ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2004, том 30, № 1, с. 60-65
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ В ПЛАЗМЕ
УДК 533.951
УСИЛЕНИЕ ПОВЕРХНОСТНЫХ ВОЛН ПЛАЗМЕННОГО ВОЛНОВОДА ПРЯМОЛИНЕЙНЫМ РЕЛЯТИВИСТСКИМ ЭЛЕКТРОННЫМ ПУЧКОМ В ПРОДОЛЬНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ
© 2004 г. И. Н. Карташов, М. В. Кузелев, А. А. Рухадзе
Институт общей физики им. А.М. Прохорова РАН Поступила в редакцию 12.05.2003 г.
Рассмотрена задача возбуждения электронных колебаний холодной тонкостенной трубчатой плазмы в цилиндрическом волноводе, помещенном в продольное магнитное поле, прямолинейным релятивистским электронным пучком. Для параметров системы, близких к используемым в экспериментах, исследованы ее дисперсионные свойства. Показано, что инкремент возбуждения высокочастотной плазменной волны сравним с инкрементом возбуждения низкочастотной волны, слабо зависящей от величины продольного магнитного поля.
На протяжении последних лет экспериментально и теоретически исследуются плазма-пучковые системы, в которых возбуждаются поверхностные плазменные волны [1-3]. В простейшем виде такая система представляет собой металлический волновод круглого сечения радиуса Я. Внутри волновода расположены тонкие трубчатые плазма и пучок со средними радиусами гр и гь соответственно. Толщина стенок трубки 5р и 5ь мала по сравнению с их радиусами. Вся система обычно помещается во внешнее продольное однородное магнитное поле, полностью замагничи-вающее как электроны пучка, так и плазмы. Условием применимости такого приближения (бесконечно сильного магнитного поля) является малость характерных частот системы (частоты излучения, электронных ленгмюровских частот плазмы юр и пучка юь) по сравнению с электронной циклотронной частотой Ое. В реальных экспериментах плотность пучка значительно меньше плотности плазмы и условие полной замагни-чености электронов пучка, как правило, выполняется с хорошей точностью. Что касается электронов плазмы, то аналогичное требование является более жестким, особенно при продвижении в область коротких длин волн.
Трубчатая плазма конечной толщины даже в холодном пределе представляет собой сложную для описания систему с бесконечным числом степеней свободы [4]. Ввиду малой толщины трубки в бесконечно сильном магнитном поле имеется возможность описывать такую плазму как бесконечно тонкую, в которой возможно распространение только одной поверхностной волны в выбранном направлении. Этим достигается достаточная простота системы при теоретическом исследовании. При рассмотрении конечного значения магнитного поля такое приближение бес-
конечно тонкой плазмы неприменимо, ввиду возможности поляризации среды в поперечном направлении.
Для описания поверхностных волн тонкой плазмы в продольном магнитном поле конечной величины в [5] были предложены приближенные граничные условия на плазменной трубке и показана эффективность их применения для целей плазменной СВЧ-электроники. В настоящей работе, следуя [5], получим дисперсионное уравнение для плазмо-пучковой системы в продольном магнитном поле конечной величины и определим инкременты неустойчивости для различных параметров системы.
Электромагнитное поле в областях волновода, не занятых плазмой, описывается системой уравнений для продольных компонент электрическо-
го и магнитного полей Ez и Bz ~
Д±Ez - ХоEz = 0, Д± Bz - х0 Bz = 0.
(1)
Система уравнений (1) записана в цилиндрических координатах для азимутально симметричных
1 й й ,_2 гйг йг
мод с оператором Лапласа Д± = --¡-г — и %0 =
= к2 - ю2/с2. Уравнения (1) дополняются граничными условиями на металлической поверхности волновода Е2(Я) = 0 и Еф(Я) ~ В2(Я) = 0 и условиями ограниченности при г = 0. При наличии плазмы в точке г = гр толщиной 5р соответствующие уравнения необходимо записать и в области занятой плазмой, сшивая затем полученные решения на границах плазменной трубки [6, 7]. Будем считать толщину трубки достаточно малой к2 Ър < 1.
1Ш + ikzz
e
В общем случае для холодной плазмы с малой толщиной трубки имеются две дисперсионные кривые, описывающие поверхностные волны -низкочастотная и высокочастотная (в области ю < к1о) [4-6]. В сильных магнитных полях Ое > юр низкочастотная кривая аналогична плазменной кривой в полностью замагниченной плазме и в коротковолновом пределе к1 —► ^ асимптотически выходит на юр. Высокочастотная ветвь при больших к1 имеет аномальную дисперсию и выходит на Ое сверху. Ее частота отсечки ю (кг = 0) определяется величиной юр и не зависит от Ое. Максимальное значение частоты на этой ветви не превосходит верхнюю гибридную частоту =
{Гр)} = о,
(Гр)} = -5 р Хо2 ю Е-( Гр).
(2)
нения (1), дополненного граничными условиями при г = 0 и г = Я, имеет вид:
Ег =
А/о(ХоГ), Г < Гр,
в
/ о(Хо Г) - К о (ХоГ)
/ о( Х о Я) -К о ( Х о Я -
(3)
гр < г < я,
где /0 и К0 - модифицированные функции Бесселя нулевого порядка. Подставляя (3) в граничные условия (2) и исключая постоянные А и В, получим дисперсионное уравнение для определения зависимости ю(кг) на нижней ветви:
2
2 Ю р 2 ,
Гр5 р Хо р / о(хо Гр )
= ^юр + 0.е. В слабых магнитных полях Ое < юр низкочастотная кривая в коротковолновом пределе выходит на снизу, а высокочастотная -приближается к этой частоте сверху, имея аномальный закон дисперсии.
В [5] на основе анализа поперечной структуры различных компонент электромагнитного поля были сформулированы приближенные условия на плазменной трубке, позволяющие не решать волновое уравнение в плазме, а сшить решения, найденные в вакуумных областях. При этом указанные условия различны для низкочастотной и высокочастотной волн. Случаи же слабого и сильного продольных магнитных полей различать не нужно. Для низкочастотной ветви эти условия для сшивания имеют вид:
ю
К о ( ХоГр) _ К о ( Х о Я) -I / о ( Х о Г р) / о ( Х о Я) -
= 1. (4)
Дисперсионное уравнение (4) совпадает с дисперсионным уравнением для плазменной волны в бесконечно сильном магнитном поле, что отражает уже упоминавшийся факт слабой зависимости низкочастотной ветви от величины внешнего магнитного поля [5].
Случай высокочастотной ветви уже не допускает разделения на волны Е- и В-поляризации. Условия сшивания полей для этой ветви записываются в виде [5]:
(Гр)! = о, I йВ (Гр )1 = о,
йг
Х2 йЕ- „ ю £ йВ-&--5 (Г ) + 1к 5 - —--5 (Г )
рХое± йг р
- р 2 с Хо £1
(5)
{ В-( Гр)} = 5 р 1 (Х Хо
2 ¿Ш^ йВ £
-1 С
, - (Г ) _
2 I йг КГр)
.. 5 ю £ йЕ _ 1к, 5 „ —£---г (Гр).
-р
Хо £1
йг
Здесь и далее используется обозначение {Х(х)} = = Х(х + 0) - Х(х - 0). Соотношения (2) совпадают с точно получаемыми в пределе бесконечного магнитного поля интегрированием волнового уравнения по г в окрестности плазмы при плазменном
профиле юр —► 5рюр5 (г - гр) [8]. Низкочастотная ветвь таким образом слабо зависит от величины внешнего магнитного поля. Легко видеть, что система уравнений (1) и граничных условий (2) допускает разделение поля на волны Е- и В-типов. Для целей плазменной СВЧ-электроники важны волны с отличной от нуля продольной компонентой электрического поля Е1 (волны Е-типа) и в области фазовых скоростей меньше скорости света ю/кг < с [4, 8]. В этих условиях решение урав-
Здесь Х2 = к5 - £±ю2/с2, а £± и £ - компоненты тензора диэлектрической проницаемости холодной магнитоактивной плазмы [9]
£И =
£1 о _/£ £1 о
о о £ц
где
£ I = 1_
юр
2
ю р Я
22 ю _ Яе
ю(ю _ Яе )
2
£ - 1_ююр £11 = 1 2. ю
(6)
Представляя решение первого уравнения (1) виде (3), а второго в виде
В2 =
СШог), г < гр
В
1 о (Хог) + К о(Хо г)
11 ( X о Я) К1 ( X о Я ^
(8)
гр < г < Я,
и подставляя в условия, связывающие поля на плазменной трубке, получим следующее дисперсионное уравнение, определяющее высокочастотную ветвь:
1 + 5 ргр
е±
1 + 5 ргр1 X +
22
22 & ю
с
(9)
, 2К2 2 Ю Я „ „ = к, о лгл — 2-ОеОв.
"2"р" р 2 2 С В,
Здесь введены следующие обозначения для геометрических факторов
Се = 11 (Хо гр)
О в = 12(Хо гр)
К1 ( Хо гр) + К о ( X о Я) ■ I I1 ( X о гр) Iо ( Xо Я) ]
К1 ( X о г р ) _ К1 ( X о Я) I 11 ( X о гр) 11 ( X о Я)
(10)
1 + 5
рр
Ое = о.
(11)
Учтем теперь и пучок. Как и плазму, пучок предполагаем тонким трубчатым толщиной 5ь и средним радиусом гь < гр. Обычно в экспериментах [2, 3] плотность пучка достаточно мала, что дает возможность рассматривать его полностью замагниченным, отвлекаясь от его поперечного движения, а следовательно, и предполагая бесконечно тонким. В этих приближениях пучок учитывается лишь в виде граничных условий для сшивания решений уравнений поля в областях г < гь и г > гь. Соответствующие граничные условия хорошо известны и имеют вид [4, 8]:
{ Е,(гь)} = о,
[ = "°ь
2 -3
Юь У
о 2Е 2(г ь),
(ю - к2и)
(12)
I йВ2 I { В2 (гь)} = о, (гь)[ = о.
Здесь у = (1 - и2/с2)-1/2, а и - скорость пучка. При рассмотрении возбуждения низкочастотной ветви, достаточно использовать только первые два условия (12), поскольку низкочастотная ветвь с хорошей точностью является волной Е-типа [5]. Запишем решения уравнений для Е-волны в трех областях цилиндрического волновода, разделенных плазмой и пучком, в виде:
Е2 =
А1о^ог), г < гь,
В1о^ог) + СКо^ог), гь < г < гр, (13) В1о^ог) + ЕКо^ог), гр < г < Я.
Используя граничные условия на пучке (12) и на плазме (2), а также условие обращения Е2 в нуль на металлической поверхности волновода, исключаем произвольные постоянные и получаем дисперсионное уравнение, описывающее возбуждение пучком низкочастотной ветви
1 - 5 ргр X2 ^ °р
Ю
1 - 5ьгь
2 -3
юь У (ю - к2и)
2 °ь
= 5ргр5ьг ь X
4 Ю р
2 -3
Юь У
(14)
-"р'риь'ь/Оо 2
ю (ю- к2и) 1о(Xогр)
Iо ( Xо гь) 0 2
2 - 2 . - Ор
Выражение в правой части (9) является функцией квадратичной по малому параметру системы с тонкостенной трубчатой плазмой к25р < 1. Поэтому с точностью до квадратичных членов по этому малому параметру дисперсионное уравнение высокочастотной ветви имеет вид [5]:
с геометрическими факторами пучка и плазмы ~К о ^о гр, ь) К о ^оЯ)
°р, ь = 1о (xогp, ь)
LIо(Xо гр, ь) Ь^оЯ)
(15)
Для получения дисперсионного уравнения высокочастотной ветви подставляем выражения для Е2 в виде (13) и аналогичные выражения для В2 в условия (5), (12) и граничные условия на металлической поверхности волнов
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.