соответственно, г = |х|, К = к2(т0 + т), к2 - гравитационная постоянная, Е(х, V, ^ - вектор возмущающего ускорения, t - физическое время. Пусть в начальный момент времени t = t0 имеют место условия
х(^) = Хо, v(to) = V). (2)
Для удобства записи обозначим через ут = (хт, V1) шестимерный вектор текущих параметров движения (вектор состояния), а у0 = (х^, ) будет обозначать вектор начальных параметров (2). Здесь и ниже под векторной величиной г понимается вектор-столбец, а под величиной гт - вектор-строка.
Продифференцируем уравнения движения (1) частным образом по начальным параметрам у0 и, поскольку нас интересуют только изохронные производные, поменяем порядок дифференцирования. В результате получим систему линейных дифференциальных уравнений в вариациях в прямоугольной системе координат для определения частных производных от текущего вектора состояния по начальным условиям
Эх дУо Эу дУо
Эу
дУо'
-К (Ез - -3 ххт1 |Х. + Э/|У,
дУо дУ дУо
(3)
Эу (О _
дУо
= Е6 при t = t0.
(4)
устанавливающее связь между физическим временем t и новой независимой переменной 5 (фиктивным временем).
Рассмотрим следующее координатное преобра-
зование:
х = А(р)р,
(6)
тать, что матрица А обладает свойством ортогональности, т.е.
АтА = сЕ,
А-1 = ---Ат, с
(7)
где с Ф 0 - скаляр, Е - единичная матрица.
Пусть У обозначает текущий /-мерный вектор новых параметрических переменных (/ > 6), а У0 -вектор новых переменных на момент фиктивного времени 5 = 0.
Применяя преобразования (5) и (6) к уравнениям (1), получим уравнения движения в новых переменных. Запишем их в общем виде
¿У = с.
(8)
Порядок системы уравнений (8) в сравнении с исходной системой (1) по меньшей мере на единицу выше, поскольку физическое время t теперь рассматривается в качестве дополнительной переменной, подлежащей определению во время движения.
Продифференцируем уравнения (8) по начальным параметрам У0 таким же образом, как мы поступили при выводе системы (3). Тогда получим систему линейных дифференциальных уравнений в вариациях параметрических переменных
(ГУЛ = ¿У о)
С ( 5 )
ЭУ
ЭУо:
(9)
где Е3 - диагональная единичная матрица третьего порядка. Порядок системы (3) равен тридцати шести. Начальные условия системы образуют единичную матрицу шестого порядка
где С(5) = ЭС/ЭУ. Изохронность частных производных ЭУ/ЭУ0 здесь понимается по отношению к фиктивному времени 5. Начальные условия для интегрирования системы (9) представляют собой единичную матрицу /-го порядка
Обозначим матрицу изохронных производных, удовлетворяющую уравнениям в вариациях (3) и начальным условиям (4), через Ф(^ = Эу^)/Эу0.
Введем дифференциальное соотношение
( = g(x, V, ^¿5, (5)
(У (5) „ „
— = Е / при 5=
(10)
где А(р) - квадратная невырожденная матрица, имеющая п (п > 3) строк, а вектор р представляет собой столбцевую матрицу с п компонентами. Если п > 3, то вектор х физического пространства автоматически дополняется до п-мерного вектора добавлением нулевых компонент. Будем счи-
Введем обозначение: 0(5, 50) = ЭУ(5)/ЭУ0 (в нашем случае 50 = 0).
Интегрируя систему вариационных уравнений (9) совместно с уравнениями движения (8) при начальных условиях (10) и У(0) = У0, мы будем иметь на каждый момент времени 5 матрицу частных производных 0(5, 0) = ЭУ(5)/ЭУ(0). Чтобы получить искомую матрицу изохронных производных Ф(^ на заданный момент физического времени ^ необходимо выполнить преобразование матрицы 0(5,0). Выведем требуемое для этого соотношение.
Матрицу Ф(5,0) = Эу(5)/Эу(0)можно представить в виде
ф(5, о) = М5-10(5, о)^
ЭУ ( 5 )
ду( о Г
(11)
В связи с тем, что матрица Ф ищется как функция времени t, необходимо дополнительно к выраже-
нию (11) проварьировать фиктивное время 5. То гда получим
А( 0К йу(5)д5
Ф(г, г о) = ф(5,0)-
дУо
дУо'
(12)
Второй член в правой части (12) появляется из условия, что значение независимой переменной 5 определяется из заданного значения физического времени г и вектора начальных параметров у0. Физическое время г не является явной функцией переменной 5, следовательно, задание времени г можно определить условием
/у(5)) = и
Так как физическое время является заданным, то оно не определяется начальными параметрами у0. Отсюда следует
д/(5) = дШду(0) + йЖ Э5 = 0
дуо ду( 0) дуо й5 дуо
Используя полученное соотношение, исключим из выражения (12) д5/ду0, предполагая при этом, что й(5)/й5 Ф 0. Тогда мы можем записать
Ф( г, (о) =
Ф(5, 0) -
й у ( 5 ) дг ( 5) йг ду( 0)_
ду( 0)
дуо
(13)
Здесь, принимая во внимание (5),
йу (5 ) = 1 ЭуХ) й У( 5) йг gдУ (5 ) й5 '
дг ( 5) = дг ( 5 ) дУ( 0 ) ду(0) дУ (0)ду(0)•
С учетом (8), (11) и (13) выражение для искомой матрицы частных производных примет окончательный вид
Ф(г, (о) = ^
0( 5, о) -1 С ^
дУ( 5 )
дУ ( о) д у ( 0) ду(0) дуо
дУ (0).
X
(14)
X
Обратим внимание на то, что формула (14) получена для общего случая, когда момент времени 50 = 0 не обязательно соответствует моменту г = г0. Это позволяет на любом этапе вычислений сопоставить момент 50 = 0 с новым моментом физического времени Ф г0.
Отметим, что преобразования, удовлетворяющие соотношениям (5) и (6), удобно применять в задаче линеаризации и регуляризации дифференциальных уравнений движения [10, 11]. С этим связаны ограничения, наложенные нами на преобразование (6), хотя весь дальнейший анализ, выполненный в этом разделе, допускает более широкий подход к выбору новых координат.
В связи с изложенным следует упомянуть о работе Лидова [12], в которой с общих позиций рассмат-
ривается проблема канонического увеличения размерности гамильтоновых систем уравнений. В общем виде им получено и соотношение, связывающее матрицы фундаментальных решений уравнений в вариациях для исходной и преобразованной систем. В отличие от работы Лидова в нашем подходе увеличение размерности системы не обязательно связано с сохранением гамильтоно-вой формы уравнений.
Перейдем к рассмотрению частных случаев преобразований (5) и (6), нашедших широкое применение в небесной механике и астродинамике. В приводимых ниже примерах преобразований уравнений движения используется временное преобразование Сундмана
йг = гй5. (15)
Нам понадобятся также величины
к = 1V2- К, а = (у2- х - (хт • V) V. (16) 2 г V г)
имеющие смысл кеплеровской энергии, отнесенной к единице массы, и вектора Лапласа или эксцентрического вектора соответственно. В случае невозмущенного движения (Е = 0) эти величины, как известно [13], сохраняют постоянные значения вдоль решения уравнений (1), т.е. являются интегралами движения задачи двух тел.
УРАВНЕНИЯ В ВАРИАЦИЯХ И ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ В СЛУЧАЕ 8Б -ПЕРЕМЕННЫХ
Выберем матрицу координатного преобразования (6) в виде А = Е и положим п = 3. Новые трехмерные векторы положения и скорости обозначим через я = р и р = йр/й5 соответственно. Тогда с учетом (15) преобразования координат и скоростей запишутся в форме
1
х = ц, V = - р.
(17)
Вектор параметрических переменных У сформируем следующим образом: Ут = (цт, рт, к, ат, г) ( = 11). Тогда с помощью уравнений (1) и соотношений (15)-(17) уравнения движения (8) представятся системой одиннадцати дифференциальных уравнений вида
= Р'
йр = 2кЯ - а
й й Г Е' й5 = Р ^
(18)
| = 2(Рт • Е)Я - (Ят • Е)р - (Чт • р)Г, й = Г.
В литературе эти уравнения носят название уравнений Шперлинга-Боде [14]. Преобразование, которое приводит к системе уравнений (18), назовем ^-преобразованием.
Начальные условия для решения уравнений (18) задаются на момент фиктивного времени 5 = 0,
сопоставленному моменту г = г0, согласно равенствам
Я (0) = Яо = хо, р (0) = ро = Г) у,
05
а(0) = ао = ( у2- К)хо (хо • уо)у0'
к(0) = ко = 1V2- К, г(0) = (о, 2 г0
(19)
дя ) = Эр
дУо) дУо'
) _ 0)
дя
дк
л -'дУ 0) О дУ 0 + 2 Я дУ 0 ^
д а
дУ 0
2 эе Эу
д Уд У 0
£ ( _дк_) = Ет -др.+ т ЭЕ .дУ
й5(дУ 0) дУ0 р дУдУ0' - - (дУ о) Б дУ о + °2 дУ о + из дУ дУ о'
(20)
й5 (дУ 0
1 т д я
Гя дУо'
где
ду (5) =
дУ ( 5 )
Е
03 0 03 0
4р • Ят "Ез 0 0з 0
г '
(21)
где 03 - нулевая матрица размерности 3 X 3, 0 -трехмерный нулевой вектор. Обратная матрица дУ(5)/ду(5) находится путем дифференцирования преобразований, обратных преобразованиям (17), и выражений для кеплеровской энергии к и вектора Лапласа а. В результате будем иметь
где г0 = |х0|. Таким образом, вектор новых параметров на момент 5 = 0 будет иметь вид У0 = (Яо,
р0, К а0, г0).
Выполним дифференцирование уравнений (18) частным образом по начальным параметрам У0, помня о том, что в качестве новой независимой переменной выступает время 5. В результате получим следующую систему линейных дифференциальных уравнений в вариациях:
дУ (5 ) =
ду (5)
Ез
0з
у • хт гЕ3
К т
3 х
г
ах
т
ау
т
(22)
где
00
ах = эх = ~ х • х - у • у +1 у -
да К
3
г
да
К) Ез.
Б = 2 (к Е3 + Е • ят), О" = 2(рт • Е)Е3-р • Ет - Е • рт,
Б2 = 2(я • Ет) - (ят • Е)Е3- Е • я°, О3 = 2(я • рт) - р • Ят - (Ят • р)Е3.
Порядок системы уравнений (20) равен ста двадцати одному. Начальные условия системы (20) в соответствии с (10) образуют единичную матрицу одиннадцатого порядка.
Для определения матрицы Эу(5)/дУ(5), входящей в соотношение (14), продифференцируем преобразования (17). Тогда получим
ау = )— = 2х • у - у • х - (х • у ) Е3.
Эу
В формуле (14), позволяющей нам вычислить матрицу частных производных Ф(г, г0), в рассматриваемом случае необходимо использовать выражения (21) и (22), согласно (15) заменить g на г, вектор С составить из значений правых частей уравнений (18) в порядке их записи, а вместо 0(5, 0) и дг(5)/дУ(0) подставить решения уравнений (20).
УРАВНЕНИЯ В ВАРИАЦИЯХ И ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ В СЛУЧАЕ КЗ-ПЕРЕМЕННЫХ
Теперь рассмотрим пример преобразования координат в четырехмерном параметрическом пространстве (п = 4). Новый четырехмерный вектор положения р обозначим через 0 = Q2, Q3, 04)т.
Выберем матрицу преобразования (6) в виде квадратной четырехстрочной К8-матрицы [15], которая полностью удовлетворяет условию ортогональности (7). Запишем ^-преобразование координат и скоростей в следующей форме [16]:
1т
х = 2 0'
1т
V = 1 ВР.
4г
(23)
Здесь 0 и Р - сопряженные пере
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.