ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2008, том 48, < 11, с. 2024-2041
УДК 519.63
УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА С БОЛЬШИМИ ВЫСОКОЧАСТОТНЫМИ СЛАГАЕМЫМИ1
© 2008 г. А. К. Капикян, В. Б. Левенштам
(344090 Ростов-на-Дону, ул. Милъчаков, 8а, Южный федеральный ун-т, Южный науч. центр РАН)
e-mail: vleven@math.rsu.ru Поступила в редакцию 09.04.2007 г.
Переработанный вариант 18.03.2008 г.
Рассматриваются системы полулинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, содержащие осциллирующие по одной переменной с частотой ю > 1
слагаемые, пропорциональные 4ю. Для них обоснованы метод усреднения Крылова-Бого-любова-Митропольского и базирующийся на методе двухмасштабных разложений алгоритм построения полных асимптотик решений. Библ. 11.
Ключевые слова: метод усреднения, асимптотика решений, дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка.
ВВЕДЕНИЕ
Основные результаты данной работы изложены в разд. 2, 3. В разд. 2 описан и обоснован метод усреднения (см. [1], [2]) для систем дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с любым числом независимых переменных, содержащих осциллирующие по
времени с частотой ю > 1 слагаемые, среди которых имеются большие - пропорциональные 4ю -с нулевым средним. Этот результат выведен из предварительно доказанной в разд. 1 теоремы об усреднении задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с большими высокочастотными слагаемыми, которая обобщает теорему 1 из [3]. В разд. 3 рассматриваются системы того же вида, что и в разд. 2, со следующим дополнительным ограничением: их члены периодичны по переменной т = ffli и бесконечно дифференцируемы вместе с начальной вектор-функцией по остальным переменным. Для этих систем разработан и обоснован эффективный алгоритм построения полной асимптотики решений, который базируется на методе двухмасштабных разложений. Нахождение коэффициентов асимптотики сводится здесь к решению однозначно разрешимых линейных задач двух описанных в статье типов. При обосновании формальной асимптотики в разд. 3, как и при обосновании метода усреднения (т.е. главного члена асимптотики) в разд. 2, используется вспомогательная теорема из разд. 1.
Обоснование метода усреднения для систем дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с двумя независимыми переменными без больших слагаемых ранее было осуществлено в [4]. При этом в [4], в отличие от данной работы, коэффициенты при производных могут зависеть от номера уравнения.
Родоначальницей задач об усреднении дифференциальных уравнений, содержащих высокочастотные слагаемые с большими амплитудами, является задача о перевернутом маятнике с быстро осциллирующей точкой подвеса (см. [5], [6]). В настоящее время существует довольно много работ в этом направлении (см., например, [7]-[10]).
Поясним теперь, почему в больших слагаемых уравнений фигурирует коэффициент юа лишь при а = 1/2. Связано это с тем, что при а < 1/2 усредненная (предельная) задача оказывается той же, что и при отсутствии больших слагаемых, поэтому после работы [4] этот случай в плане обоснования метода усреднения неинтересен. Случай же а > 1/2, наоборот, достаточно сложен: здесь пока не удается осуществить даже формальное усреднение. Отметим еще, что результаты разд. 3 о полной обоснованной асимптотике являются новыми и при отсутствии в уравнениях больших слагаемых.
^Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (код проекта 06-01-00287-а).
2024
1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЙ РЕЗУЛЬТАТ
1. Пусть О - ограниченная область в пространстве К , Т > 0, О = {(х, г, т): х = (х1, ..., хп)* е О, г е [0, Т], т е [0, +^)}, где звездочка означает операцию транспонирования. Метрику в К" выберем в виде |х | = тах |х;|. На множестве О рассмотрим зависящую от большого параметра ю за-
1 г п
дачу Коши для системы п нелинейных уравнений
^ = Д(х, г, юг) + ТЮф(х, г, юг), г е [0, Т],
йг (1Л)
/ ч 0
х( го) = х ,
где г0 е [0, Т], х0 е О. Здесь Дх, г, т) и ф(х, г, т) - вектор-функции со значениями в К", удовлетворяющие следующим условиям:
1) компоненты Д (х, г, т) и ф;(х, г, т), 1 г п, вектор-функций Дх, г, т) и ф(х, г, т) вместе с их частными производными
ЭД;( , т) дФг( , т) дФг( , т) Э2ф; ( , т) (х, г,т), дх.(х, г'т)' э;-(х, г'т)' ахах-(х' г'т)'
1 г,к п, определены и непрерывны на множестве О;
2) компоненты вектор-функций Дх, г, т), ф(х, г, т)
т
_ Эф
х(X, t, т) s dX(X, t, Т)|ф(X, t, 6)dQ
и матриц-функций ^ (х, г, т), ^ (х, г, т) равномерно ограничены на О; Эх Э х
Э Д Эф; Эф;
3) производные ^— (х, г, т), ^— (х, г, т) и -=-— (х, г, т), 1 г,. п, удовлетворяют на множестве Э х. Эх. Э г
О равномерному условию Липшица по х, т.е. существует такая постоянная Ь > 0, что при всех х1,
х2 е О, г е [0, Т] и т е [0, выполняются неравенства
f (X2' t,T) (Xl' t,T)
L|X2- Xi|
и аналогичные неравенства для Эф; /Эх;- и Эф; /dt;
4) компоненты вектор-функций Дх, t, т) и %(х, t, т) равномерно на множестве Q непрерывны
по t е [0, 7], т.е. существует функция у: [0, T] —» [R такая, что limу(t) = 0, и при всех х е D, t1,
t ^ о
t2 е [0, T], т е [0, справедливы оценки
|Д(X, 12, т) - Д(X, 11, т)| < Y(|12 - tl), |X;(X, t2, т) - X;(X, ti, т) < Y(112- ti\), 1 ^ i ^ и;
5) существует такая вектор-функция F, определенная на множестве D х [0, 7] со значениями в IR", что равномерно относительно (х, t) е D х [0, T]
N
F(х, t) = Um Nf[f (х, t, т) + X(x, t, т)]dт;
N
о
о
6) для всех (x°, t°) е D х [0, T] усредненная задача
djt = F(y, t), t е[0, T],
/ ч 0
У (t о) = x
имеет решение y (t) = y (x°, t°, t) со значениями в D;
7) равномерно относительно (y, t) е D х [0, T] существуют пределы
N N
1 Г 1 Г Эф;
lim — I ф;(У, t, т)dт = 0, lim — I -— (y, t, т)dT = 0, NN J Nn Jdyj
00
v
lim * гЭф;
(1.2)
1 ГОф;
J y, t, т)dT = 0, 1 ^ ;, j ^ n.
n
0
При указанных условиях справедлива следующая
Теорема 1. Для любого замкнутого подмножества D1 области D и любого числа £ > 0 найдется такое число ю° > 0, что для произвольной точки (x°, t°) е D1 х [0, T] и произвольного ю > ю° существует единственное решение xm(t) задачи (1.1) и при этом для всех t е [0, T] справедлива оценка
Хю( t) - y (t) <£. Данная теорема вытекает из следующих двух лемм.
Лемма 1. Для любого £ > 0 и любой фиксированной начальной точки (x°, t°) е D х [0, T] найдется такая величина ю° = ю°(£, x°, t°) > 0, что при ю > ю° существует единственное решение хю(0 задачи (1.1) и при этом для всех t е [0, T] справедлива оценка
|x„( t) - y (t) <£.
Лемма 1 формулировалась ранее без доказательства в виде теоремы 1 в заметке [3]. Здесь мы излагаем ее с доказательством (см. п. 2).
Лемма 2. Пусть множество D1 то же, что и в теореме 1. Тогда для любого £ > 0 величина ю°(£, x°, t°), фигурирующая в лемме 1, может быть выбрана единой для всех (x°, t°) е D1 х [0, 7].
Доказательство леммы 2 изложено в п. 3.
2. Доказательству леммы 1 предпошлем следующие две леммы.
Лемма 3 (см. [11, с. 324]). Пусть T1, T2 - действительные числа и хю: [Tj, T2] —«- [Rn - семейство вектор-функций, зависящих от параметра ю > 0. Для того чтобы равномерно относительно t е [Tj, T2] имело место предельное равенство lim хю( t) = x(t), где x: [Tj, T2] —► [n -
ю ^ ~
некоторая вектор-функция, необходимо и достаточно, чтобы из каждой последовательности хЮк, юк —► ^ можно было выделить равномерно относительно t е [Гь T2] сходящуюся к
x (t) подпоследовательность.
Лемма 4. Пусть вектор-функция y(x, t, т) определена на множестве Q и принимает значения
в [n. Допустим, что она ограничена, непрерывна по т при фиксированных x, t и при некотором Y > 0 равномерно относительно (x, t) е D х [0, T] удовлетворяет предельному равенству
lim — x, t, т)dт = 0.
N
0
Тогда для любого £ > 0 найдется ю0 > 0 такое, что при ю > ю0 для всех (х, г) е О х [0, Т] выполняется неравенство
ю г
х, г, т) йт
1
ю
< £.
Доказательство леммы 4 несложно и опускается.
Доказательство леммы 1. Поскольку вектор-функция у (г), по предположению, непрерывна, то множество ее значений P0 _ {у (г)|г е [0, Т]} является замкнутым подмножеством области О. Обозначим через 5 расстояние между Р0 и границей ЭО области О: 5 = тт |х - у|, и пусть 50 е (0, 5).
х е Ро у е ЭО
Через О0 обозначим область в О, содержащую множество Р0 и такую, что расстояние от Р0 до ее границы ЭО0 равно 50. Через S0 обозначим множество непрерывно дифференцируемых вектор-функций у: [0, Т] —» О0. Решение х задачи (1.1) будем искать в виде (замена Крылова-Боголюбова)
x(t) = у(t) + -L |ф(у(t), t,T)dT = у(t) + (КюУ)(t), y e
(1.3)
Тогда вектор y(0) = ую(0) = у0 удовлетворяет равенству
0 1 Г , 0 ч , = у + — J ф(у , to, т)dT.
Обозначим (Хюy)(t) = (Mmy)(t) и на основании леммы 4 будем далее считать значения ю > ю1 dy
столь большими, что при всех t е [0, T] для любой вектор-функции y е S0 справедлива оценка
||( M ю y)(t )|< 1/2,
где \\(аМ = max V \ац\ - норма матрицы (аЛ
1 < i < n^-1
j = 1
В результате замены (1.3) задача (1.1) примет вид
dy
dt
= f (у, t, юt) + х(у, t, юt) + ^(у, t, ю), t e [0, T],
0
у (10) = у ,
(1.4)
где
+
R(у, t, ю) = [E + (Мfflу)(t)Г f (у(t) + (Kraу)(t), t, юt) - f (у(t), t, юt) +
/ rat
Тю[E + (Mraу)(t)]-1 ф(у(t) + (Kraу)(t), t, юt) - ф(у(t), t, юt) - ю J ^дф(у(t), т)
dT
(1.5)
^^(у(t), t, юt) Jф(у(t), t, т)dT.
Из приведенной ниже леммы 5 следует существование функции а: (ю1, —» R такой, что lim а(ю) = 0 и при всех y е S0, t е [0, T] и ю > ю1
R(у, t, ю) < а(ю).
(1.6)
0
0
x
0
n
0
Положим
M = sup \f (у, t, Шt) + Х(У, t, Шt) + R(у, t, Ш)|,
у e Do t e [0, T]
Ш> Ш,
(1.7)
a = min' MM-'T| •
(1.8)
Тогда, согласно теореме Коши, задача (1.4) при каждом ю > юх имеет на временном участке I е е [?1, ¿2], где t1 = тах{0, г0- а}, г2 = тт{Т, г0 + а}, единственное решение ую. Рассмотрим семейство вектор-функций {ую}, ю > ю1. Оно равномерно ограничено, поскольку векторы ую(0, ю > ю1, t е е t2], лежат в ограниченной области В0, и равностепенно непрерывно, так как производные dyю(t)/dt, ю > ю1, t е t2), удовлетворяющие равенству
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.