УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ МЕТАЛЛИЧЕСКОГО ГЕЛИЯ
В. Т. Швец
Одесская государственная академия холода 65082, Одссса, Украина
Поступила в редакцию 22 июня 2012 г.
Рассчитано парное эффективное межионное взаимодействие, свободная энергия, давление и электрическое сопротивление в жидком металлическом гелии в широком диапазоне плотностей и температур. Для всех указанных характеристик металла использовалась теория возмущений по потенциалу электрон-ионного взаимодействия. В случае электронов проводимости применялось приближение случайных фаз при учете обменного взаимодействия и корреляций в приближении локального поля. Для ядерной подсистемы использовалась модель твердых сфер. Диаметр этих сфер является единственным параметром теории. Оценка диаметра и плотности системы, при которой происходит переход гелия из однократно в двукратно ионизированное состояние, проведена на основе анализа парного эффективного взаимодействия между ядрами гелия. Рассмотрен случай двукратно ионизированных атомов гелия. При численных расчетах учтены члены теории возмущений до третьего порядка включительно. Роль поправки третьего порядка во всех случаях значительна. Электрическое сопротивление и его температурная зависимость для металлического гелия имеют вид, характерный для двухвалентных простых жидких металлов. Значения термодинамических параметров — плотностей температуры и давления — укладываются в диапазон значений, характерных для центральных областей планет-гигантов. Это позволяет предположить существование гелия в металлическом состоянии в пределах солнечной системы.
001: 10.7868/80044451013010182
1. ВВЕДЕНИЕ
Проблема металлизации веществ, находящихся при нормальных условиях в газообразном состоянии, давно привлекала внимание физиков. Развитие экспериментов по ударному сжатию вещества наконец сделало возможной металлизацию некоторых из них [1,2]. Так, в 1996 1999 гг. были получены и достаточно основательно изучены в металлическом состоянии водород и дейтерий [3 5], в 2001 г. кислород [6], в 2003 г. азот [7]. Экспериментально получить гелий в металлическом состоянии до настоящего времени не удалось. Теоретическое изучение процесса возможной металлизации гелия идет более результативно, хотя общее количество работ по этой тематике сравнительно невелико. Согласно одной из первых работ [8], для металлизации гелия при низких температурах необходимо давление 100 Мбар, что делает его существование в металлическом состоянии даже в центральных областях планет-гигантов солнечной сис-
Е-таП: 1,аг\га1(й brppzein.net
темы нереальным. Используя квантовый метод молекулярной динамики, авторы работы [9] получили достаточно неожиданный результат: переход металл диэлектрик в жидком гелии может происходить уже при плотности 1 г/см3. В работе [10] для получения уравнения состояния твердого гелия использовался квантовый метод Монте-Карло. Результаты авторов состоят в том, что переход металл диэлектрик должен происходить при плотности 21.3 г/см3 и давлении 25.7 Мбар. В работе [11] уравнение состояния и коэффициент электропроводности гелия были вычислены в рамках метода молекулярной динамики с использованием для электронной подсистемы метода функционала плотности. Авторы утверждают, что температура критическим образом влияет на электронную структуру гелия. Если при нулевой температуре запрещенная зона исчезает при плотности 13 г/см3, то при температуре 20000 К она исчезает при плотности 6.6 г/см3. Последние значения плотности и температуры уже вполне могут быть достигнуты в центральной области Юпитера. Из изложенного следует, что все расчеты разнообразных свойств металлического гелия выполнены методами математического моделирова-
пня н но вполне согласуются между собой. Данная работа посвящена применению к изучению различных свойств металлического гелия аналитических методов. В первую очередь предметом исследования данной работы является уравнение состояния металлического гелия. Для нахождения единственного параметра теории диаметра твердых сфер исследуется парное эффективное можионноо взаимодействие по аналогии со случаями металлического водорода и других простых металлов [12 15].
Одной из основных теорий, на которых базируется современная физика металлов, является теория псевдопотенциалов [16]. В рамках этой теории для электронов проводимости потенциал элок-трон-ионного взаимодействия определенным образом заменяется псевдопотенциалом. Если ряд теории возмущений для какого-либо свойства металла по степеням электрон-ионного взаимодействия сходится, то после замены потенциала псевдопотенциалом сходимость ряда усиливается настолько, что для большинства металлов достаточно учитывать первые несколько его членов [13]. Однако псевдопотенциал имеет настолько сложную структуру, что построить его ab initio для неупорядоченных металлов невозможно. Обычно используют различные модельные псовдопотонциалы, содержащие подгоночные параметры. Эти подгоночные параметры достаточно легко находятся при наличии для данного металла достаточно разносторонней и богатой экспериментальной информации. При отсутствии такой информации использование теории псевдопотенциалов резко усложняется. Исключением является тот случай, когда электрон-ионное взаимодействие оказывается кулоновским, т. е. когда атом теряет вследствие ионизации все свои электроны. Для такой системы псовдопотонциал и потенциал тождественно совпадают и число подгоночных параметров теории резко сокращается. К счастью, именно такой системой является металлический водород. Теоретическое описание его различных электронных свойств содержит лишь один внешний параметр диаметр твердых сфер, который также может быть рассчитан, хотя и с ограниченной точностью. Такой системой является и металлический гелий с двукратно ионизованными атомами. Для экспериментаторов в данный момент больший интерес представляет металлический гелий с однократно ионизованными атомами, поскольку реализация металлического состояния в этом случае требует меньших давлений, плотностей и температур. Объектом нашего изучения будет как раз металлический гелий, состоящий из электронов проводимости и ядер. Нам кажется целесообразным
на данном этапе теоретических исследований металлического гелия выполнить «то, что можно, так как нужно», предварив этими расчетами неизбежный следующий этап исследований «то, что нужно, так как можно».
2. ГАМИЛЬТОНИАН
В приближении почти свободных электронов гамильтониан электронной подсистемы металлического гелия можно взять в виде, подобном виду для простых жидких металлов [16,17]:
Н = /1, + //г + /1,(.
Гамильтониан ядерной подсистемы имеет следующий вид:
ЛГ 1
Н' = Е Г» + 2Г £ ИЧ)^(-Ч) - ^ •
п I С1
Первый член в правой части описывает кинетическую энергию ядер, второй кулоновскую энергию их взаимодействия. Здесь V объем системы, Щ количество ядер в системе, Тп кинетическая энергия /¿-го ядра, \~ц(ч) = 4тгг2е2/</2 фурьо-образ потенциальной энергии кулоновского взаимодействия между ядрами гелия, г = 2; р'(ц_) фурьо-образ плотности ядер. Для достаточно высоких температур, рассматриваемых в дальнейшем, ядерную подсистему можно считать классической. Для описания вырожденного электронного газа воспользуемся представленном вторичного квантования по плоским волнам. В этом случае
я0 = $>4«к + к
ч
Первый член в правой части описывает кинетическую энергию электронного газа, второй кулоновскую энергию взаимодействия электронов. Здесь «к операторы рождения и уничтожения электронов в состоянии с волновым вектором к, е* = Н2к2/2 т энергия свободного электрона, Уее(ч) = 4тге2 / у2 фурьо-образ потенциальной энергии кулоновского взаимодействия между электронами, рс:{ц) фурьо-образ оператора электронной плотности, Лгс оператор количества электронов.
Гамильтониан кулоновского взаимодействия электронов с ядрами имеет следующий вид: 1 ^
Ни: = у УгС{11)р1{ч)рс{-ч),
ч
где Т4;(</) = —4тгге2/</2 фурьс-образ потенциальной энергии кулоновского взаимодействия между электронами и ядрами гелия. Условие электрической нейтральности системы можно учесть в исходном гамильтониане, опустив в каждой сумме слагаемое с д = 0.
3. ВНУТРЕННЯЯ ЭНЕРГИЯ
Внутреннюю энергию системы можно получить усреднением гамильтониана по каноническому ансамблю Гиббса:
Е = (Н,) + (Нс) + (Нк.).
Для вклада в энергию ядерной подсистемы это выглядит как
/•-', = квт + д-^ I ;,(>/) [$(«) -1] •
ч
Штрих у знака суммы означает отсутствие слагаемого с д = 0, Т абсолютная температура системы. Второе слагаемое в правой части называется энергией Маделунга, точность ее вычисления зависит от характера приближения, использованного для статического структурного фактора ядерной подсистемы 5'г(у). В качестве последнего мы в дальнейшем будем использовать структурный фактор системы твердых сфер. Он параметрически зависит от плотности ядер, диаметра твердых сфер и плотности их упаковки. При заданной плотности независимым параметром является, например, лишь диаметр твердых сфер.
Энергию электронной подсистемы и энергию взаимодействия электронной и ядерной подсистем удобно рассматривать вместе. Их сумму энергию основного состояния электронного газа в поле ядер можно разложить в ряд по степеням электрон-ядерного взаимодействия [13]:
Е(. — "У ^ Еп.
п=0
В свою очередь, в каждом порядке по электрон-ядерному взаимодействию соответствующий вклад следует разложить в ряд по электрон-электронному взаимодействию. Член нулевого порядка по электрон-ядерному и электрон-электронному взаимодействиям это кинетическая энергия
идеального электронного газа. При низких температурах (квТ/ер -С 1, ер энергия Ферми)
1.105
Здесь введен параметр неидеальности Бракнера г,, равный радиусу сферы, объем которой совпадает с объемом системы, приходящимся на один электрон. В первом порядке по электрон-электронному взаимодействию вклад в энергию называется энергией Хартри Фока. Для его получения следует учесть вклад в гамильтониан системы от электрон-электронного взаимодействия, где в качестве структурного фактора 5'с((/) достаточно взять структурный фактор идеального электронного газа [18]. В результате имеем
Енр
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.