мкнутый интервал в пространстве Я". Наименьшую по включению внешнюю оценку назовем точной внешней оценкой множества Х(Ы, и). Зафиксируем произвольное управление и, начальное состояние х(0) е Х0 и допустимые матрицы А(0, £(0. Применяя итерации к системе (1.1), получим
х(N, u) = F(0)х(0) + I F(t +1)B(t)u(t), (2.1)
t = 0
где F(t) - решение однородного матричного уравнения
АЩЕПКОВ где
F (t) = F (t +1 )A (t), t = N - 1, N -2, 0, F (N) = E,
E e Rn x n - единичная матрица. Положим
C(t) = F(t +1 )B(t), t = 0, 1, N-1,
C = (C(0), C(1),..., C(N-1)), d = F (0) х( 0).
Тогда (2.1) примет вид
х(N, u) = Cu + d.
(2.2)
(2.3)
(2.4)
(2.5)
u,j < uij <
Yik < Y< v,,
i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n, то в результате получим
k = 1, 2
, Р,
Wik < wik < Wik,
i = 1, 2,
m,
k = 1, 2, ..., p, (2.6)
Wik = min
U e U, V e V
j = 1
uijvjk =
(2.7)
Imin{uyYjb uijvjk, uj¥jb uiJVJk},
j = 1
Wik =
max
U e U, V e V
I uijvjk =
j = 1
(2.8)
Imax{uy-Yj-b uijVjb uijYjb UiJVJk},
j = 1
Оценки (2.6)-(2.8) точные: для каждой пары индексов /, к найдутся матрицы и, V из интервалов и, V, на которых верхние или нижние оценки достигаются. Формулам (2.6)-(2.8) удобно придать символический операторный вид
W = minUV < UV < max UV = W,
U, V
(2.9)
Построим точную внешнюю оценку множества Х(Ы, и). В представлении этого множества участвуют произведения Е(^ + 1)4(0, Е(^ + 1)£(0, Е(0)х(0) интервальнозначных матриц (см. (2.2)- (2.4)). Чтобы построить их точные двухсторонние оценки, удобно предварительно точно оценить произведение Ж = UV матриц и, V со значениями
из произвольных интервалов и = [и, и ] с Ят х ",
V = [V, V ] с Я" хр и затем конкретизировать полученные результаты для рассматриваемых случаев. Для этого обозначим через и^, 1 соответствующие элементы матриц и, V, Ж. Элементы матриц и, V, Ж и и, V, Ж будем выделять аналогично с нижней и верхней чертами. Вычислим
точные границы изменения элементов
"
^к = X
1 = 1
матрицы Ж на интервалах и, V. Поскольку переменные иу, 1 независимо принимают значения в интервалах
где минимизация и максимизация производятся по всем матрицам ие и, V е V. Операцию (2.9) будем называть процедурой точного оценивания произведения двух интервальнозначных матриц и, V.
Применяя данную процедуру, легко найти точные оценки решения Е(0 уравнения (2.2). Действительно, запишем первые условия (1.2) в виде
A0(t) - AA(t) = A(t) < A(t) < A(t) = = A0(t) - AA(t), t = 0, 1,., N -1
(2.10)
и воспользуемся методом математической индукции. При t = N из начальных условий (2.2) имеем
точные оценки E = F(N) < F(N) < F (N) = E. Пусть
точные оценки F(s) < F(s) < F (s) на шаге 0 < s < N уже установлены и оба интервала
F(s) = [F(s), F(s)]
A(s -1) = [A(s -1), A(s -1)]
известны. Полагая в процедуре оценивания (2.9) U=F(s), V=A(s - 1), U = F(s), V = A(S - 1), находим точные оценки
min F (s) A (s -1 ) = F (s -1 )< F (s -1) =
F(s), A(s-1)
= F(s) A (s -1 )< F(s -1 )= max F( s)A (s -1)
F(s), A(s-1).
Приведенные выше рассуждения обобщает следующее утверждение.
Л е м м а 1. Пусть допустимые матрицы A(t) независимы. Тогда решение F(t) дискретного уравнения (2.2) имеет точные оценки
F (t )< F (t )< F (t), t = 0, 1,
N,
(2.11)
n
n
N -1
n
n
где матрицы
Здесь
F( t) = min F( t +1) A (t),
F(t +1), A(t)
t = N - 1, N -2, 0, F (N) = E, F (t) = max F (t +1) A (t),
F(t +1), A(t)
t = N - 1, N -2, 0, F (N) = E,
(2.12)
(2.13)
последовательно вычисляются с помощью процедуры оценивания (2.9) на интервалах
Г( X +1) = Е( X +1), Р( X +1), А ( X) = [ А( X) ,А ( X )] X = 0,1,...Д - 1.
Следствие 1. Если интервалы (1.2), (1.3) вырожденные, то интервалы (2.11) тоже вырожденные.
Следствие 2. Если А(Х) > 0, X = 0, 1, ..., N - 1, то матрицы (2.12), (2.13) удовлетворяют уравнениям
(2.14)
(2.15)
F (t) = F (t +1) A (t), t = N - 1, N -2, 0, F (N) = E,
F (t) = F (t +1) A (t), t = N - 1, N -2, 0, F (N) = E,
Для уравнения (2.2) с постоянной неопределенной матрицей коэффициентов предположение леммы 1 не выполняется. Анализ ее доказательства в этом случае приводит к таким выводам.
Замечание 1. Если допустимая матрица A(t) не зависит от t, то оценка (2.12), вообще говоря, не точная.
Замечание 2. Если допустимая матрица A(t) = A и границы интервала A < A < A не зависят от t, то при дополнительном условии A > 0 оценка (2.12) точная.
В предположении независимости допустимых матриц A(t), B(t) с помощью леммы 1 и процедуры оценивания (2.9) устанавливаются точные оценки матрицы C и вектора d, заданных в виде (2.3), (2.4). Поскольку здесь имеется полная аналогия с описанным выше случаем, приведем сразу конечные результаты
(C (0), C (1),..., C (N -1 ))< C < <( C (0), C( 1),..., C (N -1)), .
min F(t +1) B (t) = C(t )< C (t)< C(t) =
F(t + 1), B(t)
= max F (t +1) B (t), t = 0, 1, ..., N - 1,
F(t + 1), B(t)
min F(0) x (0 ) = d < d < d =
F(0), X 0
= max F(0) x (0).
(2.17)
F( 0), X
0
В(X) = [В(X), В(X)] = = [ Во( X) - А В (X), Во (X) + А В (X)],
Х0 = [х°, х°] = [х0 - Ах0, х0 + Ах0].
Замечание 3. Если матрицы А, В и границы интервалов А < А < А , В < В < В постоянные, то при дополнительном условии А > 0 оценки (2.16), (2.17) точные.
Определим центры С0, ё0 и радиусы АС, АЛ интервалов (2.16), (2.17), представив их в симметричной форме
\С - С 0 < А С, Л - Л0\ < АЛ, Со = (Со(0), Со( 1), Со(N-1)), (2.18) АС = (А С (0), А С (1), АС^ - 1)), и по аналогии с (2.5) зададим функцию
х0(N, и) = С0и + Л0. (2.19)
Тогда из (2.5), (2.19) с использованием (2.18) найдем точную оценку фазового состояния х(Д и)
|х(N, и) - х0(N, и) = = |(С - С0)и + (Л - Л0) < АС|и + АЛ.
Следовательно, в качестве точной внешней оценки множества Х(Д и) можно взять брус
Р (и) = { х е Я" : |х - х0( N и ) < АС|и| + А Л } .(2.20)
Лемма 2. Если все допустимые матрицы (1.2) независимы, то точной внешней оценкой множества Х(^ и) служит интервал (2.20), параметры которого вычисляются с помощью формул (2.16)-(2.19).
3. Критерии управляемости. Пусть £ - произвольный неотрицательный вектор из Я" и
Х^£ = {х е Я" : |х - х^ <Ах1^ + £} (3.1)
- замкнутая окрестность бруса Хы. С учетом леммы 2 включение Р(и) с Хм £ имеет место тогда и только тогда, когда справедливы неравенства
х0( N, и) + А С|и| + А Л < xN + А xN + £,
- х0( N, и) + АС|и| + А Л < - xN + А xN + £ или в равносильной форме
|х0 (N и) - х! + А Си - £ < А х1Я - А Л. (3.2)
Подберем управление u так, чтобы условие P(u) с XN, е выполнялось для вектора £ > 0 с минимальной нормой
n
||£ = е ' £ = . (3.3)
j = i
Здесь е' = (1, 1, ..., 1) - вектор из Rn, штрих -знак транспонирования, e'£ - скалярное произведение векторов e, £. Используя (2.20), (3.2), (3.3) запишем последнее требование в виде задачи нелинейного программирования
е'£ —min,
|c0u + d0- xN\ + AC|u| - £< (3.4)
<AxN - Ad, £> 0
с неизвестными u, £. Покажем, что она тесно связана с сопутствующей задачей линейного программирования
е ' £—► min, v + A Cw - £<A xN - A d,
-v < C{)u + d0 - xN < v, (3 5)
-w < u < w, £ > 0
с неизвестными u, v, w, £.
Лемма 3. Множество D1 с RrN + n планов (u, £) задачи нелинейного программирования (3.4) есть ортогональная проекция множества D2 с с R2(rN+ n) планов (u, v, w, £) сопутствующей задачи линейного программирования (3.5).
В самом деле, если (u, £) e D1, то при v = |C0u + + d0 - xN|, w = |u| имеем (u, v, w, £) e D2. Обратно, из предположения (u, v, w, £) e D2 в силу условий (3.5) следует
v + ACw - £ < j C0u + d0 - xN| +
+ A C|u| - £ < A xN - Ad, £> 0,
т.е. (u, £) e D1.
Лемма 4. Оптимальный план (u*, v*, w*, £*) сопутствующей задачи (3.5) существует, и пара (u*, £*) есть решение задачи (3.4).
Действительно, задача (3.5) имеет [9] хотя бы один оптимальный план (u*, v*, w*, £*), поскольку ее ограничения совместны и линейная форма на множестве планов ограничена снизу нулем. По лемме 3 пара (u*, £*) будет планом задачи (3.4). Допустим, план (u*, £*) не оптимален, т.е. существует другой план (u, £) задачи (3.4), для которого e' £ < e'£* Тогда по лемме 3 паре ( u, £ ) будет соответствовать план (u, v, w, £) задачи (3.5) с лучшим значением e' £ < e'£* линейной формы, что противоречит оптимальности плана (u*, v*, w*, £*). Подведем итоги.
Теорема 1. Пусть неопределенные коэффициенты (1.2) системы (1.1) независимы. Для ее управляемости необходимо и достаточно, чтобы разрешимая задача линейного программирования (3.5) имела оптимальный план (и*, V*, w*, £*) с £* = 0. Если £* Ф 0, то управление и* переводит пучок траекторий системы из Х0 в минимальную окрестность Х1.
В заключение остановимся на вопросе об управляемости дискретной системы
х (г +1) = Ах( г) + Ви( г),
г = 0, 1, ..., N - 1 .
с постоянными коэффициентами
А < А < А, В < в < В. (3.7)
В данном случае решением уравнения (2.2) будет матрица ^(г) = А1- г, и формула (2.1) примет вид
N-1
х(1, и) = А1х(0) + ^ А1 -гВи(г). (3.8)
г = 0
Предположим А > 0. Тогда на основании леммы 1, следствия 2 и замечаний 2, 3 имеем точные оценки коэффициентов и слагаемых формулы (3.8)
А11 -г-1 < а1 -г< А1 -г-1, г = 0,1,..., N-1,
А1х0 = 4 < 4 < 4 = А1х0, (3.9)
А1 - г-1 В = С (г) < С (г) < С (г) = А1 - г-1 В,
г = 0,1,..., 1 - 1.
Следовательно, в обозначениях (2.19), (3.9) точная внешняя оценка множества Х(1, и) запишется в виде (2.20). Отсюда по аналогии с доказательством теоремы 1 устанавливаем следующий результат.
Теорема 2. Пусть для системы (3.6) с постоянными коэффициентами (3.7) выполнено дополнительное условие А > 0 и исходные данные задачи линейного программирования (3.5) соответствуют (2.18), (2.19), (3.9). Тогда верно утверждение теоремы 1.
4. Достаточные условия управляемости. Приведем более простую в вычислительном отношении внешнюю оценку множества Х(1, и). По аналогии с (2.3), (2.4) определим матрицы
^0 (г) = ^0 (г +1) А0 (г), г = 1 -1,1 -2, ..., 0, 1) = Е, .
С(г) = ^0(г +1)В0(г), г = 0,1,..., 1 - 1, (4.2) С = (С(0), С(1),..., С,( 1 -1)),
0 0 0 0 0 (4.3)
40 = ^ (0) х .
(4.4)
Следуя методу Мура [10], построим сначала двухсторонние оценки решения дискретного уравнения (2.2). Аналог оценок в непрерывном времени приведен в [11]. Основным результатом
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.