ВЕСТНИК ЮЖНОГО НАУЧНОГО ЦЕНТРА РАН Том 3, №4. 2007, стр. 19-25
МЕХАНИКА
УДК 539.3
УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ПРЕДНАПРЯЖЕННОЙ ПЬЕЗОАКТИВНОЙ СРЕДЫ ПРИ НАЛИЧИИ ВНЕШНЕГО ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ
© 2007 г. О.В. Евдокимова1, Т.И. Белянкова2, В.В. Калинчук3
В системе координат, связанной с начально-деформированной конфигурацией тела, проведена последовательная линеаризация определяющих соотношений нелинейной механики электромагнитной среды. Предполагается, что начальное напряженное состояние пьезоактивного полуограниченного тела создается как за счет воздействия механических усилий, так и за счет воздействия внешнего электростатического поля. В линеаризованных уравнениях движения и граничных условиях удержаны все члены, которые содержат квадраты вектора напряженности электрического поля. Окончательные выражения, описывающие движение преднапряженной электроупругой среды, построены безотносительно к выбору криволинейной системы координат и представлены в компактной форме.
Линеаризация нелинейных уравнений механики электромагнитной среды, находящейся под воздействием механических напряжений в отсутствие внешнего электростатического поля, была проведена в [1]. Изучено влияние начальных механических напряжений на классы симметрии различных типов пьезоэлектриков. Линеаризация нелинейных уравнений механики электромагнитной среды, находящейся под воздействием внешнего электростатического поля, в декартовой прямоугольной системе координат была проведена в [2]. В работе использовалось традиционное для исследований в области акустики компонентное представление тензоров.
1. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОУПРУГОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КООРДИНАТАХ
В рассмотрение вводятся отсчетная и актуальная V-конфигурации (соответственно до и после действия массовых и поверхностных сил). В отсчетной конфигурации положение материальной точки задается радиусом-вектором
1 Кубанский государственный университет. Краснодар.
2 Научно-исследовательский институт механики им. И.И. Воровича Южного федерального университета, Ростов-на-Дону.
3 Южный научный центр Российской академии наук, Ростов-на-Дону.
г = с/2, в актуальной - радиусом-векто-
ром К = цг, I) непрерывными и требуе-
мое число раз дифференцируемыми функциями. Тем самым определены отсчетная г'-конфигура-ция с материальной системой координат а,, а2, аъ (Лагранжа) и актуальная У-конфигурация с пространственной системой координат Х{, Х2, (Эйлера), с векторами основного базиса
■ дат . дХ
— и К* ~ 1т взаимного базиса
г =1„-— и К и У-операторами
дат дХт
V, - гк -— и V = К^. -— соответственно.
Рассмотрим в пространственных координатах задачу о колебаниях электроупругой среды, занимающей некоторый объем V, ограниченный поверхностью О = Ох + 02 = 03 + 04. Полагаем, что на части поверхности Ох задан вектор И*, определяющий перемещение точек среды, на другой части поверхности Ог заданы механические
напряжения Ц. На металлизированной части поверхности Оъ задан электрический потенциал ф*, на части поверхности 04, которая также может быть частично металлизированной, задано распределение заряда g*. Краевая задача описывается уравнением движения
У-(Т + М) = рК, (1.1)
О.В. ЕВДОКИМОВА и др.
20
уравнением вынужденной электростатики
У-0 = 0 (1.2)
и граничными условиями К.(Т + М)|
(1.3)
<р|^=ф\ N.01^
В представлениях (1.1)—(1.3) участвуют тензор напряжений Коши
Т^Г'С' С, (1.4)
электрический тензор Максвелла
М = е0ЕЕ-^Е0Е-Е1, (1.5)
вектор индукции
О = £()Е + р (1.6)
и вектор поляризации
р = -/-1Сгх*. (17)
Е = -Уф - вектор напряженности электрического поля, ф - электрический потенциал, С = У0К -тензор-градиент деформации, У = сЫ С - метрический множитель, I - единичный тензор, £о - диэлектрическая проницаемость, р — плотность материала. Вектор Хет и тензор являются производными термодинамического потенциала X = - скалярной функции, определяющей
запасенную энергию в процессе деформирования электроупругого тела и зависящей от тензора деформации Коши-Грина 8 и "материального" вектора напряженности электрического поля = -У0ф.
2. НАЧАЛЬНО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ СРЕДЫ
Предположим, что существует некоторая равновесная начально-деформированная конфигурация электроупругого тела, заданная радиусом-вектором = (х,1, Х12, Хз) и потенциалом ф,, которые определяют ее начальные параметры С, = Е, = Т, = Т(СИ ф,),
М1 = М(СЬ ф,) и р! = 0(С,, ф|). Здесь и далее индексом 1 обозначены значения соответствующих функций в начально-деформированном состоянии. Из представлений (1.4)-(1.7) видно, что градиент деформации задан в базисе естественной конфигурации, остальные параметры -в векторном базисе начально-деформированной конфигурации.
При линеаризации определяющих соотношений механики сплошной электромагнитной среды с учетом начального электростатического поля необходимо исходить из уравнений движения (1.1), уравнения электростатики (1.2) и граничных условий (1.3), заданных в базисе актуальной конфигурации. Процесс варьирования в этой конфигурации является достаточно сложным, поскольку возмущению должны подвергаться как описывающие напряженно-деформи-рованное состояние функции, так и сама актуальная конфигурация (т.е. векторный базис, а также определенный в этом базисе У-оператор). Чтобы избежать затруднений, связанных с варьированием базиса актуальной конфигурации, целесообразно, следуя [3, 4], представить задачу в базисе отсчетной конфигурации, в ней подвергнуть возмущению описывающие напряженно-деформированное состояние функции, а затем вновь вернуться к актуальной конфигурации. В качестве исходных параметров, определяющих равновесную начальную конфигурацию, будем использовать определенные в естественной конфигурации тензор напряжений Пиолы
П, =У1С7Г-Т„
электрический тензор Пиолы-Максвелла
ш, =JíCf ■М1
и "материальный" вектор индукции
В работе [1] были построены определяющие соотношения динамики преднапряженной среды в базисе естественной конфигурации. Краевая задача относительно неизвестных возмущений перемещения и и потенциала ф описывается линеаризованной системой уравнений
У0.ЦТ+т-) = р0 и, (2.1)
V» с!" = 0. (2.2)
и линеаризованными граничными условиями
п (П* +лГ)| =г\ и| = и*,
Ц °2 (23)
п-<Г|лз=-*\ Ф|„4=Ф*.
Здесь
+ х^0и, (2.4)
ш* - бо^с;7" • [(IV, • и - У,!!7")- м, +
+ (2.5)
М^еа^+^-ад^Мд, (2.6)
<Г = е0У|С~7-[У| иЕ, -У^-Е, + Е'] +
+ (2.7)
Е' = -У|||-Е, -
(2.8)
Из формул (2.4)-(2.8) видно, что в представлении тензора пГ и векторов <1" и Е*, определяющих электрическую составляющую варьированного напряженного состояния в естественной конфигурации, участвует оператор V,, определенный в базисе начально-деформированной конфигурации. Это обусловлено пространственной формой представления характеристик электрического поля. Далее, поскольку возмущения малы по сравнению с начальным состоянием, различием между актуальной и начально-деформированной конфигурациями будем пренебрегать [5, 6]. Для перевода представлений (2.4)-(2.8) в актуальную конфигурацию введем в рассмотрение тензоры
ГГ = У,С~7 0, (2.9)
(2.10) (2.11)
го' = У,С,7
|1' = J]C~T Д.
Подставляя представления (2.9)-(2.11) в линеаризованные уравнения (2.1), (2.2) и граничные условия (2.3), получаем
Уо-у.сгЧе+^Рои,
' У0-У,СГг-Д = 0, п У,С "7-(© + Ю1, =Г
п-У,С"Г-А|
(2.12)
(2.13)
(2.14)
'»3
■8 ■
Для последующего преобразования выражений (2.12)—(2.14) с целью перехода в векторный базис актуальной конфигурации используем тождество Пиолы
Уо.(ЛС^) = 0 (2.15)
и формулу преобразования ориентированной площадки (>! в естественной конфигурации (п - вектор нормали, Ао - площадь), в ориентированную площадку О, в актуальной конфигурации ^ - вектор нормали, а0 - площадь в соответствующем базисе)
N <Ю = УС'1 • I\йо = Уп • С ~Чо. (2.16)
Учитывая формулу (2.15) в представлениях (2.12) и (2.13), формулу (2.16) в выражении (2.14), после необходимых преобразований получим линеаризованные уравнения движения и граничные условия преднапряженной электроупругой среды, определенные в базисе начально-деформированной конфигурации
У1(© + (д,) = р|и,
V, .д = 0,
N•(0 + 1-4, =г,
N^103=-*'.
(2.17)
(2.18)
(2.19)
Для перехода от возмущенных граничных условий в естественной конфигурации к возмущенным граничным условиям в актуальной конфигурации использованы обозначения
д.о , ёо * г =-г , а =-а .
ао аоч
(2.20)
Окончательно линеаризованные уравнения движения и граничные условия преднапряженной электроупругой среды в базисе начально-деформированной конфигурации задаются тензором © (играет роль тензора напряжений Коши), тензором ц (играет роль электрического тензора Максвелла) и вектором А (играет роль вектора электрической индукции).
Подставляя выражение (2.4) в формулу (2.9), получаем
© = УГ'сГ • [(хк ■ С, • ?0иг - X™ • ?0ф) • С, +
+ х!гМ (2.21)
Нетрудно заметить, что тензор 0 в форме (2.21) представляет собой функцию, отнесенную к векторному базису актуальной конфигурации, но заданную в базисе отсчетной конфигурации. Для полного преобразования тензора 0 к базису начально-деформированной конфигурации используем формулы [3]
У0и = СгУ,и, У0иг = У,иг -С[.
Введем в рассмотрение тензоры
Хвуу ~ 'Хяуу ' х _ ,-\ст I г (2.22)
Х5 = Jx С( • ■ С,.
22 О.В. ЕВДО!
Выражения (2.22) представляют собой производные термодинамического потенциала по тензорным аргументам, заданные в начально-де-формированном состоянии и связанные с тензорами, характеризующими упругие, электрические и пьезоэлектрические свойства материала среды, соотношениями, аналогичными соотношениям связи между тензорами Кирхгофа и Ко-ши. В результате представление (2.21) можно переписать в виде
+ Х5-V.il. (2.23)
Для вычисления тензора ^ и вектора Л подставим выражения (2.5) и (2.6) в формулу (2.10), выражение (2.7) в формулу (2.11) и используем представление (2.22)
|1 = Е0[(171-и-71и7')-М1-
-Ме • (У,и-Е1 + У,ф)], (2.24)
М1Е=е0(Е]Ь,п + Е^)!*^,
А = е0[У, -иЕ, -(У,иг + У,и)-Е, -У,ф] +
+ • (2.25)
Формулы (2.23)-(2.25) представляют собой заданные в базисе начально-деформированной конфигурации функции, определяющие напряженное состояние и электрические свойства электроупр
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.