерживать максимальную скорость движения на выделенных полосах за счет перераспределения потоков от въездов. Последнее достигается с учетом состояния обычных полос и условия минимальной скорости роста очередей перед въездами. Для описания алгоритма и его свойств использована дискретизированная гидродинамическая модель транспортного потока Лайтхилла—Уизема—Ричардса.
БО1: 10.7868/8000233881503004Х
Введение. Можно выделить несколько подходов к моделированию транспортных потоков. В микроскопических моделях постулируется закон изменения скорости или ускорения конкретного автомобиля в зависимости от текущих условий. Таковыми могут быть дистанция до впере-диидущего автомобиля, текущая скорость движения и т.п. В макроскопических моделях транспортный поток рассматривается как сжимаемая жидкость. Изменение состояния транспортного потока при этом может описываться уравнением или системой уравнений в частных производных. Также рассматриваются разностные уравнения. Кроме того, транспортные потоки моделируются и исследуются в статике, с применением теории экономического равновесия. Все эти подходы подробно описаны в [1].
В данной статье представлена макроскопическая математическая модель транспортных потоков на автомагистрали с платными полосами. Исследуемая модель автомагистрали основана на гидродинамической модели [2—4]. Транспортный поток в гидродинамической модели рассматривается как одномерный поток сжимаемой жидкости и описывается нелинейным уравнением в частных производных
Здесь р — плотность (число автомобилей на единицу длины автомагистрали), / — поток (число автомобилей, проходящих через заданное сечение в единицу времени), ? — время, х — координата (длина автомагистрали). Предполагается, что поток/ зависит от плотности р нелинейно. График функции/(р) называется фундаментальной диаграммой. Примерный вид этой функции в модели транспортных потоков на автомагистрали показан на рис. 1. В гидродинамике функция /(р) обычно считается выпуклой, а в модели транспортных потоков — вогнутой. Поэтому в гидродинамике возмущения (например, локальное увеличение плотности) распространяются вниз по течению, а в транспортной модели — против хода движения.
Гидродинамическую модель можно дискретизировать, как предложено С.К. Годуновым [5]. Дискретная модель автомагистрали исследовалась в [6, 7]. В [8, 9] на основе дискретной модели автомагистрали строится общая модель транспортной сети.
Следует отметить, что в имеющейся литературе рассматриваются также модели более высоких порядков [10—13]. Мы ограничимся моделью первого порядка. В этой модели, как пояснено далее, параметры имеют простую физическую интерпретацию. Разработаны процедуры оценки
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты № 13-01-90419 укр_ф_а и 12-01-00261-а) и программы "Государственная поддержка ведущих научных школ" (грант НШ-2239.2012.1).
до д/Гр) _
= 0.
8
113
Рис. 1. Фундаментальная диаграмма
параметров модели по данным измерений. Модель была верифицирована и применялась для моделирования одной из наиболее загруженных автомагистралей США.
Цель управления состоянием автомагистрали обычно состоит в уменьшении загруженности автомагистрали. Так, в [14, 15] предлагаются алгоритмы уменьшения загруженности за счет ограничения входящих потоков (светофор на въезде). Особое внимание при этом уделяется контролю длины очереди на въезде и координации регуляторов для расположенных рядом въездов. Важно рассматривать автомагистраль в целом, поскольку речь идет об управлении потоком. Дело в том, что область плотного движения ("пробка") может расти, т.е. загрузка может передаваться на соседние участки.
Другой способ управления загруженностью автострады — создание выделенных платных полос. При этом избыток плотности перемещается не на въезды, а в полосы общего назначения, т.е. в бесплатные полосы. Плата за въезд в выделенные полосы может меняться в течение дня. Таким образом регулируется поток в платные полосы и, следовательно, их загрузка. В качестве примера автомагистрали с платными полосами приведем автомагистраль 680 в Калифорнии (см. рис. 2). На 14-мильном участке этой автомагистрали выделена левая полоса — express lane. По рабочим дням с 5:00 до 20:00 въезд в эту полосу разрешен общественному транспорту, спецтранспорту, автомобилям с пассажирами, мотоциклам. Для автомобилей без пассажиров въезд в выделенную полосу в это время платный. В остальное время въезд в выделенную полосу бесплатный для всех. Есть три точки принятия решения, в которых возможен въезд в выделенную полосу. Стоимость проезда по платной полосе высвечивается на электронном табло незадолго до точки принятия решения. Стоимость проезда может меняться в зависимости от текущего и прогнозируемого состояния автомагистрали. Все автомобили без пассажиров, водитель которых решает выехать на платную полосу, должны быть оборудованы датчиком FasTrak. Информация с датчика считыва-ется после въезда в выделенную полосу. При этом водителю не нужно останавливаться или снижать скорость.
В имеющейся литературе к задаче управления состоянием транспортной сети при помощи платных дорог или выделенных платных полос подходят с разных точек зрения. В [16] строится теория платных дорог в рамках теории экономического равновесия. При этом предполагается, что стоимость времени одинакова для всех участников дорожного движения. В [17, 18] данные о предпочтениях водителей в отношении платных полос анализируются с точки зрения теории дискретного выбора. Имеется в виду выбор платных или бесплатных полос либо выбор альтернативного маршрута или другого способа передвижения в различных ситуациях как гипотетических, так и реальных. Здесь авторы отмечают, что ценность времени и надежности оценки времени поездки могут сильно отличаться для разных участников дорожного движения. Это необходимо учитывать при регулировании загруженности с помощью платы за проезд. В [19] анализируются существующие и планируемые способы организации выделенных полос на автомагистралях Калифорнии с точки зрения их окупаемости. Автор отмечает, что на практике встречаются ситуации, когда доходы от платных полос не покрывают расходы на содержание инфраструктуры. Также встречаются ситуации, когда доходы покрывают расходы, но цены настолько высоки, что бесплатные полосы оказываются перегруженными, а пропускная способность платных полос используется не полностью. В [20] предлагается устанавливать цену за проезд по выделенным полосам динамически как функцию текущих или прогнозируемых на несколько шагов вперед значений плотности потока (плотность транспортного потока есть число автомоби-
лей на участке единичной длины). Как показано на примерах, обе названные стратегии оказываются лучше, чем заранее определенные фиксированные цены. Наконец, в [21] сделан обзор существующих способов организации платных дорог.
Данная статья посвящена управлению транспортным потоком на автомагистрали с выделенными полосами. Решается задача управления расщеплением потока от въездов. Задача состоит в том, чтобы выделенные полосы были максимально использованы, но при этом скорость движения была бы как можно выше, вплоть до максимально допустимой. Такое управление может быть реализовано разрешением въезда на выделенные полосы за плату, которая зависит от состояния автострады и от категории автомобиля. Например, для общественного транспорта или автомобилей с несколькими пассажирами стоимость въезда в выделенные полосы может быть нулевой. Работа основана на результатах [22, 23] и дает им дальнейшее развитие.
1. Постановка задачи. Нелинейная дискретная модель автомагистрали, которая здесь используется, была предложена в [6, 7] и является, по сути, дискретизацией [5] гидродинамической модели [2, 3]. В [8] представлена общая математическая модель транспортной сети. В данной работе моделируется автомагистраль с выделенными полосами. Модель узла транспортной сети взята из работы [24].
1.1. Математическая модель автомагистрали. Произвольная транспортная сеть и, в частности, автомагистраль представляется ориентированным графом. На рис. 3 изображен участок графа транспортной сети в модели автомагистрали с выделенными полосами. Ребра
ni- 1 \ qi \ qi+1 V ni1+ 1
n2 1 \ n2 \ ni2+ 1
Рис. 3. Схема модели автомагистрали
Рис. 4. Схема узла транспортной сети
графа называются также соединениями или, следуя [6, 7], ячейками. Выделяют основные ячейки (парные горизонтальные стрелки на рис. 3), соответствующие выделенным полосам (верхний индекс 1) и обычным полосам (верхний индекс 2). Перед каждой парой основных ячеек может быть въезд — входящее в сеть ребро. В конце каждой основной ячейки может быть съезд — исходящее из сети ребро. Въезды и съезды на рис. 3 обозначены наклонными стрелками.
Далее в этом подразделе представлена дискретная динамическая система, описывающая изменение состояния транспортной сети. Позиция этой системы есть тройка {t, n(t), q(t)}, где t —
h - 1 2
целочисленный момент времени, n(t) = {Uj (t), i = 1, M, % = 1, 2}, Uj (t), Uj (t) — число автомобилей
в i-й паре основных ячеек, М — число пар основных ячеек, q(t) = {q,(t), i = 1, M}, q(t) — длина очереди (число автомобилей на въезде) перед i-й парой основных ячеек.
Состояние системы изменяется в соответствии с законом сохранения:
гU;(t +1) = 4(о f 1(0 + r)(t)- 4(t), % = i, 2, . —
\ i = 1, M.
Iq(t + 1) = q(t) + d(t) - r)(t) - r2(t),
Здесь n1, n2 и qt означают общее число автомобилей в i-й ячейке выделенных или обычных полос и в очереди перед въездом в i-ю пару ячеек; ff, rf , sf , % = 1, 2 и dj — число автомобилей, перемещающихся между смежными основными ячейками (ff), из ячейки-въезда в основные ячейки
(rj), из основной ячейк
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.