Автоматика и телемеханика, Л- 4, 2007
PACS 02.30.Yy
© 2007 г. В.П. ЛЯМПЕ, доктор-инженер (Университет Росток, ФРГ), E.H. РОЗЕНВАССЕР, д-р техн. наук (Государственный морской технический университет, Санкт-Петербург)
УПРАВЛЯЕМОСТЬ И НАБЛЮДАЕМОСТЬ ДИСКРЕТНЫХ МОДЕЛЕЙ НЕПРЕРЫВНЫХ ПРОЦЕССОВ С ЭКСТРАПОЛЯТОРАМП ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ И ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
1. Введение
Рассматривается задача построения минимальных реализаций в пространстве состояний для дискретных моделей непрерывных процессов с обобщенными экс-траполяторами высших порядков и многими запаздываниями. Показано, что метод перехода в пространство состояний, традиционно используемый в литературе, не всегда приводит к реализации минимальной размерности. Приводятся необходимые и достаточные условия минимальности реализации, получаемой традиционным методом. и дается общий способ построения реализации минимальной размерности при невыполнении этих условий.
2. Дискретная модель процесса
2.1. В статье рассматриваются непрерывные процессы, описываемые уравнениями состояния
(1) ^Хг = Ах{1) + и ^
и уравнением выхода
(2) у{г) = Сх{г),
где х{1), у {г), и (£) - вектор ы р х 1, п х 1, р х 1; А, С - постоянные матрицы соответствующих размеров.
2.2. Вектор и {г) определяется соотношением
(3) U(t) = j2 Biui(t - Ti),
i=0
где ц - неотрицательное целое число. Здесь ^ — постоянные матрицы р х ш, Щ{г) -векторы ш х 1 вида
(4) и1{г) = г - кт)и— кт <г < {к + 1)т,
где Т > 0 - период квантования, ^ {г) - матрица ш х £, ич {д = 0,1,...) - векторы £ х 1, определяющие дискретную векторную управляющую последовательность.
Относительно матриц предполагается, что их элементы определены на интервале 0 <Ь<Ти имеют на этом интервале ограниченную вариацию. Кроме того, в (3) т > 0 - вещественные постоянные, для которых используется представление [1]
(5) т = (й - 1)Т + в, (г = 0,...,ц),
где > 1 - целое число, 0 < вг < Т.
В соответствии с существующей терминологией [2 7] уравнения (3), (4) описывают обобщенный экстраполятор порядка ^ с запаздыванием. 2.3. Интегрируя уравнение (1), имеем с учетом (3), (4)
м £
х(Ь) = еА(£-кТ)хк + £ / еА(—)БМ(\ - п)ЗХ
А_П ^
где обозначено хк = х(кТ). Полагая здесь Ь = (к + 1)Т, получим
м (к+1)Т
(6) Хк+1 = еАТхк + £ / еА(кТ+Т-Х)Б,П,(Х - п)й\.
_п V
т ( ( Ъ(г - кТ + Т - в>)пк-ь -г, кТ <г <кТ + вг,
иг( П) = \ Н{(г - кТ - вг)пк-ъ-г+1, кТ + в, <1 < (к + 1)Т,
Поскольку из (4) и (5) следует
Ьц(1 - кТ + Т - вг)пк-ь -г, кТ<Ь<кТ + в,
то после преобразований соотношение (6) можно представить в виде
м м
(7) Хк+1 = еАТ Хк + + ик-^-г+1,
г=0 г=0
где Гда, Г,1 — постоянные матрицы р х £ вида
Т
Г,о = еА(Т+^ I е-мБМ№,
(8) *
и
Г<1 = I е-МБМЬ)М.
о
В (8) использовано обозначение
Ъ = Т - в,, 0 <Ъ < Т.
2.4. Пусть
тах Ы* + О = р. 0<г<м
Тогда, объединяя в правой части (7) слагаемые, соответствующие одинаковым индексам, с учетом (2) можно прийти к разностным уравнениям вида
Хк+1 = еАТХк Взик-р+з,
(9) з=о
Ук = СХк,
где использовано обозначение Ук = у(кТ) и Вз - известные постоянные матрицы рх£. Ниже совокупность уравнений (9) будем называть дискретной моделью объекта
(1) (4).
3. Традиционный переход в пространство состояний. Постановка задачи
3.1. Традиционно применяемый в литературе (см.. например. [1. 6 10]) способ перехода от дискретной модели (9) в пространство состояний заключается в следу-
£х 1
П1,к = ик-р, П2,к = ик-р+1, . .., Пр,к = ик-1, а также расширенный вектор состояния р х р£
(10) Х'к = [хк П1 к ... п'р ,к У,
где штрих оператор транспонирования. Тогда уравнения дискретной модели (9) можно записать в виде уравнений состояния
(Н)
Хк+1 = Ах к + Вик у к = СХк,
где А, В, С - постоянные матрицы размеров {р+р£) х {р+р£), {р+р£) х£ипх {р+р£). Матрица А может быть записана в блочном виде
(12)
где
А =
е
р р£ АТ В
0
р£
р р£
£ £
(13) Б =[ Б, п. кроме того
(14)
р£
0 Б1 . .. Бр- -1 ] р
£ £ £ £ £
0 I 0 .. .0 0 £
0 0 I .. .0 0 £
0 0 0 .. .0 I £
0 0 0 .. .0 0 £
матрица р£ х р£. В (12), (14) и далее 0 и I — нулевая и единичная матрицы, размеры которых определяются из контекста. Кроме того, в (11)
(15)
С =\ С 0 ]
Вх =
£
Б, 0 I
р
{р - 1)£ .
£
В (12) (15) буквы вне матрицы указывают размеры соответствующих блоков.
Далее систему уравнений (11) будем называть системой БСовокупность матриц А, В, (С будем называть реализацией дискретной модели (9).
3.2. Техника перехода от дискретной модели (9) к системе Б^ весьма проста. По-видимому, этим объясняется широкое применение такого подхода для описания и исследования импульсных систем с запаздыванием и экстраполяторами высших
порядков [1. 6 10]. В связи с этим актуальным является вопрос о том. в каком случае система является минимальной, т.е. вектор Хси (10) имеет минимально возможную размерность. В статье дается общее решение этого вопроса и приводятся необходимые и достаточные условия для того, чтобы пара А, В была управляемой, а пара А,С - наблюдаемой. В этом случае размерность вектора (10) минимальная. Кроме того дается общий способ построения реализации минимальной размерности в том случае, когда размерность вектора С не является минимальной. Следует отметить, что ранее в [10] другим методом рассматривался близкий круг вопросов для случая скалярного экстраполятора первого порядка без запаздывания.
Статья организована следующим образом. В разделе 4 формулируются без доказательств основные результаты работы. В разделе 5 рассматривается пример из [8]. Все доказательства, а также ряд вспомогательных результатов приводятся в Приложении.
4. Основные результаты
4.1. Для формулировки основных результатов статьи введем вспомогательные обозначения. Введем в рассмотрение постоянные матрицы p х i
т
(16) Г =У e-AtBihi(t)dt (i = 1,...,р),
о
а также постоянную матрицу
(17) Hd = £
i=0
4.2. Теорема 1. Для того чтобы пара A,B была управляемой, необходимо и достаточно, чтобы пара eAT, Hd была управляемой.
Доказательство теоремы 1 и последующих утверждений дано в Приложении.
4.3. Теорема 2. Для того, чтобы пара A,C была наблюдаемой, необходимо и достаточно выполнения следующих условий-.
1. Пара eAT, C - наблюдаема.
2. Выполнено условие
(18) rank Ce-AT D0 = i.
4.4. Теорема 3. Пусть хотя бы одно из условий теорем. 1 и 2 не выполняется. Тогда вектор (10) не имеет минимально возможной размерности. При этом .ммнилшльная реализация дискретной модели (9) в пространстве состояний может быть построена как .ммнилшльная реализация строго правильной рацио-нал ь 1 ю й м а тр и ц ы
(19) Wf (z) = z-pC (zI - eAT)-1 £Djzj.
j=0
Далее матрицу (19) будем называть z-передаточной матрицей дискретной модели (9).
5. Пример
5.1. Рассмотрим пример, связанный с дискретным управлением смесительным баком при наличии запаздывания во времени на один период квантования [8]. Процесс описывается уравнениями
(20)
¿х{г) ¿г
= Ах {г) + ВоЩ{г) + В1Щ{г), у{г) = Сх{г),
где х{г), и1{г), у {г) - векторы 2 х 2. Кроме того
(21)
А=
«1 0 0 а2
Во =
а а 0 0
В-, =
0 0
с Ь
С = I,
где а1, а2, а, С Ь — вещественные постоянные, причем а1 = с = Ь, а = 0. Векторы и0 { г) и1 { г)
(22)
ио{г) = ик, кт <г< {к + 1)Т, и1{г) = ик-1, кт<г< {к + 1)т.
п = ш = р =
= £ = 2, то = т = 0 М = 1- Кроме то го, р = 1 и ко{г) = И,1{г) = 1. Вычисление матриц Г^ по формулам (8) дает
(23)
Гоо = 0, Г10 = 0,
и из (16) следует
(24) Го = Г01,
В данном случае
Г01 = А-1{еАТ - I)Во Гц = А-1{еАТ - I)В1
Г1 =Г11.
(25)
еАТ =
еагТ
еа2Т
А-1{е -1) =
еа1Т - 1 а\
аТ - 1
а2
5.2. С помощью проведенных вычислений уравнение (7) примет вид хк+1 = еАТ хк + Гоик + Г 1ик-1.
Поэтому уравнения соответствующей дискретной модели (9) можно записать в форме
(26) хк+1 = еАТ хк + Боик-1 + Б1 ик, ук = хк,
Бо =
0 0
Ч2С Я2Ь
Бл =
д1а д1а 0 0
41
еа1Т - 1
,
а1
42
аТ - 1
а2
0
0
0
0
5.3. Ib (26). (27) и (12) (15) находим eaiT 0 0 0
(28)
А =
0 ea2T q2c q2 b 0 0 0 0 0 0 0 0
(29)
C =
10 0 0 0 10 0
B' =
qi a 0 10 qi a 0 0 1
При этом размерность вектора хи (10) равна четырем.
5.4. Для решения вопроса об управляемости пары А, 13 на основе теоремы 1 вычислим матрицу Н
Используя (17) и (24) имеем
Hd
Го + e-ATГ1
qia
e-a2Tq2c e
qia -a>T q2 b
Поскольку b = с и det Hd = q1q2e-a2Ta(b — c) = 0 то парa eAT,Hd управляема и, следовательно, пара А, 13 управляема.
5.5. Очевидно, что в данном примере пара eAT, C = I управляема. В то же время имеем
Ce-AT Do
0
e-a2Tq2c e
0
-a*T q2b
и следовательно
(30) rank Ce-AT D0 = 1 <i = 2.
Поэтому в силу теоремы 2 пара A, C не является наблюдаемой.
6. Из (30) следует, что реализация (28), (29) не является минимальной. Для построения минимальной реализации воспользуемся теоремой 3. В данном случае ^-передаточная матрица (19) имеет вид
где
Wf (z) =
Lf (z)
Lf (z) A(z) :
zqia (z — ea2T) zqia (z — e°2T)
q2c (z — eaiT) q2b (z — eaiT)
A(z) = z(z — e°iT) (z — ea2T) .
ма
ОЯИ]
Wf (z) = Cf (zl — Af )-iBf,
Поскольку все корпи полинома Д(-г) - простые, то, используя известный способ перехода в пространство состояний [11, 12], можно получить, что
Af
Cf
eaiT 0
0 ea2T
0 0
1 0 0 "
0 1 1
B'f
qia q2e a2Tc q2e a2Tc
qia q2e
-(У-2 T b
q2e
-a.2T b
Представлению (31) соответствуют уравнения состояния
х^к+1 = А{ х{,к + В} ик, ук = С{ х^к,
в которых размерность вектора состояния х^ук равна 3. При этом пара Af ,Bf -управляемая, а пара Af ,С$ - наблюдаемая.
6. Заключение
В статье проанализирован традиционно используемый в литературе способ построения реализации в пространстве состояний для дискретной модели непрерывного процесса с обобщенными экстраполяторами высшего порядка и многими запаздываниями. Даны необходимые и достаточные условия минимальности такой реализации. Приводится общий способ построения минимальной реализации для случая, когда эти условия не выполняются.
ПРИЛОЖЕНИЕ
1. Вспомогательные сведения о полиномиальных и рациональных матрицах
1.1. Латентные корни
1. Пусть имеем полиномиальную матрицу L(A) размер a n х т, нормальный ранг которой равен а. Тогда число А, для которого
(П.1) rank Ь(А) <а,
будем называть, следуя [13], латентным корнем матрицы L(A). Матрицу, не имеющ
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.