МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 4 • 2014
УДК 532.526
© 2014 г. С. В. МАНУЙЛОВИЧ
УПРОЩЕННАЯ СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ДЛЯ РАСЧЕТА УСТОЙЧИВОСТИ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ НА СТРЕЛОВИДНОМ КРЫЛЕ
Предложена композитная система уравнений для расчета характеристик устойчивости сжимаемого течения в трехмерном пограничном слое. Сравнение с расчетами по полной системе уравнений показывает, что предлагаемая система практически точно предсказывает скорости нарастания как моды Толлмина—Шлихтинга, так и моды неустойчивости поперечного течения в широком диапазоне частот и поперечных волновых чисел при умеренных значениях числа Маха. При этом время расчета снижается на порядок.
Ключевые слова: сжимаемый пространственный пограничный слой, неустойчивость Толлмина—Шлихтинга, неустойчивость поперечного течения.
Определение положения линии, разграничивающей области ламинарного и турбулентного движения газа в пограничном слое — важная задача аэродинамики: знание местоположения ламинарно-турбулентного перехода необходимо для точного расчета аэродинамических характеристик летательного аппарата. В настоящее время считается общепризнанным, что ламинарно-турбулентный переход в пограничном слое на хорошо обтекаемом теле инициируется собственными колебаниями течения — модами неустойчивости. Возбуждаясь внешними воздействиями на продольных неодно-родностях пограничного слоя и распространяясь вниз по потоку, эти моды усиливаются и (по достижении некоторого порогового значения) инициируют нелинейные процессы, приводящие к разрушению ламинарного течения.
Многочисленные эксперименты показали, что область нелинейных процессов, предшествующих турбулизации течения, имеет малую протяженность по сравнению с областью линейной эволюции неустойчивых мод. На этой основе в [1] был предложен инженерный метод расчета точки перехода — е^-метод. В настоящее время этот метод широко используется и в научных исследованиях, и в аэродинамическом проектировании. Различные варианты метода подробно описаны в [2]. Все модификации ем-ме-тода основаны на анализе кривых нарастания неустойчивых возмущений. Построение этих кривых в общем случае требует решения задачи на собственные значения для системы линейных дифференциальных уравнений 8-го порядка. Несмотря на громоздкость этой краевой задачи расчет ее решения в научных целях не представляет затруднений.
При решении же технических проблем, например, при проектировании ламинари-зированных крыльев, приходится производить многократные параметрические расчеты упомянутой задачи, что требует значительного времени даже с учетом современных вычислительных средств. В связи с этим представляется актуальным упрощение классической задачи устойчивости, которое позволило бы существенно уменьшить время расчета при незначительном изменении его точности. Этой цели посвящена данная работа.
1. Система Лиза—Линя. Сформулируем классическую задачу устойчивости течения в пограничном слое на стреловидном крыле. Будем предполагать, что крыло обтекает-
ся равномерным потоком совершенного газа с отношением удельных теплоемкостеи к = с °/с°. Введем декартову прямоугольную систему координат с началом в некоторой точке О на поверхности крыла, ось у° направим перпендикулярно стенке, а оси х° и 1° — вдоль хорды и образующей крыла соответственно (кружками помечаем размерные величины). В качестве основных единиц измерения будем использовать плотность набегающего потока р° , его скорость и температуру Т°, а также характерную толщину пограничного слоя 8°. Зависимость коэффициента динамической вязкости от температуры будем аппроксимировать формулой Сазерленда
ц = = , в = 110 °к
Но
Т + & Т° к
Число Маха набегающего потока обозначим М. Число Рейнольдса Я = будем предполагать достаточно большим, чтобы к количественному описанию невозмущенного течения в окрестности точки О было применимо приближение пограничного слоя. Будем считать, что число Прандтля Рг = / не зависит от температуры — коэффициент теплопроводности газа в набегающем потоке).
Обозначим посредством е ?(?, х, у, ¿) возмущения компонент вектора скорости, давления, температуры (соответственно, д = и, и, и>, р, т); здесь ? — время, е < 1 — амплитуда возмущения. Теория устойчивости изучает эволюцию элементарных возмущений (мод) вида
д = д*(у) ехр(гах + гуг - гШ) + с.с.
В классической постановке задачи устойчивости пренебрегается малой величиной вертикальной компоненты скорости невозмущенного течения, а также слабой зависимостью остальных параметров потока от х (плоскопараллельное приближение). В этих предположениях функции д* удовлетворяют линейной системе
В * + кМ- Ур* - 1 (Ут * + —V *] = 0 (1.1)
ЯеТе' ТУ йу )
^(Уи* + —V*] + гар* = 1 \ ц Т У йу ) ЯI
й и * 2 2 1 --(а + у ) и* + - га Б *
■ йу2 3
+
(1.2)
+ йцйТ(йи* + г-ау*] + йцйС-йт* + (йцй2и + й2цйТйСЛ * йТйуУ йу
йТйуйу уйТйу2 йТ йу йу)
^е£ееУу* + = I ] Т йу ЯI
й V* ^ 2 2. * 1 йБ* -- - (а + у )у* + - —
. йу 3 йу .
+
(1.3)
2 й ц йТ(~ йу * - I —--I
+ I г—--гаи* - гуw*) + ^Н^-т*
3 йТйу1 йу ) йТйу
ц
Ы* (+ ^У *) + /ур * = 1 ||
/ Ж * г 2 2Ч * 1 .
—— - (а + у ) ж* + - гу В *
/у
+ /-д/Т(йж* + I у*) + йЖй-х* + (/-д/ Ж + й- |д/Т/№\х* /Т/у V йу / /Т/у йу ^/Т/у2 /Т ¿у/у /
(1.4)
Ы Vут * + — у*) - (к - 1) М2 Ур* = — <| Т V /у ; РгЯ I
Г/1 - (а2 + у2)т* -/у -
+
+ тйнйТйт5" + /Т/у /у
//| й2Т + ¿з-21| (¿з- Т)2п
/Т/у2 йТ V /У^
т * У +
(1.5)
(к -1)М2 к /и(/и* . Л 0 /Ж(/ж* . *
+ ---— <1 2 н — -+ гау* + 21 — -+ г уу*
Я I ^/у V /у / ^ /у V /у '
/--[а -Т
/и)2 + (^
//у-) V //у
Здесь и (у), Ж (у) и Т(у) — профили продольной, трансверсальной компонент скорости и температуры невозмущенного течения в точке O; Яе и Те — величины плотности и температуры на внешней границе пограничного слоя. Для сокращения записи в системе также использованы обозначения
V = /а и + /у Ж - гю, В* = га и* + ^ + /уж*
/у
Уравнение (1.1) получается из линеаризованных уравнений неразрывности и состояния путем исключения комплексной амплитуды возмущения плотности. Уравнения (1.2)—(1.4) — линеаризованные уравнения Навье—Стокса, выписанные в плоскопараллельном приближении; (1.5) — линеаризованное уравнение энергии.
Систему (1.1)—(1.5) — обобщение системы [3] на случай трехмерных возмущений — принято называть системой Лиза—Линя. Она может быть сведена к системе обыкновенных дифференциальных уравнений 8-го порядка. Для формулировки задачи на собственные значения ее следует дополнить граничными условиями прилипания и равенства нулю возмущения температуры на обтекаемой поверхности, а также условиями затухания возмущений на внешней границе
и*(0) = и*(0) = ж*(0) = т*(0) = 4*(да) = 0
(1.6)
Решение задачи (1.1)—(1.6) определяет комплексное волновое число неустойчивой моды а как функцию действительной частоты ю, поперечного волнового числа у и других параметров задачи. Величина N = —1та определяет локальную скорость роста неустойчивых возмущений.
2. Упрощенная система. Система Лиза—Линя имеет весьма громоздкий вид, что долгое время являлось серьезным препятствием при расчете устойчивости сжимаемых течений в неасимптотической постановке. В связи с этим возникла необходимость построения упрощенной математической модели, которая позволила бы оперативно
+
*
рассчитывать характеристики устойчивости пристеночных течений газа без существенного ухудшения точности. Примером такого упрощения может служить система уравнений Дана—Линя [4]. По сравнению с системой Лиза—Линя в этой системе пре-небрегается вязкой диссипацией энергии (отсутствует член в правой части уравнения (1.5) с коэффициентом М2). Полученная система может быть сведена к системе обыкновенных дифференциальных уравнений 6-го порядка.
Предложим дальнейшее упрощение системы (1.1)—(1.5). При асимптотическом (Я ^ да) анализе задачи устойчивости сжимаемого трехмерного пограничного слоя [5] оказывается, что в области критического слоя уравнение для температуры отделяется от остальных уравнений, т.е. тепловые колебания играют здесь пассивную роль по отношению к механическим возмущениям. Отсюда можно ожидать, что и при сравнительно больших, но конечных числах Рейнольдса, характерных для области неустойчивости, структура возмущений температуры в пристеночной области не будет оказывать заметного влияния на характеристики неустойчивости.
Используя эту гипотезу, отбросим в линеаризованном уравнении энергии не только вязкие, но и теплопроводные члены, полагая правую часть (1.5) равной 0. С помощью полученного уравнения исключим из уравнения (1.1) комплексную амплитуду пульсаций температуры т*. В результате получим обобщенное линеаризованное уравнение неразрывности
Б * + — Ур* = 0
ЯеТе
(2.1)
Упростим теперь линеаризованные уравнения импульса (1.2)—(1.4), подставляя в правые части функцию Б* из (2.1) и исключая из полученных уравнений члены порядка М2/Я, а также члены, содержащие производные ц. В результате получим
КеТе ( -и* + ^ *
Т
ЯеТ
йу
- -V* + йр
Т йу
+ гар *
= Н
Я
й и /-2 2Ч ^ —2" - (а + У )и* - йу -
Гd2V * / 2 2ч
—2" - (а + У )V*
йу
(2.2)
(2.3)
К е Т "
Т
+ — V
йу
+ /ур * =
й2 w * ( 2 2 ч.,.
—2" - (а + У ) ■ йу
(2.4)
Произведенное упрощение позволило исключить из числа неизвестных функций амплитуду пульсаций температуры. В связи с этим в качестве краевых условий для системы (2.1)—(2.4) при у = 0 используем лишь условия прилипания. Заметим, что система содержит все члены, существенные в асимптотическом анализе [5].
Если не интересоваться пульсациями продольной и трансверсальной компонент скорости по отдельности, система может быть приведена к каноническому виду системы обыкновенных дифференциальных уравнений 4-го порядка
dZ
йу
= AZ
(2.5)
где компоненты вектора Z и ненулевые элементы матрицы А определяются равенствами
% = г аи* + г уи>*
7 . йи* , . йцг*
%2 = га--+ г у-,
йу йу
Z3 = и*, %4 = р*
^ = 1, = R R-TV+ а2 + у2, ^ = -
- 1 - 1 dy
Л34 = -R(а2 + Y2) , Л31 = -1, Л34 = -M V
- RcTc
Л42 = -R, Л43 = - *fv- R(a2 + Y2)
Как и ранее, при выводе системы отбрасывались члены порядка M2/R. Граничные условия для системы (2.5) имеют вид
Z1( 0 ) = Z3( 0 ) = 0, Z (да) = 0 (2.6)
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.