ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2004, том 30, № 3, с. 211-220
= ТОКАМАКИ =
УДК 533.9
УСИЛЕНИЕ РЕЗОНАНСНОГО ПОЛЯ НА ГРАНИЦЕ УСТОЙЧИВОСТИ МОД, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ С ПРОВОДЯЩЕЙ СТЕНКОЙ
© 2004 г. В. Д. Пустовитов
РНЦ "Курчатовский институт" Поступила в редакцию 24 июня 2003 г.
Рассматривается наблюдаемое в экспериментах на токамаке DIII-D явление усиления внешнего резонансного рассеянного поля на границе устойчивости так называемых "Resistive Wall" мод. Анализ проведен в рамках стандартного цилиндрического приближения. Модель основана на уравнениях Максвелла и законе Ома, поэтому результаты рассмотрения справедливы для любых крупномасштабных мод, взаимодействующих с проводящей стенкой. В отличие от прежних подходов предложенная модель рассматривает усиление резонансного поля как динамический эффект. Показано, что в условиях, когда он наиболее силен, предлагавшиеся ранее стационарные решения неприменимы. Анализируется вопрос о реакции плазмы на зондирующий импульс резонансного поля заданной амплитуды и длительности. Полученные соотношения объясняют основные черты наблюдаемых явлений на токамаке DIII-D и допускают прямую экспериментальную проверку.
1. ВВЕДЕНИЕ
Известно, что в одном из наиболее привлекательных режимов работы токамака, называемом advanced operation [1-8], серьезным препятствием на пути к большим в (отношение давления плазмы к магнитному) может быть неустойчивость внешних винтовых мод, частично стабилизируемых проводящей стенкой (Resistive Wall Modes, RWM) [9-12]. В последние годы физика RWM, методы стабилизации этой неустойчивости активно изучаются на токамаке DIII-D [13-26]. Впечатляющим результатом этих работ стала демонстрация устойчивого удержания плазмы при в, в два раза превышающем порог неустойчивости RWM [20-26]. Этот успех был достигнут, когда к уже применяемым мерам борьбы с RWM добавили компенсацию так называемых error fields - слабых рассеянных магнитных полей, нарушающих симметрию токамака. Произошло это после того, как экспериментально было доказано, что эти поля играют существенную роль в динамике RWM. До этого открытия эксперименты на токамаке DIII-D по подавлению RWM системой с обратной связью давали более скромные результаты [13-19].
Впервые убедительные экспериментальные свидетельства того, что измеряемое вне плазмы медленно растущее или насыщенное возмущение n = 1 является откликом плазмы на статическое резонансное рассеянное поле, были представлены в [17, 18]. В этих работах было показано, что плазма гораздо сильнее реагирует на такое поле, когда в > eno waU, где вп° waU - предел по устойчивости идеальных МГД-мод, рассчитанный в отсутствие проводящей стенки. Этот эффект стал но-
вым интересным объектом исследования [17, 18, 21-27] и получил название "усиление резонансного поля" (resonant field amplification, RFA) [21-26].
Эффект RFA был обнаружен экспериментально, случилось это совсем недавно, и до сих пор он во многом остается загадочным. Делаются лишь самые первые попытки его теоретического описания. При обсуждении экспериментальных результатов всегда ссылаются на [28], которая до последнего времени была единственной теоретической работой, полностью посвященной проблеме резонансного взаимодействия плазмы с внешним статическим возмущением на границе устойчивости RWM. Основные утверждения [28] качественно отражают наблюдаемые закономерности, что вполне объясняет интерес к этой работе. Однако эффект RFA описан в [28] довольно скупо в контексте обсуждения другого явления -наблюдаемого в эксперименте торможения тороидального вращения плазмы при развитии неустойчивости RWM [13-26]. Недавняя работа [29] того же автора на ту же тему лишь очень кратко повторяет выводы [28] относительно RFA, в основном [29] посвящена технике расчетов. Рассмотрим здесь RFA более подробно и попутно попытаемся разобраться в теоретических построениях [28], чтобы уточнить некоторые важные детали.
Целью настоящей работы является анализ влияния внешнего резонансного магнитного возмущения (error field) на динамику RWM. Фактически речь пойдет о сильном влиянии слабого магнитного возмущения на поведение разряда в токамаке.
Существующая теория [28] предлагает для описания RFA некое стационарное решение, ко-
торое может обращаться в бесконечность на границе устойчивости RWM. В той или иной форме оно воспроизводится и в других работах [21, 23, 26, 27, 29]. Мы покажем, что в тех случаях, когда эффект RFA наиболее силен, предложенные ранее стационарные решения неприемлемы, процесс является динамическим и "коэффициент усиления" внешнего возмущения зависит от времени прохождения плазмой "опасной зоны" вблизи порога устойчивости RWM. Кроме того, мы рассмотрим вопрос о реакции плазмы на импульсное включение резонансного поля. Эффект RFA как раз и был обнаружен с использованием такого зондирования плазмы [17, 18]. Включение и выключение резонансного поля заданной величины применялось затем на DIII-D для получения количественных характеристик RFA [21-26]. Естественно, реакцию плазмы на импульсное воздействие следует рассматривать как динамический процесс. Модельное решение, которое обсуждалось в [28] а затем в [21, 23, 26, 27, 29], динамики RFA не описывает.
Анализ проводится в рамках стандартной цилиндрической модели. Общие уравнения и постановка задачи кратко описаны в следующем разделе. Нетривиальным шагом является здесь замыкание задачи введением параметра, который при строгом подходе определяется структурой магнитного возмущения в плазме. Необходимые разъяснения по этому поводу приводятся в разд. 3. В разд. 4 рассматривается эффект усиления плазмой статического внешнего магнитного возмущения на границе устойчивости RWM. В разд. 5 анализируется вопрос о реакции плазмы на импульс внешнего резонансного поля. В разд. 6 наша модель RFA и полученные результаты сравниваются с моделью и результатами [28]. В Заключении суммируются основные результаты и выводы анализа.
2. ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Решение полной задачи требует расчета возмущенного магнитного поля в плазме, вакуумных областях и проводящих металлических оболочках вне плазмы. Поле во внешней (по отношению к плазме) области может быть найдено, если известно возмущенное магнитное поле на границе плазмы. В этом случае в задаче фигурирует лишь граница плазмы как поверхность, на которой должны быть поставлены граничные условия. Мы будем решать задачу именно в такой постановке, когда плазма моделируется неким возмущением с заданными свойствами. Обоснование такой модели приводилось в [30, 31]. Результаты численных расчетов [32, 33] подтверждают, что такое моделирование является надежным.
Для описания возмущения во внешней области достаточно уравнений Максвелла
'х E = -
дБ
Э t'
■ Б = 0, х H = j
(1)
(2) (3)
и закона Ома
j = стЕ. (4)
Здесь Е и Н - напряженность электрического и магнитного поля соответственно, В = ц0Н -магнитная индукция, - магнитная проницаемость среды, ст - ее проводимость (в вакууме ст = 0), ц0 = 4п х 10-7 Г/м - магнитная постоянная.
В токамаках толщина проводящих стенок невелика по сравнению с характерными масштабами задачи, поэтому при рассмотрении Я^М стенки можно рассматривать как тонкие оболочки. Для тонкой оболочки постоянной толщины уравнения (1)-(4) сводятся к
д г, V7/ r>out r>in\
dttBn = n ■ — (B" - B" ),
(5)
где ст5 - поверхностная проводимость (для реальных проводников ст^ = стй, й - толщина стенки), п - внешняя единичная нормаль к поверхности, Вп = п ■ В, В°и - значение В на внешней стороне оболочки (на стороне, куда направлена нормаль п), а Вт - значение В на внутренней стороне. Более подробно модель описана в [30, 31].
Усиление резонансного поля наблюдается в эксперименте как рост магнитного возмущения вблизи стенки, где расположены измеряющие магнитные зонды [21-26]. Этот рост можно было бы описать уравнением (5), если бы скачок производных в его правой части удалось выразить через Вп (неизвестная функция) и возмущение от внешних источников (параметр). Подобная задача решалась в [30, 31] в цилиндрическом приближении. Воспользуемся здесь результатами [30, 31], пренебрегая тороидальностью. В [21, 23, 26, 28, 29] усиление резонансного поля также обсуждалось с привлечением уравнений для цилиндрической конфигурации. Далее рассматриваем цилиндрический плазменный шнур, окруженный (на некотором расстоянии) соосным проводящим кожухом.
Возмущение магнитного поля в вакууме будем описывать его радиальной компонентой
br = ^bm(r, t)exp(шб - inZ).
(6)
Здесь t - время, r, б и Z = z/R - цилиндрические координаты, связанные с осью симметрии, но вместо длины z вводим угловую координату Z (аналог тороидального угла, 2nR - длина эквивалентного
тора). Нас интересуют возмущения с малыми по-лоидальным и тороидальным волновыми числами т и п. В этом случае вместо точных выражений для Ьт [34] можно пользоваться приближенными
, D^n- Ц -1 D 0Ut Ц - 1
bm — BmX + Bm X ,
(7)
где x = r/rw, rw - радиус проводящей стенки, ц = |m |,
' w> ' w
J out m
Bm и Bm - комплексные константы, зависящие от времени. Первое слагаемое в (7) описывает вклад в bm от внутренней области по отношению к точке x, а второе - от внешней. Отметим, что при x < 1 поле токов, текущих в проводящей стен-
г» out л г» in
ке, включается в Bm , а при x > 1 - в Bm .
В цилиндрической модели для длинноволновых возмущений уравнение (5) с помощью (7) сводится к системе уравнений (подробнее см. [30, 31])
dB " dt
- rmBm + 2цB
(8)
rb'
m b
= - (Ц + 1 ) - Гm,
(9)
где индекс "т" показывает, что величина берется на внутренней стороне оболочки, г = г„ - 0, а штрих здесь и далее обозначает производную по радиусу г. Чтобы воспользоваться уравнением (8) для расчета Вт, должны как-то задать величину Гт.
3. О ВЕЛИЧИНЕ Гт При подстановке (7) в (9) получаем
Tm - -2 Ц -
в:
Bm + B„
(10)
„ out „wall „ ext
где Bm = Bm + Bm описывает поле, создаваемое всеми внешними по отношению к плазме источниками. В нашем случае таких источников три: токи, возбуждаемые в стенке, известные токи в корректирующих обмотках и, вообще гово-
ря, неопределенные источники рассеянных полей. В знаменателе
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.