МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА <1 • 2008
УДК 532.59:534.6
© 2008 г. Л.Д. АКУЛЕНКО, С.В. НЕСТЕРОВ
УПРУГИЕ СВОЙСТВА ГРАНУЛИРОВАННОЙ СРЕДЫ, ПРОПИТАННОЙ ЖИДКОСТЬЮ
Построена конструктивная теоретическая модель, описывающая упругие свойства сыпучей среды, пропитанной жидкостью, с учетом дополнительного внешнего давления. Она позволяет вычислять модули объемной упругости и сдвига, а также находить скорость звука, собственные частоты и формы колебаний акустического давления и колебательной скорости. Искомые фундаментальные характеристики определяются через структурные параметры среды, что существенно для геофизических и технических приложений. Установлена степенная зависимость скорости звука в сыпучей среде от давления, которая подтверждена многочисленными лабораторными экспериментами в широком диапазоне измерения его величины и геометрии рабочей области. Отдельно исследован случай реализации давления посредством веса вышележащих слоев среды (грунта). Установлены качественные механические эффекты зависимости упругих свойств от различных параметров среды.
1. Введение. Для акустики и сейсмологии представляет существенный интерес про-
блема распространения упругих волн в твердой гранулированной среде (грунте), промежутки между гранулами которой заполнены жидкостью. Примером подобной среды может служить рыхлый грунт, в частности, песок, пропитанный водой, нефтью, природным газом, воздухом и т.п. или их смесью. Выполненные многочисленные сейсмометрические измерения [1, 2] показывают большой разброс скорости звука в рыхлых грунтах. Существенное значение при этом, как установлено анализом, имеют степень (плотность) упаковки гранул и количество пропитывающей жидкости. Так установлено [1, 2], что сухие, рыхлые (неспресованные) пески, лежащие в естественных условиях на поверхности Земли, обладают относительно низкими скоростями звука в диапазоне (1.2-2.0) • 104 см/с. С углублением в грунт, а также с повышением содержания жидкости, скорость звука в песке увеличивается практически на порядок, до
(1.3-1.8) • 105 см/с, и на значительных глубинах может достигать величин (2-3) • 105 см/с.
Теоретическому определению скорости звука в гранулированной среде посвящены работы [3-5] и др. Их авторы положили в основу расчетов модели гранулированных сред, состоящих из одинаковых тел сферической формы (шаров), контактирующих между собой. Поры между шарами предполагались пустыми. Поэтому полученные теоретические результаты, могут применяться к совершенно сухим пескам, но не пригодны для осадков на дне водоемов, а также для влажных и нефтеносных песков на суше и т.п.
После указанных выше работ Френкеля [3] и Био [4] практически полностью и совершенно необоснованно из рассмотрения исчезло различие между гранулированными и пористыми средами, заполненными жидкостью. К гранулированным средам естественно отнести гибридные среды, состоящие из отдельных зерен, между которыми могут быть контакты (например, сухие пески, пропитанные воздухом или различной плотности газом, водой или нефтью). В реальных условиях могут также отсут-
(а) (Ь)
ствовать такие контакты (например, суспензии). Под пористыми средами естественно понимать среды, имеющие связный жесткий каркас, пронизанный порами различной формы и глубины. Многие горные породы (гранит, мрамор и т.п.), а также строительные материалы (кирпич, бетон, керамика и т.п.) принадлежат к классу пористых сред.
Отметим наиболее существенный недостаток указанных теорий [3, 4]. В них прене-брегается неоднородностью свойств гранулированной среды по вертикали. Эти свойства учитываются ниже в предлагаемой модели среды. Стратификация характеристик возникает из-за уменьшения пористости, изменения относительного содержания газа и жидкости, а также увеличения сил упругости контактов между гранулами. На предварительном этапе исследования для воздействий слабой интенсивности естественно пренебречь относительными движениями твердых гранул и жидкости.
Эффекты взаимодействия движущихся относительно друг друга твердой и жидкой компонент среды были изучены теоретически и экспериментально в [5-7].
2. Механические модели гранулированной среды. Анализ образцов песка при оптическом увеличении в 10-100 раз свидетельствует о сложной форме гранул (песчинок), учесть которую в исследованиях весьма проблематично. Решать теоретически задачу о распространении волн в такой среде без известной и притом значительной идеализации практически невозможно. Поэтому на начальном этапе исследования допустима замена системы неправильных гранул (песчинок) одинаковыми, правильно расположенными шарами. Рассматриваются два предельных случая упаковки: "рыхлая" и "плотная". На фиг. 1,я изображена "рыхлая" упаковка, когда центры соприкасающихся шаров находятся в вершинах куба, сторона которого равна их диаметру. На фиг. 1,Ь изображена "плотная" упаковка, когда центры соприкасающихся шаров находятся в вершинах тетраэдра. Как известно, в первом случае на долю пор (свободного пространства) приходится 0.476 (почти половина) общего объема, занятого рыхлой средой, а во втором около четверти - 0.259, т.е. меньше почти в два раза. Природные сухие пески с округлыми зернами обладают пористостью от 0.3 до 0.48.
Описанная замена гранул сложной формы (песчинок) шарами все еще оставляет механическую модель и математические соотношения очень сложными, так как модели рассматриваемых гибридных систем по-прежнему состоят из двух взаимодействующих перемешанных сред: гранул и жидкости.
Вследствие существенного влияния вязких и упругих сил, действующих на границах гранул (песчинок) и жидкости, между обеими средами имеет место значительная механическая связь. Она вызвана взаимодействием гранул между собой и жидкостью. На данном этапе будем считать эту связь столь сильной, что относительными движениями гранул и жидкости при распространении в среде упругих колебаний можно пренебречь. Учет относительных движений гранул и жидкости, как отмечалось, был проведен в [5-7], где было установлено, при каких условиях этими движениями можно пренебречь.
Приняв предположение об отсутствии относительных движений гранул и жидкости, можно заменить систему "гранулы-жидкость" эквивалентной сплошной средой, параметры которой должны совпадать со средними параметрами исходной системы. Определение этих параметров проводится ниже на первом этапе решения задачи о распространении упругой волны в гранулированной среде, пропитанной жидкостью.
Введем следующие обозначения для инерционных и геометрических характеристик среды: р1 - плотность жидкости; р2 - плотность материала гранул; г - радиус шаров; П - пористость, определяемая формулой
п = V («! + и2) (2.1)
Здесь и1 2 - объемы, занятые жидкостью и гранулами соответственно.
Введем упругие и силовые характеристики среды: К1 и К2 - модули объемной упругости жидкости и материала гранул соответственно; Е - модуль Юнга материала гранул; о - коэффициент Пуассона; Р - статическое давление в гранулированной среде.
В дальнейшем для простоты принято, что имеются только две фазы: гранулы и жидкость. Считается, что газ отсутствует, однако его наличие в системе может быть учтено (см. ниже).
Опуская простые, но весьма пространные рассуждения, основанные на формуле Герца о взаимодействии двух шаров, приведем окончательные выражения для найденных эквивалентных средних значений модуля объемной упругости в случае "рыхлой" и "плотной" упаковки гранул (шаров) [5, 8].
1°. Исследуем выражения для модуля объемной упругости среды в случае "рыхлой" упаковки. Имеем
К К Е2 Р
К = -—-+ 0.4553 ———- (2.2)
П К2 + (1 - п ) К1 г2 ( 1 __ о2 ) 2 ( )
Коэффициент пористости п определяется согласно (2.1). В (2.2) первое слагаемое представляет эквивалентный модуль объемной упругости смеси К, который встречается практически во всех работах, посвященных данной проблеме [4]:
„ _ К1К2 1
К = п К 2 + (1 - п ) К1 = п /К 1 + ( 1 - п ) /К 2 (2'3)
Заметим, что используя электромеханическую аналогию [4], коэффициент К (2.3) можно трактовать как "емкость конденсатора", состоящего из двух последовательно включенных конденсаторов. Это свойство позволяет при вычислении К просто учесть наличие газовой компоненты.
Второе слагаемое в формуле обусловлено учитываемой в модели среды упругостью контактного взаимодействия шаров. Для вывода этого слагаемого, как отмечено, была использована теория Герца [8], позволяющая определить сближение шаров одинакового радиуса, сжимаемых силой Р0. Здесь уже учтено, что для "рыхлой" упаковки численное значение коэффициента пористости можно положить равным п = 0.476.
В том случае, когда давление Р создается весом выше лежащих слоев шаров, формула (2.2) принимает вид (в системе СГС, т.е. дин/см2 = 0.1 Па):
К = £ + 5.784з|у(Р2- р1)(р^)2, У ^ 0 (2.4)
Здесь учтено, что ускорение свободного падения g = 9.8 • 102 см/с2. В формуле (2.4) по-прежнему второе слагаемое определяется упругостью контактов. Легко устано-
вить, что при малой глубине у первое слагаемое превалирует над вторым. Роль основного передатчика давления при упругих колебаниях играет жидкость, а не скелет, так как для всех известных пород выполняется условие К1 < К2. С увеличением глубины у относительное влияние жидкости уменьшается, а скелета - увеличивается.
Пренебрегая при достаточно малом у упругостью контактов, получим приближенную формулу (2.3): К ~ К.
При равных плотностях гранул и жидкости статическое давление шаров друг на друга становится равным нулю. Поэтому второе слагаемое в выражении (2.4) исчезает, и формула (2.3) становится точной. В приведенных рассуждениях используется понятие средней упругости в вертикальном направлении. При рыхлой упаковке гранул (шаров) горизонтальные сжимающие усилия должны быть весьма слабыми. Поэтому упругость в горизонтальном направлении независимо от глубины должна определяться формулой (2.3). Таким образом, установлен следующий качественный механический эффект. Вблизи верхней границы рыхлая среда приблизительно изотропна, по мере углубления она становится все более анизотропной.
Модуль сдвига для "рыхлой" упаковки относительно мал и полагается равным нулю.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.