ФИЗИЧЕСКАЯ ^^^^^^^^^^^^^^ АКУСТИКА
538.91;537.9
УПРУГИЕ АНОМАЛИИ ПРИ ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДАХ В МУЛЬТИФЕРРОИКАХ
© 2014 г. А. Л. Пирозерский*, Е. В. Чарная*, К. Р. Габбасова*, А. С. Бугаев**
*Физический факультет С.-Петербургского государственного университета 198504 С.-Петербург, Петродворец, Ульяновская ул. 1 E-mail: charnaya@mail.ru **Московский физико-технический институт 141700Московская область, Долгопрудный, Институтский пер. 9a Поступила в редакцию 10.01.2014 г.
Анализируются температурные зависимости модуля упругости в мультиферроиках-магнитоэлек-триках, в которых магнитное и сегнетоэлектрическое упорядочения возникают в результате двух последовательных фазовых переходов. Получены аналитические выражения для модуля упругости в области фазовых переходов в упорядоченные состояния при учете либо стрикционных, либо би-квадратичных вкладов в магнитоупругое и электроупругое взаимодействия. Найдена явная зависимость модуля упругости в мультиферроидной фазе от константы магнитоэлектрической связи. Показано, что характерные аномалии упругих свойств в мультиферроиках допускают интерпретацию в рамках теории Ландау без учета флуктуаций. При рассмотрении учитывались изменения фазовых диаграмм за счет магнито- и электроупругих взаимодействий.
Ключевые слова: мультиферроики, фазовые переходы, магнитоэлектрики, модуль упругости, теория Ландау, скорость ультразвука.
DOI: 10.7868/S0320791914040121
АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2014, том 60, № 5, с. 470-475
УДК
1. ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время большое внимание уделяется исследованиям свойств мультиферроиков в связи с перспективами их практических применений для создания управляемых элементов [1, 2]. Согласно определению, к мультиферроикам относятся материалы, в которых в результате фазовых переходов в некоторой температурной области возникают два различных ферроических свойства [3]. Наибольший интерес вызывают мультиферроики, в которых сосуществуют сегнетоэлектрическое и магнитное упорядочения [4], причем часто к ним причисляются и материалы с антиферромагнитным порядком [1]. В области фазовых переходов и в упорядоченных фазах в мультиферроиках происходят значительные изменения модулей упругости, которые могут наблюдаться акустическими методами по изменению температурной зависимости скорости звука [5—13] аналогично аномалиям, наблюдаемым при других фазовых переходах [14—18].
Плодотворный подход к описанию свойств мультиферроиков, в том числе упругих свойств, основывается на применении феноменологической теории Ландау (см., например, [19, 20]). В частности, теория Ландау использовалась при анализе аномалий скорости звука в работах [7, 9]. Однако при интерпретации экспериментальных данных в
них обычно ограничивались учетом взаимодействия деформации только с одним параметром порядка, описывающим магнитное упорядочение. Кроме того, различные вклады в разложение Ландау, вносимые магнитоупругим взаимодействием, учитывались раздельно. В разных работах для объяснения упругих аномалий учитывалось влияние флуктуаций. Ввиду того, что в литературе отсутствует достаточно полный анализ упругих аномалий в мультиферроиках на основе теории Ландау, в настоящей работе проводится детальное рассмотрение изменения упругих свойств для конкретного случая, когда мультиферроидное состояние возникает в результате двух последовательных фазовых переходов, приводящих к сегне-тоэлектрическому и магнитному упорядочению. Показывается, что наиболее характерные особенности упругих свойств в мультиферроиках, а именно скачкообразное изменение упругих модулей при фазовом переходе и линейное изменение модулей ниже перехода в упорядоченных фазах, допускают интерпретацию в рамках теории Ландау. В проведенном рассмотрении учитывается также влияние взаимодействия параметров порядка с деформациями на температуры фазовых переходов.
2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Рассмотрим случай, когда два вида упорядочения, которым отвечают параметры порядка £, и п, возникают в результате двух последовательных фазовых переходов второго рода. Полагая, что эти параметры порядка соответствуют сегнетоэлек-трическому и магнитному упорядочению, взаимодействие между параметрами порядка можно записать в квадратично-квадратичном виде 0.5кп2^2 [1], где к — феноменологическая константа взаимодействия. Оба параметра порядка предполагаются также связанными с деформацией е, которая играет роль вторичного параметра порядка. Маг-нитоупругое взаимодействие включает магнито-стрикционный вклад (линейный по деформации и квадратичный по магнитному параметру порядка) и биквадратичное слагаемое. Аналогичным образом, электроупругое взаимодействие включает электрострикционный член, который линеен по деформации и квадратичен по сегнетоэлек-трическому параметру порядка, и биквадра-тичный член. Разложение Ландау свободной энергии Ф по степеням параметров порядка для мультиферроика во внешнем поле, сопряженном деформации, записывается в виде
Ф = 1 an2 +1 Рп4 +1 кп2^2 +- a^2 +1 b^ +1 се2 2 4 2 2 4 2
+ 1 В1ец2 +1 е2е^2 +1 П,е2ц2 2 2 2
1 ^ 2>-2
-Q,e с - еа,
2 2
(1)
с £, Ф 0 и мультиферроидная), либо все три упорядоченные фазы, перечисленные выше, либо только
моноферроидная фаза с £, Ф 0. Фаза с п = 0, 2,2 = - a/b и б = a02/2bc возникает в температурном интервале между T2 и fhigh = T2 - (T2 - T)/(1 - a0ic/a0b), если Thigh > 0. В противном случае эта фаза существует во всей температурной области ниже T2. Мультиферроидная фаза стабильна в интервале между Thigh и Tlow = T - (T2 - T)/(aoi</aop -1), если T^ > 0, или ниже Thigh до нулевой температуры в противном случае. Параметры порядка в этой фазе даются выражениями
П
е =
ab -кa r2 _ _a|3 -Кa
" ,S _ 2 ,
pb -к2 Q a b — к a , в b —к2
pb -К2 3 ap — к a
J2 -7
в b —к2,
где а = а0(Т - Т1), а = а0(Т - Т2); а0, а0, в, Ь, c, 01, 92, П1, и — феноменологические константы, из которых а0, a0, в, Ь и c предполагаются положительными; Т1 и Т2 — температуры фазовых переходов в отсутствие взаимодействия параметров порядка между собой; а — механическое напряжение. Для определенности будем предполагать, что 72 > T1.
В общем случае в системе, описываемой разложением (1), в отсутствие внешних полей возможно существование четырех различных фаз: парафазы с п = 0, £, = 0; двух различных упорядоченных моноферроидных фаз с п = 0, 4 Ф 0 или п Ф 0, 4 = 0; а также мультиферроидной фазы с п Ф 0, 4 Ф 0. В упорядоченных фазах появляется неравная нулю спонтанная деформация. Детальный анализ областей устойчивости этих фаз приведен в [21]. Показано, что на численные значения параметров
разложения (1) накладываются два условия: к2 < р Ь
и К2 < Ьр. Здесь К = к - 0^2/2с, р = р - ©2/2,
Ь = Ь - ©2/2с. Кроме того, учет электрострикци-онной и магнитострикционной связи приводит к смещению температур переходов между упорядоченными фазами. В зависимости от величин коэффициентов в (1) ниже 72 могут последовательно существовать либо две фазы (моноферроидная
- - (IГ
(2)
Фаза с п2 = -а/р, 6 = а01/2рс, £, = 0 появляется ниже Т1о№. Наличие биквадратичных членов во взаимодействии с деформациями не оказывает влияния на вид фазовых диаграмм.
Разложение (1) позволяет найти выражения для модулей упругости в различных фазах. Отметим, что в парафазе, где все параметры порядка равны нулю, модуль упругости равен с. В упорядоченных фазах модуль упругости может быть рассчитан по формуле
(!)
в пределе нулевого напряжения а. Аналитические выражения для сей- могут быть получены только для случаев, когда параметры порядка £, и П связаны с деформацией либо за счет стрикци-онного взаимодействия, либо за счет биквадра-тичного взаимодействия. В общем случае се(Г можно найти только численными методами.
2.1. Расчет модуля упругости в случае стрикционных взаимодействий
При учете только стрикционных взаимодействий коэффициенты П1 и равны нулю. Как показано в [21], следующее матричное уравнение можно получить дифференцированием условий равновесия при приложении внешнего напряжения:
5а
дк да
д&
уда)
где А — матрица Гессе,
Г 0 ^ 0 V1У
о
(D
О
0
-0.02 -0.04 -0.06 -0.08 -0.10
в1 = е2 = 0
к = 0.8 е1 = 0.3 е2 = 0.2
-
- к = -0.3 е1 = 0.3 е2 = 0.2
~ 1 T >w 1 ~(1) /high , f (2) /high| T2 ,
280 285 290 295 300 305 T
310 315
Рис. 1. Температурная зависимость относительного модуля упругости при учете только стрикционных взаимодействий для случая двух (штриховая линия) и трех (сплошная линия) фазовых переходов. Пунктиром показана температурная зависимость модуля упругости в отсутствие взаимодействия с деформацией. Коэффициенты в разложении Ландау: а0 = 0.01, а0 = 0.005, Р = 1, Ь = 1, с = 1, Т1 = 300, Т2 = 310. Остальные феноменологические коэффициенты указаны на рисунке.
A =
5 2Ф д 2ф д 2ф
dn2 д^дп дбдп
д 2ф д 2ф д 2ф
dndS, д£,2 дбд£,
д 2ф д 2ф д 2ф
дпдб д^дб дб2
(4)
^а + 3рп2 + к^2 + 0!б
0in
0in
a + 3b^2 + кп2 + 02б 02£,
02^ с
V У
Из решения системы (3), используя выражения для спонтанных параметров порядка, приведенные выше для каждой из фаз, можно найти: для фазы с п = 0, Е Ф 0
с - СЬ
ceff - С , > b
для мультиферроидной фазы
С - /Р"
ceff - С--
■ К
ьр
К
и для фазы с п Ф 0, £, = 0
ceff - С
Р в'
(5)
(6)
(7)
310 -
285 -
260
Соотношения (5)—(7) предсказывают скачки модуля упругости при фазовых переходах. Пример температурной зависимости модуля упругости при учете только стрикционных взаимодействий показан на рис. 1. Для наглядности на рис. 1 показаны изменения относительного модуля Дсе(Г/ с =
Рис. 2. Фазовая диаграмма для системы, описываемой термодинамическим потенциалом (1) в ограниченной области температур. Коэффициенты Ландау: Т1 = 300, Т2 = 310, а0 = 0.01, а0 = 0.005, р = 1, Ь =1, с =1, 91 = 0.3, 62 = 0.2. Сплошные тонкие вертикальные линии показывают границы допустимых значений для коэффициента к. На вставке показан фрагмент фазовой диаграммы до Т = 0. Пунктирные линии на рисунке показывают сечения к = 0.8 и к = -0.3.
= (сей- - с)/с. Отметим, что модуль упругости уменьшается при переходе из парафазы в первую моноферроидную фазу с Е Ф 0 и при последующем переходе в мультиферроидную фазу. Тогда как при переходе и
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.