Автоматика и телемеханика, № 8, 2015
© 2015 г. В.М. СУХАНОВ, д-р техн. наук (suhv@ipu.ru), А.В. СИЛАЕВ, канд. техн. наук (silaev@ipu.ru), В.М. ГЛУМОВ, д-р техн. наук (vglum@ipu.ru) (Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва)
УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ СВОБОДНОЛЕТАЮЩЕГО КОСМИЧЕСКОГО РОБОТА ДЛЯ ЗАДАЧ УПРАВЛЕНИЯ НА ОСНОВЕ ОБРАТНЫХ СВЯЗЕЙ
Получена математическая модель свободнолетающего космического робота в режиме манипуляционного функционирования в инерциальном пространстве, которая в явном виде содержит координаты отклонения концевой точки манипулятора от цели. Предложена методика учета использования самотормозящихся приводов манипулятора в модели движения. Рассмотрены некоторые вопросы допустимого упрощения модели космического робота. Приведены результаты числового моделирования, подтверждающие ожидаемую близость динамики процессов в исходной и редуцированной системах при выполнении установленных условий малости шарнирных скоростей манипулятора.
1. Введение
В связи с расширением практического освоения космоса и возрастанием срока службы космических объектов возникает необходимость развития средств их монтажа, контроля, ремонта и технического сопровождения на орбите. Эти задачи позволяют решать свободнолетающие космические ма-нипуляционные роботы (КМР). КМР представляет собой манипулятор, закрепленный на маломерном управляемом космическом аппарате (несущем теле). В [1] дан обзор методов управления и экспериментального исследования КМР, а также перечислены некоторые основные проблемы, с которыми приходится сталкиваться разработчикам подобных объектов.
К указанным проблемам, в частности, можно отнести следующие. Во-первых, влияние движения манипулятора на движение несущего тела делает невозможным раздельное рассмотрение этих движений, что существенно усложняет задачу разработчиков систем управления КМР. Во-вторых, принципиальная нелинейность уравнений движения не только затрудняет исследования, но и приводит при определенных условиях к возникновению особых состояний (динамических сингулярностей [2]), нежелательных с точки зрения манипуляционного достижения цели. И, наконец, малая мощность приводов манипулятора, обусловленная весовыми ограничениями в космических системах, ограничивает величину эффективных шарнирных скоростей. Все это делает решение задачи управления движением КМР крайне сложным.
Одной из важных задач, которую необходимо решить, прежде чем приступать к разработке методов и алгоритмов управления космическим роботом,
является построение математической модели движения КМР, учитывающей специфику функционирования КМР в том или ином режиме. В [1] отмечено, что эта задача в каждом конкретном случае все еще является предметом исследования, поскольку от вида математической модели КМР зависит возможность применения известных методов управления движением и уровень сложности синтезируемых алгоритмов.
В работе решается задача формирования динамической модели КМР в режиме манипуляционного функционирования во внешнем (инерциальном) пространстве, содержащей в явном виде регулируемые координаты отклонения схвата манипулятора с удерживаемым грузом от целевой точки. Рассматривается возможность редукции модели КМР с самотормозящимися приводами манипулятора и определяются условия достаточной близости динамических свойств исходной и редуцированной моделей.
2. Исходные уравнения динамики КМР
Будем рассматривать КМР в виде механической системы, состоящей из несущего тела (корпуса) и шарнирно присоединенного к нему трехзвенного манипулятора, удерживающего полезный груз. Конфигурация КМР с удерживаемым им грузом (КМР-Г) в произвольный момент сборочного процесса схематически изображена на рис. 1. Здесь обозначено: (Хо, У0,$) = = (Я1,92, 9з) £ 90 - подвектор координат, определяющих положение корпуса КМР в условно инерциальной системе координат (СК) СХУ, оси которой связаны с обслуживаемым объектом; (а\,а2, аз) = (94,95, де) £ - подвектор координат (межзвенные углы), определяющих конфигурацию манипулятора в связанной с корпусом робота СК оху (при этом положительным направлением вращения г-го звена считается его угловое отклонение против часовой стрелки относительно продольной оси (г — 1)-го звена); а4 -фиксированный угол между осями груза и кистевого звена манипулятора; ом = (хм ,ум) - корневая точка манипулятора, оси которого (омхх, ому\) кол-
Рис. 1. Текущая конфигурация КМР.
линеарны соответствующим осям связанной СК; poc = (xc,yc) - переменный радиус-вектор, определяющий положение центра масс КМР с грузом (точка с) в связанной СК oxy. Звенья манипулятора и груз рассматриваются как одномерные тела с массой riii, длиной U h с собственным моментом инерции Jj, г = 1,4; гсл - расстояние от начала г-го звена до его центра масс (rc4 - смещение точки захвата груза s относительно его центра масс); rsa = l4 - расстояние от точки s до концевой (характерной) точки груза a; paA = (X£,Y£) - подлежащий регулированию вектор отклонения концевой точки груза a = (Xa, Ya) от целевой точки A = (Xa, Ya), определенных в инерциальной СК. При этом X£(t) = Xa — Xa(t), Y£(t) = Y a — Ya(t).
Для рассматриваемой механической структуры КМР-Г в [3] на основе уравнений Лагранжа второго рода были получены следующие уравнения плоского движения системы относительно обобщенных координат КМР, определяющих вектор q = (q0,qa):
aiiq'i + ai2<?2 + ai3q3 + auq4 + ai5q5 + awqe = Fx cos & — Fy sin & + fi(q, q), a2iq'i + a22q2 + a2393 + a24q4 + a25q'5 + a2eqe = Fy cos & + Fx sin & + f2(q, q), a3iq'i + a32q'2 + a33q3 + aMq4 + a35q5 + a3eqe = + f3(q, q), a4iqi + a42q2 + a43q3 + [(a44 + Jniip i)q4 + kaiq4] + a45q5 + a46qe =
(1) = ip i(ku iui — Mt i) + f4(q,q),
a5iqi + a52q2 + a53q3 + a54q4 + [(a55 + Jn2ip 2)95 + k«2q5] + a56q6 =
= ip 2(ku 2u2 — Mt 2) + f5(q,q),
aeiq'i + ae2q'2 + a^3q3 + a64q4 + a65q5 + [(aee + Jn3ip 3)90 + k^qa] =
= ip 3(ku 3u3 — Mt 3) + fe(q,q),
где Fx, Fy - управляющие силы по соответствующим осям связанной СК oxy; M$ - управляющий момент, формируемый исполнительным органом системы ориентации и приложенный к корпусу КМР; сц./, i,j = 1,6 - зависящие от координат вектора q коэффициенты, определенные в [3]; fi(q,q) = = к=\Щ k(l)QjQk) i = 1)6 - также определенные в [3] нелинейные члены, представляющие собой возмущения от Кориолисовых и центробежных сил; Jni, ''-pi, kài, kUi, Мтг, i = 1,3 - параметры приводов манипулятора КМР, использующих электродвигатели постоянного тока; щ, i = 1,3 — сигналы управления, подаваемые на входы электродвигателей.
В векторно-матричной форме систему (1) можно представить в виде
(2) A(q)q = M + f (q,q)
или
(3)
An(q) Ai2(q) _ A2i(q) A22(q) _
■ q0 ■ ■ M0 ■ + " f 0(q,q) '
qa _ Ma(u) _ . fa(q,q).
где Лц(ц), Л22(о) - (3 х 3)-симметричные матрицы моментов инерции КМР, определяющих соответственно движение несущего тела и движение манипулятора с учетом моментов инерции приводов; Л\2(о) = Л2\(ц) - (3 х 3)-мат-рицы коэффициентов взаимовлияния обеих механических подсистем КМР;
М° - вектор управляющих воздействий, прикладываемых к корпусу КМР; М а(и) - вектор моментов Мга = ¿рг(киг Щ — МТг) — ка г а — </пг2рг сц, создаваемых приводами манипулятора; и = (и1,и2,иэ) - управляющие напряжения на входах приводов; /°((, () = (/1, /2, /з)т, /а((, (?) = (/4, /5, /е)Т - векторные функции, содержащие нелинейные члены уравнений (1). Выражения для вычисления элементов а^ (?) матриц А11((), А12((), А22(?) и коэффициентов Ь-, /г = 1,6 векторов /а(д,д) приведены в [3].
3. Модифицированная модель движения КМР
Поскольку регулируемыми координатами в режиме манипуляционного сближения концевой точки груза с целью являются координаты Х£, Уе вектора раА и скорости их изменения, целесообразно перейти от модели (1) к модели движения КМР относительно этих координат, т.е. перейти от вектора к вектору (£ = (Х£,У£,'д). Это позволит в дальнейшем применить для управления движением КМР классические алгоритмы с использованием обратных связей по регулируемым координатам.
Для перехода от к (£ получим соотношения, связывающие координаты Х° с Х£ и У° с У£. Перенесем для удобства начало координат инерциальной системы координат СХУ из точки С в точку А, соответствующую заданному положению неподвижной цели, т.е. режим манипуляционного сближения устанавливаемого груза с целью будет предполагать перевод концевой точки груза в начало координат новой инерциальной системы АХУ.
Координаты концевой точки груза в новой СК определяются с помощью соотношений
(4) Ха = Х° + ХаС"д — Уа^, Уа = У° + Ха50 + УаС0,
из которых с учетом того, что в новой СК имеем Х£ = —Ха, У£ = — Уа, следует
(5) Х° = —ХаС^ + Уа^ — Хе, У° = — Жа^ — УаС^ — Уе,
где координаты ха, уа концевой точки груза в связанной СК определяются выражениями
(6) xa = хы + l¿Cai-¿, ya = ум + ^ liSai-i.
i=1 i=1
В (4)—(6) и далее используются следующие сокращенные обозначения:
n
Sa1-i = sin a1-i, Ca1-i = cos a1-i; ak_n = ^^ ai, k < n.
i=k
Подставляя (6) в (5), получим X0 = —X£ - I хм
(7)
Yo = -Ye - ( хм + liCa1-J Stf - ( ум + liSa1_i ) Ctf.
+ ^ liCa1_^ Ctf + ^ум + ^ liSa1_^ Stf,
4 N / 4
м
i=1 / \ i=1
4
4
Поскольку в модель (1) плоского движения КМР входят вторые производные Хо и Уо, то, дифференцируя дважды соотношения (7), получим
3
Xo = -X + ^ { ai
i=i
+ $ +$2
+
S ($ + a—)
j=i
4
XmS$ + УмС$ + liS($ + ai-i)
i=i 4
C$ - yuSV + li°($ + ai-i)
i=1 4
+ kai-iC($ + ai-i) + ^ k[(ai-i)2C($ + a—)]
+
+
(8)
i=i
i=i
Yo = -%-E
i=i
- $
+$
2
Y^lj C ($ + a-) j=i
4
- yuS$ + £ liC($ + ai-i)
i=i 4
XmS$ + yuC$ + E liC ($ + ai-i)
i=i
44
+ 2$ Y, l»ai-iS($ + ai-i) + E li[(ai-i)2S($ + ai-i)].
+
+
i=i
i=i
Подставляя выражения (8) в уравнения исходной модели (1) и переходя от вектора д = (д0,да) к вектору д = (д£,да), после несложных, хотя и трудоемких алгебраических преобразований получим условно названную модифицированной модель движения КМР, содержащую в явном виде вторые производные регулируемых координат Х£ и У£, определяющих отклонение концевой точки груза от цели.
Полученная указанным образом модифицированная модель КМР может быть представлена в сл
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.