ФИЗИКА МЕТАЛЛОВ И МЕТАЛЛОВЕДЕНИЕ, 2004, том 98, № 1, с. 5-13
^^^^^^^^^^^^^^^^ ТЕОРИЯ
МЕТАЛЛОВ
УДК 539.319.001
УПРУГИЕ НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ПЛАСТИЧЕСКОМ ГОФРИРОВАНИИ СЛОЕВ МАТЕРИАЛА.
КАСАТЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
© 2004 г. В. В. Неверов, А. Н. Антоненко
Кузбасская государственная педагогическая академия, 654027 Новокузнецк, просп. Пионерский, 13
Поступила в редакцию 17.03.2003 г.; в окончательном варианте - 04.11.2003 г.
Построено поле напряжений группы из 110 незавершенных сдвигов, расположение участков которых соответствует гофрированному порядку. По данным об упругой энергии группы найдены наиболее вероятные параметры расположения участков. Установлено, что распределение касательных напряжений имеет слоевой характер.
ВВЕДЕНИЕ
Пластическая деформация является процессом, который развивается на нескольких масштабных и структурных уровнях. Процессы более крупных уровней не сводимы к процессам меньших уровней, поэтому процессы каждого уровня обладают определенной "самостоятельностью". Это обстоятельство открывает возможность автономного изучения процессов каждого уровня, т.е. вне связи этих процессов с процессами соседних уровней. Кроме того, и это весьма существенно, независимое изучение процессов одного уровня упрощает описание. Однако при использовании "независимого" подхода описание принимает, как правило, феноменологический характер. Вначале формулируются некоторые постулаты, гипотезы, которые в дальнейшем описании для принятого уровня принимаются за первые принципы. Так, в [1] принято, что пластические движения представляют собой комбинации сдвигов и поворотов структурных элементов как целого. По [2] на стадии развитой деформации основным вначале является процесс фрагментации, который связывают с дисклинациями, а затем - образование ножевых границ. В [3] неоднородности распределений компонент тензора деформации по длине образца рассматриваются как проявление волнового характера деформации. Авторы [4-6] основной чертой пластической деформации считают процесс гофрирования двойников или полос сдвигов. В [7] главным принимают процесс формирования деформационных границ с изменяющимся вдоль границы углом ра-зориентации.
Очевидно, что взаимодействие процессов разных уровней обусловлено полями напряжений.
Поэтому нами была поставлена цель построить описание пластической деформации, попадающее в мезоскопический интервал уровней, в котором определяется поле напряжений, но при учете структуры пластически деформированного материала. В качестве элемента структуры был взят незавершенный сдвиг. Незавершенным сдвигом (НС) называли участок плоскости сдвига, на котором сдвиговые смещения больше, чем на соседних участках, где смещения считаются упругими. В этом определении не указан механизм сдвига. Сдвиг может быть создан движением дислокаций, мартен-ситной пластиной, двойником и т.д. При дислокационном толковании НС ближе всего к двухстороннему плоскому скоплению краевых дислокаций. В задачу исследования входит выбор в качестве типичной некоторой группы НС, расчет поля напряжений принятой группы и выявление особенностей этого поля, важных для пластических процессов соседних структурных уровней.
Монокристаллы цинка в сильных ударных волнах деформируются двойникованием [8]. Двойники формируют на поверхности "паркетную" структуру (рис. 1а). Аналогичные картины в расположении мезоскопических, охватывающих группы зерен групп параллельных участков сдвигов наблюдали при деформации никелида титана [9] и при усталостных испытаниях свинца и некоторых его сплавов [10]. Закономерности, наблюдавшиеся в [9, 10], отображаются той же паркетной шахматной схемой (рис. 1а).
По данным [4-6] при пластической деформации, в частности при прокатке, в материалах формируются гофрированные структуры (рис. 16). Предполагается, что принцип гофрирования является общим принципом пластической деформации.
(а)
(б)
(в)
У
пи, чин
////// '11(11
\\\\\\ \\\\\
\\\\\ >\\\\
ни, чип
/ / / / // '(((/>
\\\\\х ш
Рис. 1. Схемы расположения участков сдвига.
Многие исследователи отмечают, что в структурах пластической деформации проявляется мотив слоистости [2, 6, 11-13]. Этот мотив присутствует в структурах рис. 1.
МОДЕЛЬ И МЕТОДИКА РАСЧЕТОВ
Поле напряжений и упругое взаимодействие НС, расположение которых соответствует паркетному шахматному порядку, рассмотрены в [14]. В данной работе исследовано поле напряжений, создаваемое гофрированным порядком (рис. 16) в расположении участков сдвига. Вначале из 11 параллельных равноотстоящих участков НС составлялись полосы. Затем из 10 полос составлялась вся группа (рис. 16). Концевые точки участков НС соседних полос совпадали. Ориентацию участков НС задавали углом б между участками и осью Ох, расстояние между участками в полосе величиной X. Знак угла наклона участков соседних полос чередовали. Построенную группу можно рассматривать как вертикальный гофр.
Принималось, что данная конфигурация находится в объеме с однородным полем сжатия вдоль оси Оу. Деформация вдоль осей Ох и Ог полностью сдерживается, а следовательно, в этих направлениях действуют пуассоновские напряжения. Таким образом, использовалась схема одноосной, а для плоскости рисунков и плоской деформации.
Схема расчета включала следующие этапы и постулаты. Задавалось напряжение однородного сжатия ауу. Для условия сдерживания поперечных деформаций
р = р = р = р
гг гх ху ^хх
= 0.
(1)
Из закона Гука 1
= е [°хх - ^(а уу + агг)];
= е [ауу- у(а
хх + агг)] ;
(2)
ргг = Е[агг - Х(°хх + ауу)].
где Е - модуль нормальной упругости, V - коэффициент Пуассона, и условий (1) находились поперечные напряжения и продольная деформация
а хх а гг 1 — V
а
уу
р =
уу
ауу1 — V — 2 V Е 1 — V
= р
упр1'
(3)
(4)
Используя фактор Шмидта, вычислялись касательные напряжения, действующие в плоскостях, содержащих участки НС
тте(б) = (ауу — ахх) ео8 б 8ш б =
(1—2 V),
= — а у
1— V
-008б8Шб.
(5)
Для НС принималось поле напряжений, полученное решением упругой задачи для плоскости с линейным разрезом. В плоскости действует однородное сдвиговое поле, касательные напряжения которого тДб) выше сопротивления сдвигу по разрезу [т]
Такт (б) = Т.(б) — [Т] .
(6)
Для заданного б напряжения (6) постоянны на всем участке сдвига. Упругая задача о сдвиге по разрезу, на краях которого действуют постоянные напряжения, решена в [15]. Компоненты тензора напряжения и вектора смещения точек тела вычисляются через два комплексных потенциала Колосова-Мусхелишвили. Эти потенциалы взяты из [15]. При этом длина участка сдвига равна
х
р
уу
р
хх
двум относительным единицам. Распределение вектора смещения точек одного берега относительно прилегавших к ним точек другого берега
( ) 2(1- У)Такт(9) [72-2 пл
и (х) = -л/1 - х , (7)
М
где половина длины участка сдвига I = 1 и м - модуль сдвига.
Для вычисления поля напряжений всей группы НС использовали метод Михлина [16]. Кратко напомним его. Пусть имеется многосвязная область Б, ограниченная изнутри контурами Ьъ Ь2, ..., Ьп и извне - контуром Ь0. Задача состоит в отыскании бигармонической в Б функции по данным на контурах функциям, описывающим граничные нагрузки. Обозначим составляющие по осям Ох и Оу внешних сил, приложенных к контуру Ьк, через Хку и Ук^ а искомую бигармоническую функцию через Ж. Для плоских задач теории упругости Ж является функцией напряжений Эри. Тогда
Э Ж/ дх + I д Ж/ д у =
s
= 11( Х^ + й8к + Вк = Гк (I) + Вк, (8)
к = 0, 1, 2, ..., п,
где dsk - элемент контура к; z - комплексная координата точки контура. В формуле (8) Вк - постоянные, с помощью которых достигается однозначность смещений в многосвязной области.
Пусть область Б бесконечна. Обозначим через Бк- область, лежащую вне Ьк, к = 1, 2, ..., п. В [16] доказано, что функцию Ж можно представить в виде суммы бигармонических функций
Ж = Ж1 + Ж2+ ... + Жп, (9)
причем каждая функция регулярна в соответствующей односвязной области Бк. Допустим теперь, что метод решения задачи теории упругости для каждой из областей Бк известен. Если теперь будут известны значения величины
д Жк/д х + I дЖк/д у = 8 к (z) (10)
на соответствующей кривой Ьк, то решив указанную задачу в каждой из областей Бк, можно найти функции Жк, а следовательно, и Ж.
Затем доказывается, что
(z) = /т (z) - £ Мк (z, 8к) + Вт, (11)
к Ф т
где слагаемые Мк(г, 8к) - представляют функцию нагрузок на контуре т, создаваемых полями напряжений нагрузок, действующих на всех других контурах к Ф т. Это самый важный для построе-
т
0.4 [Г.
0
-0.41-1-1-1-1
-1 0 1
х
Рис. 2. Распределение касательных напряжений по участку НС, создаваемых упругими полями ближайших и следующих за ближайшими НС, в долях от величины активного касательного напряжения, действующего на каждом из участков НС:
--6 = 37.5°, X = 3;----6 = 45°, X = 2;----6 = 75°,
X = 1.
ния нашего решения результат - изменение нагрузки на выбранном контуре можно найти путем суммирования функций граничных нагрузок, полученных путем решения задач для односвязных областей.
В нашем случае система (11) содержит 110 уравнений. Если принять, что рассматриваемая нами группа НС имеет ось симметрии 2 порядка, то и тогда число уравнений все еще велико. Однако большое число различным образом расположенных и ориентированных участков открывает простой способ получения решений. Этот способ становится возможным, если влияния полей нагрузок других контуров на выбранный контур взаимно компенсируются. Тогда, в идеальном случае,
£ Мк(^ 8к) = 0, (12)
к Ф т
и граничные нагрузки сохраняются такими же, как и на контурах для односвязных областей.
На рис. 2 показаны напряжения, которые создают на пробном участке сдвига поля напряжений ближайших и следующих за ближайшими сдвигов. Нагрузки от полей НС третьих соседей на порядок меньше, чем от НС первых двух "сфер", и этими нагрузками пренебрегали. Полученные дополнительные напряжения практически постоянны на участке пробного НС, и по величине не превышают 20% от величины приложенного на каждом участке и так же постоянного напряжения такт(6). Учет полученной постоянной поправки не изменит характера полученн
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.