796
ХОКОНОВ и др.
УДК 621.3.049.77:533.75
УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ МОНОСЛОЯ КРИПТОНА
НА ПОВЕРХНОСТИ ГРАФИТА © 2009 г. А. Х. Хоконов, М. Х. Долов, Г. Н. Кочесоков, Л. А. Хамукова
Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова, г. Нальчик
Поступило в редакцию 04.03.2009 г.
РАСЯ: 34.35.+а
ВВЕДЕНИЕ
Монослои инертных газов на поверхности графита представляют интерес как двухмерная система с большим разнообразием поверхностных структур и фазовых переходов между ними. Экспериментально и теоретически хорошо изучена соразмерная с подложкой структура 43 х л/Зя 30° [1, 2]. Для получения уравнения состояния авторы воспользовались методом молекулярной динамики, успешно применяемым к ван-дер-ва-альсовским системам [3]. Давление для двухмерного газа связано с радиальной функцией распределения соотношением
вР = 1 - А в ^ r 2dr, (1)
v v 2 J dr
0
где f(r) — функция радиального распределения; и (r) — межатомный потенциал; p, T — давление и абсолютная температура системы соответственно; v = V/N — объем, приходящийся на одну частицу в двухмерной системе; V, N — объем и число
частиц в системе соответственно; 6 = -1, k — по-
kT
стоянная Больцмана.
Парный потенциал взаимодействия между атомами криптона задавался в виде потенциала Леннарда-Джонса:
УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ МОНОСЛОЯ КРИПТОНА НА ПОВЕРХНОСТИ ГРАФИТА
797
f(r)r х 10-2, А- 2 1.75
1.50
1.25
1.00
0.75
0.50
0.25
0
(P/Pc) х 10
40 -
♦ 1 35 - \
-2
30 - \
25 - \
20 а\
♦
♦ ♦ 15 -
-^- 10 -
♦ ж
5 -
10 r, А
Рис. 1. Радиальная функция распределения физад-сорбированного слоя криптона на поверхности графита при V = 44 А2, Т = 65 К и амплитуде потенциала взаимодействия криптона с подложкой У^к = 4 К : 1 — результаты численного моделирования, 2 — функция радиального распределения в нулевом приближении ./¿(г) ~ ехР[—Рм(г)] с потенциалом (2).
1 2
20
40
60
80 100
120 140 v, А2
Рис. 2. Уравнение состояния криптона на графите при Т = 100 К, полученное с помощью радиальной функции распределения: 1 — результаты численного моделирования, 2 — аппроксимация по уравнению Ван-дер-Ваальса.
3
2
4
6
8
u(r) = 4е
(2)
(;Г - (=)
где а = 3.63 А; б — глубина потенциальной ямы, а г/к = 165.3 К.
На рис. 1 представлена функция радиального распределения атомов криптона на поверхности графита (0001).
Подставив радиальную функцию распределения для различных значений плотности (удельного объема) в уравнение (1), получим уравнение состояния криптона, представленное на рис. 2.
Равновесное расстояние между атомами криптона в адсорбированном слое примерно такое же, как и между изолированной парой атомов криптона, равное Я0 = 21/6а = 4.01 А, где а — расстояние, при котором межчастичный потенциал (2) обращается в нуль. Взаимодействие с подложкой при нулевой температуре недостаточно, чтобы атомы заняли минимумы потенциала подложки. Однако при увеличении температуры вследствие теплового расширения двухмерного кристалла криптона это становится возможным. Расстояние между ближайшими шестигранниками, образованными атомами углерода, равно 2.46 А. Размещение атомов криптона на таком расстоянии энергетически не выгодно из-за сильного ван-дер-ваальсовского отталкивания. Поэтому реализуется конфигурация, когда атомы криптона занимают центры ячеек, следующие за ближайшими, что приводит к образованию соразмерной с
подложкой фазы л/3 х 30 ° с постоянной сверхрешетки ас = 4.26 А.
На расстоянии г над базальной плоскостью графита периодический потенциал подложки,
действующий на атомы ксенона, можно записать в виде разложения по двухмерным векторам обратной решетки
(3)
Vs( x, y, z) = ^Vg( z )exp( igr),
где g = т1Ъ1 + т2Ъ 2 — вектор обратной решетки графита. Коэффициенты V быстро спадают с увеличением модуля g, и можно ограничиться ближайшими к началу координат шестью векторами, что приводит к следующему двухмерному потенциалу:
V(x, y) = Vo + 2 V {cos (gox)
cos
g0(x - y/3) 2
+ cos go(x + W3) _ 2 _
где g0 = 4л/3d, ad = 1.418 А. Для сверхрешетки
V3 x V3R30° базисные векторы определяются координатами
a, = с(1,- =21) и„ = с(j,f),
где c = 4.26 А. Соответствующие базисные векторы обратной решетки равны
b, = (2л/c)(l,и b2 = (2Vс)^).
Образование соразмерных с подложкой фаз удобно характеризовать параметром порядка
Ф = ^ Elcos (bir,) + cos (b 2r) + cos[(bi + b 2)]}}.
Значение параметра порядка Ф меняется от нуля для случая несоразмерной с подложкой фазы до единицы, когда атомы криптона займут минимумы потенциала подложки. Отметим, что пара-
g
798
ХОКОНОВ и др.
U/s 2
1
0
-1
-2
10
20
30
40
50 T, K
Рис. 3. Внутренняя энергия монослоя криптона на поверхности графита при V = 28.55 А2 с учетом взаимодействия с потенциалом подложки: 1 — результаты численного моделирования.
метр порядка Ф представляет собой монотонную кривую, меняющуюся от 0 до 1 при увеличении амплитуды взаимодействия адатомов криптона с графитовой подложкой.
Экспериментально образование симметричной фазы можно идентифицировать по особенностям в поведении структурного фактора рассеяния
5 (q)=
N
^ exp(/qrt)
k = 1
где q = Ь^ + Ь 2#2 - волновой вектор, соответствующий переданному решетке продольному импульсу в случае рассеяния поверхностью зондирующих частиц (молекулы, электроны и рентгеновские фотоны).
РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
Моделирование состоит из следующих этапов. Первоначально адатомы равномерно размещаются на подложке. Размеры допустимой прямоугольной области Ьх и Ьу должны согласовываться с рельефом подложки, чтобы избежать разрывов потенциала при реализации периодических граничных условий. Число адатомов и площадь подложки определяют плотность в системе р = = Ы/(ЬхЬу). Начальные скорости и их направления задаются случайным образом и переопределяются с целью исключить движение системы как целого, что соответствует переходу в систему цен-
тра масс. Температура определяется по средней кинетической энергии частиц после приведения системы к термодинамическому равновесию. Зависимость внутренней энергии U от температуры (калорическое уравнение состояния системы) показана на рис. 3.
Полученное в результате моделирования уравнение состояния газа аппроксимировалось уравнением Ван-дер-Ваальса
fp+aV-*)=(4)
\Po v ) 8
где давление p0 = s/l2, а l — характерная длина, равная в нашем случае 1 Ä. Параметры a и b находились путем аппроксимации результатов моделирования уравнением (4), что дало значения a = 6.33 Ä4 и b = 6.41 Ä2. Соответствующая критическая температура монослоя криптона определяется постоянными a и b и равна 48.5 ± 0.5 K. Эти результаты хорошо согласуются с данными работы [1]. Численное интегрирование уравнений движения адатомов основывалось на методе Рун-ге—Кутта четвертого порядка [4].
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Соразмерная с подложкой фаза л/3 х V3R30° возникает в широком интервале температур Т = = 10—48 K при амплитуде потенциала взаимодействия адатомов с подложкой V\/k = 19 К. Метод молекулярной динамики дает возможность получить уравнение состояния монослоя инертного газа, взаимодействующего с базальной плоскостью графита. Уравнение хорошо аппроксимируется ван-дер-ваальсовской зависимостью, что позволяет выразить критическую температуру через постоянные Ван-дер-Ваальса.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Houlrik J.M., Landau D.P., Knak Jensen S.J. Krypton Clusters Adsorbed on Graphite: А Low-Temperature Commensurate-Incommensurate Transition // Phys. Rev. E. 1994. V 50. № 3. P. 2007.
2. Khokonov A.Kh., Kokov Z.A., Karamurzov B.S. Inelastic Diffraction of He Atoms from Xe Overlayer Adsorbed on the Graphite (0001) // Surf. Sci. Letters. 2002. V. 496. № 1-2. P. 13.
3. Куксин А.Ю., Норман Г.Э., Стегайлов В.В. Фазовая диаграмма и спинодальный распад метастабильных состояний леннард-джонсовской системы // ТВТ. 2007. Т. 45. № 1. С. 43.
4. Хайрер Э., Нёрсетт С. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1990. 512 с.
0
2
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.