Автоматика и телемеханика, Л- 9, 2007
PACS 02.30.Yy
© 2007 г. O.A. ПЕРЕГУДОВА, канд. физ.-мат. наук (Ульяновский государственный университет)
УРАВНЕНИЯ СРАВНЕНИЯ В ЗАДАЧАХ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ1
Представлены новые результаты по исследованию устойчивости решений дифференциальных уравнений, описывающих поведение различных нелинейных нестационарных систем, основанные па совместном использовании метода логарифмических матричных норм и метода предельных уравнений.
1. Введение
При исследовании устойчивости различных нелинейных неавтономных систем одной из основных задач является задача построения функции Ляпунова. Один из способов построения функции Ляпунова метод логарифмических матричных норм, введенных в работе С.М. Лозинского [1]. Этот метод основан на вычислении или оценке логарифмической нормы матрицы Якоби правой части изучаемой системы.
Пусть | - норма в линейном пространстве Кп. В пространстве квадратных матриц А п-го порядка определим норму в виде
||А|| = вир ^.
Такая матричная норма называется операторной нормой, согласованной с нормой вектора. В частности если А = I, т.е. матрица А является единичной, то Ц1|| = 1.
Определение 1 ([1]). Логарифмической нормой 7(А) матрицы А е Кпхп называется величина
1(А)= Ит 1[11 + НАЦ-1].
к^+0 П
Пусть Ф(т, £) — фундаментальная матрица решений системы х = А(Ь)х.
Тогда согласно [1] имеет место свойство
„ж. м, ^
||Ф(т,*)|| < ет .
1 Работа выполнена ири финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант .N-" 05-01-00765) и программы "Государственная поддержка ведущих научных школ" НШ-6667.2006.1.
Это свойство позволяет строить с помощью функций Ляпунова вида векторных норм уравнения сравнения
и = Л(г))и.
Если же рассматривается задача об устойчивости нулевого решения нелинейной системы [2]
х(г) = Е (г,х), Е (г, 0) = 0,
где Е(г, х) — функция, непрерывная то совокупности аргументов (г, х) € О С Н+ хКп и непрерывно дифференцируемая по х, то обозначая через /(г, х) матрицу Якоби функции Е(г,х), /(г,х) = дЕ(г,х)/дх, и выбирая в качестве функции Ляпунова V одну из векторных норм, V = \х\, получим уравнение сравнения вида
I
7(/(г, sx(t)))ds I и.
При этом имеется возможность выбирать различные векторные нормы и строить соответствующие логарифмические нормы с целыо выбрать ту из них, которая бы обеспечивала наибольшую степень устойчивости рассматриваемой системы. С помощью данного метода были исследованы многие нелинейные системы, в том числе системы управления [3 о]. Вместе с тем во многих реальных задачах, особенно при исследовании нелинейных нестационарных систем, такой подход в классической постановке не позволяет учитывать некоторые факторы, способные улучшить степень устойчивости, например свойства положительного предельного множества решений рассматриваемых уравнений, такие как квазиинвариантность по отношению к семейству предельных уравнений [6]. В [7] с помощью построения предельных функций н уравнений был обоснован метод, позволяющий применять для исследования асимптотической устойчивости решений дифференциальных систем системы сравнения, нулевое решение которых устойчиво неаснмптотнческн. Поставим задачу, используя подход из [7], ослабить требования к уравнению сравнения в методе логарифмических матричных норм при исследовании асимптотической устойчиво-
2. Теорема об асимптотической устойчивости
Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений
(1) x = X(t,x), X(t, 0) = 0,
где x £ Rn, X(t,x) = (X 1(t,x),...,Xn(t,x))' - вектор-функция, определенная в области Г = R+ х G = {(t,x) : t ^ 0, \x\ < v, v = const > 0 или v = | -| —
некоторал норма в Rn, (•)' - операция транспонирования. Предположим, что правая
xt т.е. для любого компакта K С G существует число L = L(K) такое, что для любых xi ,x2 £ K и любого t £ R+ выполняется неравенство
(2) \X(t,xi) - X(t,x2)\ < L\xi - x2\.
Тогда семейство сдвигов {XT(t, x) = X(t+т, x), т £ R+} будет предкомпактно в некотором компактном метрическом пространстве Fx и системе (1) можно сопоставить семейство предельных систем
(3) x = X *(t,x),
где X* (t, x) - функция, предельпая к X(t,x), X* £ Fx.
Далее, если требуется, будем предполагать, что правая часть системы (1) непрерывно дифференцируема по второму аргументу.
Поясним понятие квазиинвариантности [6] положительного предельного множества решений системы (1), которое будет использовано в дальнейшем.
Пусть х = х(Ь, ¿о,хо) - какое-либо решение системы (1), ограниченное компактом К С С, х(1, ¿о, х0) е К для всех £ ^ ¿0. Тогда положительное предельное множество ш+(10,х0) этого решения, определяемое по формуле
будет иметь свойство: для любой предельной точки р е и+(£0,х0) существует предельная функция X* е Ех такая, что решение x = x*(t, 0,р) предельной системы (3) удовлетворяет соотношению х*(£, 0,р) е ш+(£0,х0) для всех £ е Е.
Теорема 1. Предположим, что существуют число г > 0 и норма в пространстве Еп такие, что соответствующая логарифмическая норма ч(А^,х)) матрицы Якоби А(£,х) правой части системы (1) удовлетворяет соотношению
где D = {(t,x) : t > 0, \x\ < r}. И кроме того множество {x : \x\ = const > 0}р| p|{7(A*(t, x)) = 0} не содержит решений предельной системы (3) (здесь A*(t,x) матрица, предельная A(t,x)).
Тогда нулевое решение x = 0 системы (1) равномерно асимптотически устойчиво.
Доказательство теоремы 1 приведено в Приложении.
3 а м о ч а и по 1. Вывод теоремы останется справедливым, если систему (1) можно привести к виду
где A(t, x) — матрица n х n с ограниченными равномерно непрерывными элементами.
где х е Еп, £ е Е, А(£, х), В(£, х) - матрицы размериости п х п с равномерно непрерывными ограниченными элементами, причем матрица В(£,х) невырождена. Сделаем замену переменных:
(4) sup 7(A(t,x))=0,
(t,x)eD
xx — A(t, x)x,
3. Задача об устойчивости нелинейной системы
Рассмотрим задачу об устойчивости нулевого решения системы (5) x + A(t,x)x + B(t,x)x = 0,
+ C_i.
где C - диагональная матрица, C = diag{с}, с = const > 0. Тогда система (5) преобразуется к виду
(6)
x i = — Cxi + Cx2,
x2 = (—C + A(t,x1) — C _1B(t,x1))x1 + (C — A(t,x1))x2.
Продольная система к (6) имеет аналогичный вид
, . ( xi = -Cxi + Cx2,
\ x2 = (-C + A* (t, xi) - C-iB*(t, xi))xi + (C - A*(t, xi))x2,
где A* (t, x), B* (t, x) - матрицы, предельные соответственно к A(t, x) и B(t, x).
Для системы (6) выберем вектор-функцию Ляпунова V = (Vi, V2)' гада Vi = \xi\, V2 = \x2\, где \ ■ \ - некоторая векторная норма. Тогда можно построить систему сравнения
(8)
Ui = y (-C )т + \\C\\u2,
U2 = \\ -C + A(t,xi) - C-iB(t,xi)\\ui + y(C - A(t,xi))u2,
где y ~ логарифмическая норма, || ■ \\ - операторная норма матрицы.
Используя теорему сравнения в классической постановке [8], условие равномор-
x=x=0
ходиой системы (5) можно, например, записать в виде
sup {\\- C + A(t,x) - C-iB(t,x)\\ + y(C - A(t,x))} < -e = const < 0,
(t,x)eRxD
так как при данном условии нулевое решение ui = U2 =0 системы сравнения (8) будет равномерно асимптотически устойчиво, что доказывается применением к системе (8) прямоугольной векторной нормы \u\ = max{\ui\/ai, U2}, где ai > 0 -подходящим образом выбранная постоянная.
Используя подход, обоснованный в предыдущем разделе, условие равномерной
x=x=0
системы (5) можно ослабить, например, следующим образом.
Теорема 2. Пусть существует норма \ в пространстве Rn такая, что для системы (5) выполнены условия
sup {\\ -C + A(t,x) - C-iB(t,x)\\ + y(C - A(t,x))} < -e(t) < 0,
x£D
и кроме того множество
{max{\xi\, \x2\} = const } p| {e* (t) max{\xi\, \x2\} = 0}
не содержит решении системы (7), кроме нулевого xi = x2 = 0, где e*(t) - функция, e(t)
Тогда нулевое положение равновесия x = x = 0 системы (5) будет равномерно асимптотически устойчиво.
Доказательство теоремы следует из теоремы 1 и замечания 1.
4. Задача об устойчивости механической системы с одной степенью свободы
Рассмотрим задачу об устойчивости положения равновесия механической системы с одной степенью свободы, движение которой описывается уравнением
(9) x + f (t,x,x)x + g(t,x)=0.
Предположим, что ограниченные равномерно непрерывные функции f (t, x, y), g(t, x) таковы, что выполняются условия:
nm 1 0 <fi < f(t,x,y) < f2 < +<X, t > 0, x,y £ R, 1 ' 1 0 <gix2 < xg(t,x) < g2x2, t > 0, x = 0.
Справедлива следующая теорема.
Теорема 3. Пусть выполнено какое-либо из следующих условий:
а) справедливы условия (10) и
(И) 2д2 < /2:
б) справедливы условия (10) и существует число а 0 < а < /1, такое, что
(12) I ^ Vха(/2 - а) - Vха(/1 - а),
1 ' I ^-^д~1 < V а(/1 - а);
в) существуют постоянные К > 0 и а > 0 такие, что для любого ¿0 > 0
г
J 7< К Ш > ¿0,
-а + /(¿,х(£),х(£)) -
to
g(t,x(t))
ax(t)
и кроме
где 7(¿) = шах |2а — /(¿, х(Ь), х^)); —а + того
ф 2а/*(£,х,у) - 4а2, ф 2а2,
д*^,х) ф 0 Шх = 0,у е Е.
Тогда нулевое положение равновесия системы (9) будет равномерно асимптотически устойчиво в целом.
Доказательство теоремы 3 приведено в Приложении.
Замечание 2. Условие (П.З) обобщает результат из [9]. где было получено условие равномерной асимптотической устойчивости в целом вида
а(/2 - /1) <д1 < д2 < 2а(/1 - а).
Условия (12) обобщают соответствующие условия из [10] в том смысле, что неравенства из (12) являются нестрогими.
5. Заключение
Полученные условия асимптотической устойчивости в рассмотренных задачах позволяют утверждать об эффективности данного подхода в задачах об устойчивости положения равновесия и стабилизации программных движений механических систем. В качестве примера рассмотрим задачу об устойчивости программного нестационарного движения центрифуги [11].
Кабина центрифуги представляет собой твердое тело, способное поворачиваться вокруг оси OO' относительно державки COO'. Предположим, что ось OO' параллельна оси CC' центрифуги. За обобщенную координату примем угол поворота а кабины вокруг оси OO'. Обозначим момент инерции кабины относительно оси OO' через I и предположим, что в шарнирных опорах OO' действуют силы вязкого трения. Тогда уравнение движения кабины примет вид
Ia = —&2(t)mlr sin а + u(2mlru(t) cos а + I) — ka, u = ш(t),
где
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.