МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 1 • 2014
УДК 539.3
© 2014 г. Д. В. ГЕОРГИЕВСКИЙ
УРАВНЕНИЯ СОВМЕСТНОСТИ В СИСТЕМАХ, ОСНОВАННЫХ НА ОБОБЩЕННЫХ КИНЕМАТИЧЕСКИХ СООТНОШЕНИЯХ КОШИ
Выведены условия интегрируемости систем линейных дифференциальных уравнений в частных производных, основанных на обобщенных кинематических соотношениях Коши. Обобщение производится как на размерность евклидова пространства, так и на ранг объекта, в классическом случае соответствующего вектору перемещений. Условия интегрируемости, или уравнения совместности, записаны в виде равенства нулю всех компонент либо введенного в рассмотрение обобщенного тензора несовместности, либо полученного из него свертками с символами Леви-Чивиты обобщенного тензора Римана—Кристоффеля. Найдены ранги и число независимых компонент этих тензоров.
Ключевые слова: уравнения совместности, условия интегрируемости, тензор несовместности, тензор Римана—Кристоффеля, соотношения Коши.
1. Обобщенная кинематика и соотношения Коши. Пусть и{т} — тензорное поле ранга т > 0 в п-мерном евклидовом пространстве (п > 1) с введенной в нем декартовой системой координат (Ох^.лп). Это поле имеет декартовы компоненты ы^ Л :
и(т)(х) = ы^Лт(X)® е1я (1.1)
По повторяющимся два раза в одночлене малым латинским индексам (в том числе, как в (1.1), снабженных субиндексами) ведется суммирование от 1 до п. В безындексной записи ранг тензора указывается вверху в фигурных скобках.
Будем рассматривать абсолютно симметричные, т.е. симметричные по перестановкам любых двух индексов экстенсивы ы, л . С учетом этого требования в них из общего количества пт независимыми являются лишь Ст + п _ 1 = (т + п — 1)!/(т!(и — 1)!) элементов.
Пусть и{т}(х) удовлетворяет системе линейных уравнений в частных производных
ы(I , I ) = (т + 1)/: , (1.2)
('1 — 'т' 'т +1) у Я11... 1т +1 ^ '
с известными правыми частями [ 1 — л (х). В (1.2) и далее запятая в индексе означает
частное дифференцирование по соответствующей координате, а скобки в индексах — многомерное циклическое симметрирование
ы('1 •••'т' 'т + 1) _ ы>1--'т' 'т + 1 + ы>2--'т + 1' '1 + "' + Ы'т + 1(1"-'т - 1' 'т (1.3)
В силу (1.2) и (1.3) нетрудно заключить, что Г{т +1} так же, как и и{т}, абсолютно симметричный тензор, являющийся симметричной частью градиента тензора и{т}. Следо-
5 Механика твердого тела, № 1
129
вательно, система Ст + П уравнений (1.2) может рассматриваться как обобщенные соотношения Коши, причем по сравнению с классическими в кинематике сплошной среды соотношениями Коши (т = 1, п = 2 или 3) обобщение проводится как на многомерность пространства, так и на ранг т "вектора перемещений" и.
Проводя аналогию с кинематикой сплошной среды, поставим вопрос об условиях интегрируемости системы (1.2), или об уравнениях совместности, налагаемых на
Ст + 1 г
т + п независимых компонент Д г для однозначного нахождения Ст + п _ 1 независимых компонент Ы( 1 . Эти уравнения будут обобщениями тождеств Сен-Венана.
Введем аналог тензора поворотов g{m +1}:
и1 I I = Ъ I + 8 I (1.4)
'1-• • 'т' 'т + 1 •"1-■ ■ 'т + 1 °(1-• • 'т + 1 4 '
в силу (1.2) антисимметричного по циклическим перестановкам индексов
8('1 - ■ ■ ^ +1) = 0 (1.5) Для т = 0 следует положить g¡ = 0. Исходя из определения (1.4) имеем связь { с компонентами градиента тензора и{т}:
= __\_
8'1-■ ■'т + 1 и'1-■ ■'т' 'т + 1 т + \ ^('1 -' ' 'т' 'т + 1)
т 1 { , ч -и! ! !--(и' ' ' + ... + и, ' ' ' )
т + 1 '1-■ ■ 'т' 'т + 1 т + ^ '2 - ■ ■ 'т + 1' '1 'т + 1'1-■ ■ 'т- 1' 'т'
(1.6)
Для получения дифференциальных связей 1 1 и ^ 1 1 возьмем частные производные т-го порядка от обеих частей равенства (1.6):
8'1-■ ■'т + 1'Л-■ -1т и'1-■ ■'т' 'т + 1/\- ■ -1т ^ + \ ^('1 -' ' 'т' 'т + 1)'11-• -1т (1.7)
и представим правую часть (1.7) как линейную комбинацию Ст1т +1 слагаемых вида а/ку.. кт + ь 1у.. 1т (1 = 1, С2т + 1 ). Суммир°вание ведется по всем С2т +
1 перестановкам
2т + 1 нижних индексов у Г{т +1} (с учетом абсолютной симметрии по первым т + 1 и по последним т индексам). После этого подставим из (1.2) выражения Г{т +1} через и{т} и приравняем сумму к правой части (1.7). Получим систему линейных алгебраических
уравнений относительно С'тт +1 коэффициентов а1, после решения которой искомые
дифференциальные связи е, .■ и £ .■ находятся.
'1- ■ ■ 1т + 1 Ч-■ ■ 1т + 1
Описанный алгоритм из-за комбинаторных осложнений довольно непросто формализовать в замкнутом виде при любом т, поэтому для иллюстрации остановимся подробнее на частных случаях т = 1 и т = 2.
а) т = 1, п > 1; ^ = р, ;2 = д,= 5. Для классических соотношений Коши (1.2) и^, д) = = ир + ид = из (1.6) имеем gpq = («^ — ы9 ^,)/2, где и — вектор перемещений, Г{2! и g{2¡ _ тензоры малых деформаций и поворотов. Согласно изложенному выше алгоритму запишем
8р9' * = 1/2 (ир, ^ - и9'р5) = а\[М, в + а2Т93'р + а^ир, д (1.8)
Подставляя в (1.8) выражения fpq через градиенты перемещений, придем к системе трех (C™m + 1 = C3 = 3) уравнений относительно a1, a2 и а3:
a1 + a3 = 1, a1 + a2 = - 1, a2 + a3 = 0 Ее решение ai = 0, a2 = —1, a3 = 1 приводит к известным в МСС дифференциальным связям
gpq, s = fsp, q - fqs, p (1.9)
b) m = 2, n > 1. Соотношения (1.2), (1.5) и (1.6) перепишутся в следующем виде:
u(pq, s) ~ upq, s + uqs,p + usp, q = 3fpqs (1
gpqs + gqsp + gspq = 0 , gpqs = 2/3upq, s — 1/3(uqs,p — usp, q)
С другой стороны, вторые производные gpqs, rt представимы суммой десяти (Cr>mLm + 1 = = C5 = 10) слагаемых
gpqs, rt = afpqs, rt + a2^pqr, st + alfpqt, rs + a\fsrt, pq + afprs, qt + (111)
+ a(frqs,pt + alfpst, qr + a%fqst,pr + a9^prt, qs + awfqrt,ps
Подставляя в правую часть (1.11) выражения (1.10) и решая получившуюся систему десяти уравнений относительно a1, ... a10, найдем:
a1 = 0, a2 = a3 = a4 = 1, a5 = ... = al0 = -1/2
Заметим, что в обоих приведенных примерах
f-m
c2m +1
Е a> = 0
i = i
Итак, в случае любого m > 0 дифференциальные связи симметричной и антисимметричной частей градиента u{m} включают частные производные по координатам порядка
m и с некоторой степенью условности могут быть записаны следующим образом:
m
C2m +1
gh-im + bh-Jm = Е aifk1'km + 1, h ■■■ 'm (U2)
I = 1
где I — номер сочетания {l1.lm}.
Уравнения совместности в терминах ft непосредственно следуют из (1.12) и
требований равенства смешанных производных (m + 1)-го порядка:
g......(f{m +1}) = g......(f{ m + 1}) (113)
1 — im + 1'11-Jm - 1lm)m + Л ' 5i1 -im + bJvJm - 1jm + ЛЛ '
Так для m = 1 и m = 2 на основании (1.9) и (1.11) имеем
gpq, st = gpq, ts ^ fps, qt - fqs,pt = fpt, qs - fpt, qs
(1.14)
gpqs, rtu gpqs, rut ^ fpqt, sru + fsrt, pqu
1/2 Сfpst, qru + fqst, pru + fprt, qsu + fqrt, psu) fpqu, srt + fsru, pqt
(1.15)
- 1/2 (fpsu , qrt + fqsu,prt + fpru, qst + fqru,pst)
5* 131
2. Тензор несовместности, его ранг и число независимых компонент. Уравнения совместности удобно представлять в виде равенства нулю всех компонент так называемого тензора несовместности (см., например, [1, с. 218; 2, с. 11]), определяемого в МСС (т = 1) в двумерном (п = 2) и трехмерном (п = 3) случаях следующим образом:
п = 2: 2}) = к п = 3: 2}) = Ьри^дц/ц, ¡к (2Л)
где ей и ерц — двух- и трехиндексные символы Леви-Чивиты. Видно, что ранг тензора п зависит не только от ранга т кинематического объекта и{т}, но и от размерности пространства п. При т = 1 в плоской задаче п — скаляр, в трехмерной — симметричный тензор второго ранга. Его также называют тензором Крёнера и обозначают п{2} = 1пкГ{2!.
В п-мерном пространстве (по-прежнему полагаем т = 1) тензор несовместности [3—7] имеет ранг 2(п — 2):
• • 'п - 2)\-■ -}п - 2(f ) = £'1 • • • 'п €Л- • -]11п)п - 1> 'п - Л (2.2)
где ег I — п-индексный символ Леви-Чивиты. При п > 4 тензор п{2(п-2)} (2.2) антисимметричен по любой паре как из (п — 2) своих первых индексов, так и из (п — 2) последних, а при п > 3 симметричен по перестановке набора из (п — 2) первых индексов с набором из (п — 2) последних.
Обобщая (2.2) на случай любого т, можно записать
П'11-• • '1; п - 2 • • • 'ж + 1; 1- • • 'ж + 1; п - 2 ^11 •• • '1п '' ^'ж + 1; 1-• • 'ж + 1; п Х ,,
(2.3)
X /■
'1п'2; п - 1 'зп • ■ ■ 'ж + 1; ¡, '1; п - 1*2п*3; п - 1 • ■ ■'ж + 1; к
I п, если ж чётно , I п, если ж нечётно
I = \ , к = \
[ п - 1, если ж нечётно [ п - 1, если ж чётно
так что ранг тензора несовместности будет равен (т + 1)(п — 2), а массив его индексов оказывается двумерным.
Число независимых компонент у п{(т + 1)(п - 2)} совпадает с числом независимых компонент тензора Я.{2(т +1)!, дуального к п{(т +1)(п - 2)}, т.е. полученного из него путем сверток с т + 1 символом Леви-Чивиты:
rp1q1-■ -Рж + \1ж + 1 ^plil l11 •■ ■ l1; n - 2" ' ^Рж + \1ж + 11ж + 1; 1-• • 'ж + 1; n - 2 ^
(2.4)
х П i i i i
"ll- • • '1; n - 2 • • •'ж + 1; 1 • • •'ж + 1; n - 2
Воспользуемся свойством суммирования n — 2 по индексам
€Pl?1l11-• • l1; n - 26l11-• • l1n = (n ~ 2 )!(^Pll1; n - l^il'ln _ ^Pl'ln l1; n - 1) (2.5)
и после подстановки (2.3) в (2.4) получим
Rp а Р а = [(n - 2)! ]ж +1 (5Р: Ъа, - Ъ„l 8а l ) х ... х
p1q1-• •рж + 11ж + 1 Lv ' J v pl'l; n - 1 il'ln pl'ln ql'l; n -
х (Sp ' 5q , - 5P , Sq ' ) х (2.6)
4 рж + 1 ж + 1; n - 1 Чж + 1 ж + 1; n рж + 1'ж + 1; n Чж + 1'ж + 1; n - l'
х f......
l1nl2; n - 1 l3n • ■ ■ 1ж + 1; ¡, l1; n - 1l2nl3; n - 1 • ■ ■ 1ж + 1; k
В случае т = 1 тензор Я.{2(ш +1)} с точностью до постоянного множителя совпадает с тензором Римана—Кристоффеля Я.{4}, ранг которого в пространстве любой размерности равен четырем. Требование равенства нулю всех его компонент, означающее ев-клидовость пространства ЕР, которому принадлежит деформируемая среда, приводит к п2(п2 — 1)/12 независимым уравнениям совместности.
Объект 2(т + 1)-го ранга (2.6) интерпретируем как обобщение на т > 2 тензора Римана—Кристоффеля. По определению (2.5) он антисимметричен по перестановкам индексов внутри каждой пары {р¡, д}, ' = 1, ..., т + 1 и кроме того симметричен по перестановкам самих пар {р, д} и {р, д}, ¡,] = 1, ... , т + 1. Так как число различных ненулевых сочетаний в каждой из этих пар равно N = п(п — 1)/2, то отмеченная выше симметрия оставляет С" + N компонент тензора Я.{2(ш +1)
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.