ЖЭТФ, 2012, том 142, вып. 2 (8), стр. 2GG 270
© 2012
УПРУГИЕ ПОСТОЯННЫЕ ТВЕРДЫХ ТЕЛ ПРИ ВЫСОКИХ ДАВЛЕНИЯХ
О. М. Красильников* Ю. X. Векилов, И. Ю. Мосягин
Национальный исследовательский технологический университет «МИСиС» 119049, Москва, Россия
Поступила в редакцию 21 октября 2011 1".
Дано определение изотермических и адиабатических упругих постоянных /?-го порядка (/? > 2) нагруженного кристалла. Эти постоянные полностью характеризуют упругое поведение твердого тела при произвольной нагрузке и определяются не только межатомным взаимодействием, но и внешней нагрузкой. Для кристаллов кубической симметрии, находящихся под гидростатическим давлением, найдены соотношения, связывающие эти постоянные (второго, третьего и четвертого порядков) с упругими постоянными типа Браггера соответствующего порядка, которые определяются только межатомным взаимодействием. С использованием полученных соотношений уравнение состояния и упругие постоянные второго и третьего порядков ОЦК-тантала при Т = 0 рассчитаны методом функционала электронной плотности в широком интервале давлений (0-600 ГПа). Полученные в работе результаты по уравнению состояния и упругим постоянным второго порядка согласуются с экспериментальными данными и результатами расчетов других авторов.
1. ВВЕДЕНИЕ
Для анализа структурных превращений в твердых телах под давлением необходима информация об упругих постоянных (УП) различного порядка (2, 3 и 4) [1]. Эти постоянные определяют (с учетом ангармонических поправок) скорость звука и, соответственно, частоты длинноволновых акустических колебаний, соотношение «напряжение деформация», характер фазовых переходов, обусловленных потерей устойчивости кристаллической решетки к однородным деформациям. Экспериментальное определение УП под давлением (особенно постоянных выше второго порядка) задача трудная, поэтому значение приобретают вычисления УП различного порядка с помогцыо компьютерного моделирования. В последние несколько лет опубликован целый ряд работ по расчету в рамках теории функционала плотности УП второго порядка металлов с кубической решеткой в мегабарном диапазоне давлений [2 7]. В работах [2,3] УП Та, V, Мо, N1) и \¥ находились как вторые производные свободной энергии по компонентам тензора бесконечно малых деформаций. Упругие постоянные Р1 и Си опреде-
E-mail: omkrasö'mail.ru
лялнсь в работах [4,5] из соотношений «напряжение деформация» (закон Гука), деформированное состояние задавалось с помощью тензора бесконечно малых деформаций. В работах [6, 7] для нахождения УП второго порядка алюминия и ванадия использовалось разложение свободной энергии по компонентам тензора конечных деформаций.
Результаты расчета УП третьего и четвертого порядков ряда веществ с кубической решеткой (Си, А1, Аи и Ag) при атмосферном давлении приведены в работе [8]. УП находились из разложения свободной энергии по компонентам тензора конечных деформаций Лагранжа. Свободная энергия вычислялась методом функционала плотности. Аналогичный расчет УП третьего порядка ванадия в интервале 0 800 ГПа проведен в работе [7].
Разнообразие в способах вычисления упругих постоянных связано с различными определениями этих величин (см., например, [9 11]). В ненагружен-ном состоянии все эти определения дают для УП второго порядка одни и те же значения. Однако в случае нагруженного кристалла вычисления приводят к различным величинам этих постоянных.
В настоящей работе дано определение упругих постоянных /¿-го порядка (п > 2), пригодное для описания упругих свойств как нагруженного кри-
паI.т. так и кристалла в отсутствие нагрузки. В качество примера рассчитаны УП второго и третьего порядков ОЦК-тантала в широком интервале давлений.
2. УПРУГИЕ ПОСТОЯННЫЕ НАГРУЖЕННОГО КРИСТАЛЛА
Стандартное определение упругих постоянных /¿-го порядка дано в работе [11]
гт ¡.¡и.
¡.¡и...
( дпР То \дцидг1к1 1 ( ;)"('
То Кдщдг/и
(1)
Здесь Суд,; и Суд/ соответственно изотермические и адиабатические УП /7-го порядка (п > 2), ^и и соответственно свободная и внутренняя энергии кристалла, 1'о объем в не деформированном состоянии; //у компоненты тензора конечных деформаций Лагранжа [12]. Производные в (1) вычисляются при постоянной температуре Т и энтропии 5'. Если а/., = ()г/. / <)!■,',. где гд, и Д, декартовы координаты точки тела, соответственно, в деформированном и не деформированном состояниях, то
Чи = т^"/.,",..;
(2)
где ¿>у символ Кронокора (по повторяющимся индексам здесь и в дальнейшем идет суммирование от 1 до 3). Компоненты тензора //у можно выразить через градиенты смещений иу = д-и^/дЩ [и, = = г, — в результате //у = и у + и^и^;/2 (вращение кристалла отсутствует). Если квадратичным слагаемым можно пренебречь, получаем тензор бесконечно малых деформаций ¡./у.
Упругие постоянные (1) полностью определяют упругое поведение нонагружонного кристалла. В нагруженном состоянии эти постоянные не учитывают работу, которая должна быть совершена против внешней нагрузки силами, вызванными дополнительной малой деформацией у. В работах [13,14] рассмотрены так называемые эффективные УП для случая гидростатического давления. Эти постоянные учитывают как изменение свободной или внутренней энергии кристалла при деформации вблизи исходного состояния при заданном давлении Р, так и работу против гидростатического давления силами, обусловленными этой деформацией. Обобщая результаты этих работ, изотермические и адиабатические упругие постоянные различного поряд-
ка можно определить как соответствующие производные потенциала Гиббса С или энтальпии Н по компонентам тензора конечных деформаций //у при заданной нагрузке:
С<т _±_
¡.¡и... — т-
дпо
1-0 \дццдщ./...
Г« = ( 1 д"Н
и о дщд1,к1
(3)
где п > 2. Суд,/ и Суд,/ полностью описывают упругое поведение кристалла при произвольном нагружонии. В случае гидростатического давления С = Р + Р\~, Н = и + РV. В отсутствие нагрузки определения (3) совпадают с (1). Аналогичное соотношение для изотермических УП второго порядка приведено в [15,16].
Величины Суд/... определяются не только межатомным взаимодействием, но и непосредственно приложенной нагрузкой и, в отличие от постоянных (1), обладают полной фойгтовской симметрией к перестановке индексов только при гидростатическом давлении (при других видах нагрузки такой симметрии пет) [12]. Кроме того, для них соотношения Копти выполняться но могут, поскольку эти постоянные включают в себя внешнюю нагрузку. Как следует из работы [12], при использовании УП второго порядка Суд/ уравнение Кристоффеля, определяющее скорость звуковых воли в кристалле, имеет одинаковый вид как для нонагружонного, так и нагруженного кристаллов. То же относится и к условиям устойчивости кристалла [7], а также к соотношению «напряжение деформация» [12,17]: в обоих случаях они имеют одинаковый вид.
Пользуясь соотношением (3), найдем выражение для изотермических УП второго четвертого порядков при гидростатическом давлении. Изменение потенциала Гиббса при деформации //у при давлении Р и температуре Т на единицу объема в недеформи-рованном состоянии равно
(4)
АС _ АР АУ У0 То К) Здесь ДС = С(Р,Т,'Г1)—С(Р,Т, 0), АР = Р(П. Т. //) — — Р(Р,Т,0), ДГ = V — Ко изменение объема в результате деформации, заданной компонентами тензора конечных деформаций Лагранжа »/у. Разложим ДС и в ряд по '//у до четвертого порядка включительно:
ДС 1 х 1 х
, - = 77 ( <.Д1'/<./''М' + "7 ( /./'/•//к»'//./''//•/'/»<"' + •0 ^ О
I 2| С'ГД/ п) г, (.■<! Ц г] 1Ц>11 Ьп г, ■ (5)
Таблица 1. Соотношения между и
Ca;:i
н СЦ 1 = СЦ 1 + 2>Р Clin = Сии — 15Р Cl255 = С12.5.5 + Р
Cll2 = Си 2 — Р С1112 = С1112 + 3 Р С1266 = С1266 — Р
с12 = Ci2 + Р Cl23 = Ci23 + Р Сц22 = Сц22 + Р С1456 = Ci4.56 — Р
С144 = С144 — Р Сц 23 = Сц23 — Р С4444 = С4444 — 3 Р
D1 нСа. tfb II С155 = Ci.5.5 + Р С1144 = С1144 + Р С44.5.5 — С44.5.5 р
С4.56 = С4.56 + Р Сц.5.5 = Сц.5.5 — 2>Р
Таблица 2. Уравнение состояния и упругие постоянные тантала
\ о, А3 Р ГПа Сц, ГПа С12, ГПа С44, ГПа —Chi , ГПа Сц2, ГПа С123, ГПа С144, ГПа Ci.5.5, ГПа С4.56, ГПа
18.80 ^4.82 238.5 144.5 63.48 2258 664.9 32.9 407.8 308.9 152.1
17.97 3.87 285.4 172.0 72.58 2632 741.0 27.6 467.9 332.2 206.1
1G.38 2G.82 393.5 239.4 91.44 3374 938.8 47.9 618.7 395.6 362.6
14.90 59.43 530.6 330.8 111.4 3904 1307 - 838.7 588.5 601.3
13.50 105.3 699.1 458.57 127.4 - 2043 - 1274 1110 962.6
12.19 1G9.G 900.5 648.3 160.7 6491 2571 - 1780 1759 1437
10.98 262.1 1333 909.7 272.0 12774 2977 601.2 2362 2259 2130
9.84 398.3 1885 1256 422.5 16981 3424 1839 3049 3163 3034
8.79 597.1 2606 1803 620.3 21365 5125 2512 4244 4346 4192
В (5) линейный член разложения отсутствует, поскольку система находится в равновесии:
А/-" 1 1
, - — Vii + 77 ■ ijU>lij>IU + 77 ^ ijkimnVijVklVmn + •О ^ О
I ^ijklmnpq4ij4klЧтп'Чрд •
Так как AV/Vo = <7 — 1, где J = dot |a:y| [12], выразим a.jj через j/y, используя соотношение (2). В результате, удерживая слагаемые до четвертого порядка по //,;. получим 1
"и = ¿у + Щ - -rikir)kj +
1...... 5........
I пVrkVriVkj 0 VkjVmkVmnVni• ( ' ) I О
Подстановка выражений для AG/I'o и AF/Vq в (4) позволяет выразить УП Суд./... через постоянные
Браггера Суд./... и давление Р. Кристаллы кубической симметрии (группы 43т, 432, ^З^) имеют [12] три независимые УП второго порядка Сар, шесть постоянных третьего порядка и одиннадцать четвертого порядка Упругие постоянные даны в обозначениях Фойгта: а,3,... принимают значения от 1 до 6 в соответствии с правилом: 11 —1, 22 2, 33 3, 23 4, 13 5 и 12 6. Соотношения между Сац... и постоянными Браггера приведены в табл. 1.
В работах [10,12] показано, что УП второго порядка Сац можно также получить как вторые производные свободной (или внутренней) энергии при заданном давлении Р по компонентам тензора бесконечно малых деформаций и у. Но ситуация с УП второго порядка исключение, связанное с тем, что в выражении для //у помимо линейного по ¡./у слагаемого имеется и квадратичное. Для УП при
В, ГПа
Р, ГПа
Зависимости от давления Р объемного модуля В =
С = (Си - Ci2) /2 и С.1.1 - б; С
п > 3 подобная ситуация но имеет моста. Поэтому целесообразно
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.