АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2008, том 54, № 3, с. 371-379
^=ФИЗИЧЕСКАЯ АКУСТИКА =
УДК 534.23
УПРАВЛЕНИЕ ВОЛНОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ В ДВУМЕРНОЙ
МОДЕЛИ КРОМКИ СОПЛА
© 2008 г. В. Ф. Копьев, Г. А. Фараносов
Филиал ФГУП ЦАГИ "Московский комплекс ЦАГИ" 105005 Москва, ул. Радио 17 E-mail: vkopiev@mx.iki.rssi.ru Поступила в редакцию 3.05.07 г.
Рассмотрена задача о генерации волны неустойчивости, развивающейся с кромки полуплоскости, разделяющей покоящуюся и движущуюся среды. Предполагается, что волна неустойчивости инициирована акустической волной, приходящей из области движущейся среды. Исследована возможность гашения волны неустойчивости с помощью акустической волны, падающей из области, где потока нет. Показано, что этого всегда можно добиться, подбирая амплитуду и фазу управляющего возмущения в зависимости от параметров волны неустойчивости.
PACS: 43.50.Ki, 47.20.Ft, 47.27.Rc
Как известно, шум турбулентной струи остается определяющим источником шума, препятствующим созданию сверхзвукового транспорта. Поэтому к настоящему моменту ощущается необходимость, наряду с развитием традиционных подходов в проблеме снижения шума авиационных двигателей, выдвигать и использовать новые идеи, в том числе и идеи, основанные на попытках активного управления шумом турбулентных струй. Однако главная проблема реализации идеи активного управления упирается в отсутствие концептуальной проработки самой стратегии снижения, что в свою очередь отражает наше недостаточное понимание основных механизмов образования шума, поскольку для устранения причины шума, т.е. активного воздействия на излучающую часть турбулентности, требуется, во всяком случае, понимание основных механизмов возникновения этой причины, т.е. понимания структуры и свойств излучающей турбулентности. Здесь ситуация оказывается принципиально различной для дозвуковых и сверхзвуковых струй. Для сверхзвуковых струй механизм шумо-образования во многом понятен и связан с волнами неустойчивости, развивающимися от сопла вниз по потоку. Эта ситуация существенно отличается от дозвуковых потоков, где до сих пор отсутствует полное понимание механизмов генерации шума.
Считается [1-4], что шум сверхзвуковых струй определяется крупномасштабными возмущениями, представляющими собой пространственно растущие на начальном участке волновые пакеты (волны неустойчивости), развивающиеся вниз по потоку от кромки сопла. Их начальная амплитуда связана с процессами воз-
буждения сдвигового слоя внутренними возмущениями в струе и механизмом их дифракции на кромке. Для перерасширенных или недорасши-ренных струй взаимодействие волн неустойчивости со скачками уплотнения становится дополнительным источником широкополосного шума. Распространение этого шума вверх по потоку и взаимодействие его с кромкой может стать причиной образования обратной связи, что приводит к появлению дискретных составляющих. Таким образом, основные механизмы генерации шума в сверхзвуковой струе связаны с развитием волн неустойчивости и/или их взаимодействием с ударно-волновой структурой струи. Поэтому задачу управления шумом для сверхзвуковых струй можно сформулировать как задачу генерации "антиволн", находящихся в противофазе с наиболее опасными (с точки зрения акустики) волнами неустойчивости, естественно возникающими и развивающимися от кромки вниз по потоку. Именно идея управления малой (а не всей) частью турбулентности, в случае решения проблемы измери-телей-актюаторов, делает такой подход привлекательным и, по-видимому, реализуемым [5, 6]. Представляется, что в настоящий момент основная проблема активного управления состоит в разработке подходящей элементной базы для создания антиволны (плазменные актюаторы, пье-зодатчики и т.д.) и развитии методов экспериментального выделения в ближнем поле той малой части турбулентности, которая соответствует волне неустойчивости (измерение с помощью антенн, решеток микрофонов и т.д. в реальном времени). При этом было бы желательно выделять волну неустойчивости и создавать антиволну с помощью датчиков, располагаемых в области вне
371
3*
Рис. 1. Двумерная модель кромки сопла.
основного потока, например, располагая их вблизи поверхности сопла на внешней его стороне. Это гарантировало бы невмешательство в естественные процессы в струе, и означало лишь их тонкую настройку с помощью внешних возбудителей. Для принципиальной реализуемости такого подхода необходимо ответить на следующий вопрос - можно ли подобрать внешнее возмущение так, чтобы погасить волну неустойчивости и если можно, то какие должны быть характеристики управляющего поля Ответу на этот вопрос в простейшей двумерной постановке, когда управляющее поле имеет вид плоской звуковой волны, посвящена настоящая работа.
Задача решается для идеального газа в линейном приближении. Рассматривается известное решение о дифракции акустической волны на жесткой полуплоскости, разделяющей покоящуюся среду и однородный стационарный поток (двумерная модель кромки сопла). Задачи такого типа обычно исследуются методом Винера-Хопфа [7]. Применительно к задачам о взаимодействии звука с тангенциальным разрывом этот метод использовался во многих работах: в [8, 9] решена двумерная задача о дифракции поля точечного источника на полуплоскости, в [10, 11] исследована задача дифракции акустических волн на осе-симметричной струе. Отметим также альтернативный подход в задаче о возбуждении волны неустойчивости при дифракции звука на щели, развитый в работах [12, 13], не использующий технику метода Винера-Хопфа. Учет упругих свойств пластины в подобных задачах может приводить к дополнительным эффектам [14, 15].
Предполагается, что исходная волна неустойчивости создается плоской волной, падающей под заданным углом к полуплоскости из области движущейся среды и имеющей заданную амплитуду и фазу. В качестве управления рассматривается другая волна неустойчивости, создаваемая плоской волной, падающей из покоящейся среды на полуплоскость. Характеристики управляющей волны подлежат определению из условия максимального гашения амплитуды суммарной волны
неустойчивости. Пусть (х, у) - декартова система координат. В области I (у > 0) газ покоится, а в области II (у < 0) имеется однородный поток того же газа со скоростью У0, направленной вдоль оси х. Области I и II разделены твердой пластинкой, занимающей полуплоскость у = 0, х < 0, и вихревой пеленой при у = 0, х > 0. Газ предполагается невязким, скорость звука одинакова во всем пространстве и равна с. Пусть также возмущения малы, так что движение газа можно считать потенциальным, и зависят от времени как ехр(-;'кс0, где волновое число к действительно и положительно.
Пусть из области II падает на границу раздела у = 0 плоская гармоническая волна, нормаль к фронту которой составляет угол 6;2 с осью х (рис. 1). Ее потенциал скорости задается выражением
ф;2 = Ьехр(- гксг - гу
к 008 6;
- М0086,
- х +
к 8Ш 6; 2
+ г -——-— у
(1)
1 - М 008 6
;2
В областях I и II потенциал скорости удовлетворяет следующим уравнениям
Аф; + к ф 1 =0, у > 0
( д Л 2
Афп- (Мдд-- 1к \ фп = 0, у < 0
(2)
(3)
где А = д2/дх2 + д2/дх2 - двумерный оператор Лапласа, М = У0/с - число Маха.
На линии у = 0 должны выполняться условия равенства давления р (для краткости за р мы обозначаем отношение давления к средней плотности среды) и смещения частиц газа Н:
дфт дф1
= -гксН, ---—■ = -гксН, ду ду
дФп , , dН
-■-— = - гксН + У 0-- , д у ах
Н = 0, х < 0;
(4)
Р = Р1- Р2 = - гкс(ф1- фп) - Ус р = 0, х > 0.
дф-1
дх ' (5)
Кроме того, должно выполняться условие излучения: (I) при у —► возмущения, вызванные падающей на границу раздела сред волной, должны убывать в каждый фиксированный момент времени, (II) возмущения должны создаваться источниками, расположенными на границе раздела у = 0 (причинность).
(а)
1т а
(б) 1т а
-у* % 2 Яе а Я
Рис. 2. Разрезы и полосы регулярности функций в комплексной плоскости а; а - М < 1; б - М > 1.
Решение будем искать в виде фх = ф1 при у > 0, Фп = ф;2 + ф2 при у < 0,
(6) (7)
гт + ^
ф(х, у) = — Г Фехр(-гах)йа. 2п J
(9)
Заметим также, что Ф(а, у) можно представить в виде Ф(а, у) = Ф- + Ф+, где
Ф.
= |ф ехр (г ах) йх, Ф+ = |ф ехр (г ах )йх (10)
- функции, регулярные при т < т+ и т- < т соответственно. Следуя [16], будем называть такие функции "-"-функциями и "+"-функциями.
Применяя к уравнениям (4), (5) с учетом (6), (7) преобразование Фурье, найдем, что фурье-обра-
зами функций фг2, ф1, ф2 будут соответственно функции
где ф1, ф2 - искомые возмущения; для удобства в (7) явно выделено падающее поле в области II.
Хотя в дальнейшем будет использоваться плоская волна в качестве источника возбуждения фг2, запишем это поле в общем виде ф2 = А*(х, у)ехр(-гкс£). Временной множитель далее будем опускать. Подобные задачи с неоднородными граничными условиями эффективно решаются с помощью метода Винера-Хопфа [7]. Введем в рассмотрение преобразование Фурье
Ф(а, у) = |ф ехр (г ах) йх, а = а + г т. (8)
При определенных условиях [7] формула (8) определяет аналитическую функцию Ф(а, у) от а, регулярную в полосе т- < т < т+ (т.е. однозначную и дифференцируемую в каждой точке полосы), причем при любом т таком, что т- < т < т+, имеет место
Ф;2 = А(а) ехр (-ру), Ф! = Р (а) ехр (-уу), Ф2 = е(а) ехр (ру),
(11)
где
у = 7а2- к2, Р = аХа-а2),
- к _ к а, = - —, а2 = — —.
1 1 - М 1 + М
Ветви функций у и Р выбираются в соответствии с условием излучения. Для комплексных к = к1 + гк2 (кх > 0) это условие, при выбранных знаках в показателях экспонент в (11), эквивалентно выполнению неравенств к2 > 0, Иеу > 0, Яе Р > 0. Случай действительных к рассматривается как предел к2 —► +0.
Разрезы для функций у и Р в комплексной а-плоскости проведем так, чтобы на оси Яе а выполнялось условие излучения. Нам будет удобно проводить разрезы вдоль прямой, проходящей через точки к и -к (рис. 2). При этом для дозвукового и сверхзвукового потоков картинки принципиально различны из-за того, что точка ветвления а1 функции Р переходит из верхней полуплоскости в нижнюю, когда поток становится сверхзвуковым. Заметим, что при М < 1 Р = Р+
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.