ЭКОНОМИКА И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ, 2008, том 44, № 3, с. 79-91
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЭКОНОМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
УРАВНЕНИЯ МАКРОЭКОНОМИКИ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
© 2008 г. В. Е. Накоряков, В. Г. Гасенко
(Новосибирск)
В рамках монетарных моделей предложена система дифференциальных уравнений макроэкономики в частных производных гиперболического типа для совокупного потребления и предложения как функций двух независимых переменных — времени и индекса цен. Показано, что динамику изменения кривых спроса и предложения определяют два механизма — кинетика (или скорость установления равновесия между спросом и предложением) и кинематические волны инфляции и дефляции. Модель позволяет рассчитывать текущие значения спроса, предложения и уровня цен как при наличии динамического равновесия и пересечении кривых спроса и предложения, так и при отсутствии такого равновесия.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Пусть в некоторой экономике никогда не возникает стабильного состояния. Никогда не наступает баланс между спросом и предложением, между денежными массами разного типа. Развитие производства происходит непрерывно и зависит от времени и цены. Такое предположение делалось ранее в рамках монетарных моделей роста экономики (Tobin, 1965; Занг, 1999) и немонетарных (Гранберг, 1985; Solow, 1988; Накоряков, Гасенко, 2002, 2004). Допустим также, что в сфере предложения экономика стремится к равновесию, описываемому уравнением Фридмана (Friedman, Schwartz, 1963, 1982):
yi = Qi v/p, (1)
сфера потребления — уравнением Фишера (Dornbusch, Fisher, 1986)
У2 = Qi v/p. (2)
Здесь y1 и y2 — реальные величины предложения товаров и услуг потребления, соответственно; p — цена; Q1 и Q2 — номинальные денежные массы; v — скорость обращения денег. Предполагая, что практически всегда при средней цене на рынке p равновесие денежной массы и объем предлагаемого и потребляемого продуктов отсутствуют, запишем динамические уравнения:
d~y = а(Qi v/p - У! ), (3)
dt
dy = ß(Qi v/p - У2), (4)
dt
d d dp d и
где — = — + — — — полная производная по времени. На самом деле эти уравнения следует пе-dt dt dt dp
реписать в виде:
dt + ff = ki - yi), (5)
dt dt dp ( p )
^2 + dRdh = k2(Qiv - yi1 . (6)
dt dt dp 2( p У2) w
Для описания зависимостиp(t) воспользуемся уравнением Вальраса (Мэнкью, 1994; Lucas, 1973)
^ = кз (У2 - yi ). (7)
dt
В (5)-(7) кинетические коэффициенты к1, к2 и к3 представляют собой обратные времена установления равновесия уровня производства, потребления и уровня цен, соответственно.
В отличие от Фридмана, Фишера и их последователей будем считать, что точка равновесия — величина фиктивная, и экономика ее никогда не достигает.
Зависимости ух(р) и у2(р) формируются по времени. Задав исходное распределение ух(р, 0), у2(р, 0) и начальную массу денег, проследим за эволюцией системы. Разделим О на денежную массу предложения О1, денежную массу потребления О2 и деньги сбережения О3, О = О1 + О2 + О3. Считаем, что денежную массу генерирует государство. Государство выделяет бюджетную заработную плату, предприятия поддерживают некоторый фонд заработной платы. Объем сбережений зависит от процентной ставки. Будем задавать законы изменения общего объема денег и изменение по времени компонент денежной массы.
Описание динамики инфляционных процессов в дифференциальной форме и, в частности, в форме дифференциальных уравнений в частных производных кажется нам более предпочтительным, чем лаговая или дискретная формы, рассмотренные в (Тябин, 2001).
Приведем уравнение к безразмерному виду, используя значения переменных в начальный момент времени I = 0: р0 = р(0) — начальный уровень цен; у10 = у1(0, р0) — начальное предложение; у20 = у2(0, р0) — начальное потребление. Вводим безразмерные переменные р = р/р0 — индекс цен,
У (I, р) = у1/у10, У2 (I, Р) = у2/у2о и т = Iкз. Теперь уравнения (5)—(7) станут безразмерными и примут вид:
дУ- + = Л - У), (8)
д т а т др ^ р )
ду-+арду = - у), (9)
д т а т др ^ р )
а-Р = У2 - УУ1, (10)
ат
где у = ую/у20, кз = кзу20/Р0, ¿1 = О^/уюР0 и у2 = 02^/у20Р0 - безразмерные критерии, характеризующие процесс; а = к1/кз, р = к2/кз — безразмерные критерии Деборы . Поскольку у10 =
О1^/р0 и у20 = О2^/р0, начальное безразмерное количество денег ¿1 и у2 равно 1. С учетом (10) полная система (8)—(10) сводится к двум уравнениям в частных производных:
дУ1 + (У2 - ГУ1)дур = а№ - У1), (11)
д т ду К у )
дУ2 + (У2 - ГУ1)# = Р(р -У2). (12)
д т др ^ р )
Система (11), (12) является гиперболической. Она имеет две вещественные характеристики, одна из которых контактная, а вторая — звуковая (кинематическая), причем последняя превращается в контактную при У2 = у^ . Это означает, что решениями (11), (12) могут быть разрывные решения, проходящие по линии У2 = у^ и распространяющиеся с нулевой скоростью или с нулевой инфляцией.
1 Критерий или число Деборы (Ве), как отношение времени релаксации к времени наблюдения или времени процесса, впервые ввел в обращение для характеристики текучести вещества основатель реологии М. Рейнер в 1928 г. в
честь ветхозаветной прорицательницы и воительницы Деборы. Чем меньше число Деборы, тем менее постоянно характеризуемое этим числом явление. Быстропротекающий процесс при коротком времени наблюдения кажется постоянным и характеризуется большим числом Деборы (Ве > 1). С другой стороны, даже очертания материков за время геологических эпох будут характеризоваться малым числом Деборы (Ве ^ 1). Поэтому именно так трактуют популярную цитату ветхозаветной Деборы: "... и горы растеклись перед Господом" (Судьи 5:5).
В безразмерном варианте система (11), (12) включает два эгзогенных параметра Qi и Q2, зависящих от времени, а также три постоянных параметра а, р, у. В дальнейшем, не нарушая общности, начальный спрос и начальное предложение можно считать равными и исключить параметр у = y10/y20 = 1. В отношении зависимости Qi (т) и Q2 (т) ограничимся случаем разовой эмиссии денег в начальный момент времени на 20—30% до величины Qi, Q2 = 1.2—1.3.
Оценка величины безразмерных параметров Деборы в реальной экономике показывает, что в <§ а <§ 1, однако варьирование этих параметров будем проводить в больших пределах, чтобы выявить существование разных типов решений системы (11), (12).
Рассмотрим частные случаи уравнений (11), (12). Предположим, что цена в процессе эволюции не меняется, т.е. p = const. Тогда, как следует из уравнения Вальраса (7), либо к3 = 0, либо y1 = y2. Второй случай тривиален и возможен только при Q1 = Q2. Первый же случай в краткосрочном периоде вполне реален и может осуществляться за счет мер правительства по снижению инфляции до полного нуля. В этом случае система (11), (12) превращается в систему обыкновенных дифференциальных уравнений, в которых индекс цен является постоянным параметром
^i (Qi Л Тг = а( Q - 'О,
- (13)
dy2 _ в(Q2
-Т = Р( Р - У 2 ат V р
В этом случае решение задачи (13) с начальными условиями у: (0) = у2 (0) = 1 имеет вид:
У1 (т) = е-ат + а Ге-а(т - т,) Qi (т') dT = 1 + A Qi (1 - e-aT), Р J
0 (14)
(т) = e-ßT + |e-ß(T-T)Q2(t')dT' = 1 + AQ2(1 - e-ßT). p J
У2. .
Р
0
T
Решение (14) дано для разовой эмиссии в начальный момент времени вида Q1,2 (т) = 1 + A Q1,2 п(т), где п(т) — единичная функция Хевисайда. Решение (14) означает, что при нулевой инфляции предложение и потребление будут прирастать пропорционально вложенным средствам со своими постоянными времени т1 = 1/а и т2 = 1/ß.
В случае, когда инфляция постоянна (я = d lnp/dt = const), система (11), (12) упрощается:
dy1 ~ dy1 f Q1 —1 + np= al Р - У1J, dt dp 1 p
дУ2 У2 J Q2 - + Яр dp = - y2
(15)
Решения системы (15), дополненной начальными условиями, также могут быть найдены только численно и будут рассматриваться отдельно.
2. ПРИБЛИЖЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Представляет интерес исследование предельного случая очень маленькой величины параметра кз < 1 или, что эквивалентно, больших значений параметров Деборы (а, р > 1), отвечающих случаю квазизамороженных цен. Здесь конвективный член в уравнениях (8), (9) имеет пренебре-
ßp2/Q
4
II
III \ Устойчивый узел
Устойчивый фокус
-
I f 1 1 Седло 1 1 1 1
жимо малое влияние, цена выступает в качестве независимой переменной, а система (8)—(10) принимает вид обыкновенных дифференциальных уравнений:
& = а1
d т Г p
dy2 _ ofQ2
■У 1
d = ßl d т Г p
dp ~ ~ ~r = У 2 - У1. d т
У2
(16)
0
1
а p2/Q
Рис. 1. Типы особой точки системы уравнений (16) в плоскости параметров.
Проанализируем решения системы (16). В
случае 01 = 02 = 0 система (16) имеет множество особых точек равновесия, представляющих собой в трехмерном фазовом пространстве (ух, у2, р) гиперболу ух = у2 = 0 /р . Тип особых точек определяется характеристическим уравнением
а + к 0 а Q /p
0 ß + к аQ/p2
1 -1 к
= к[к2 + к(а + ß) + аß + (ß - а)( Q/p2)] = 0,
(17)
имеющим решения:
к 1 = 0, к2, з = - 0,5(а + ß)±(0,25(а - ß)2 + (а - ß)Q/p2)0,5.
(18)
Параметрическая зависимость типа особой точки от параметров представлена на рис. 1 в плоскости параметров ар1/О и Рр2/0. В области I при р < а/(1 + ар2 /0) особая точка является
3
2
1
1.3 1.2 1.1 1.0
10
т
0
2
4
6
8
0 2 4 6 8 10
т
Рис. 2. Решение системы уравнений (16) при а = = 1.8, в = 1.2, 0\ = 02 = 1.2, где кривая 1 описывает предложение, 2 — потребление, 3 — индекс цен. Особая точка — устойчивый узел.
Рис. 3. Решение системы уравнений (16) при а = = 0.8, в = 1.2, = 02 = 1.2, где кривая 1 описывает предложение, 2 — потребление, 3 — индекс цен. Особая точка — устойчивый фокус.
неустойчивой седловой точкой, в области II при а > ß > 4 Q /p — а — устойчивой седловой точкой, а в области III при 4Q/p2 — а > ß > а/(1 + ap2/Q) — устойчивым фокусом. При этом точка бифуркации А имеет координаты op2/Q = 1 + л/5 « 3.24 и ßp2/Q = з - J5 « 0.76. Примеры решения системы
(16) при Q1 = Q2 = 1.2, ß = 1.2, когда достигается устойчивое равновесное состояние экономики, приведены на рис. 2, 3. В случае а = 1.8 > ß (рис. 2) новые равновесные значения y 1 = y 2 = 1.3 достигаются при снижении уровня цен, а в случае а = = 0.8 < ß (рис. 3) равновесное зна
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.