ИЗВЕСТИЯ РАН. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2015, № 1, с. 29-40
УПРАВЛЕНИЕ В СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ ^^^^^^ И В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
УДК 517.977+681.51
УСЛОВИЯ ОГРАНИЧЕННОСТИ АНИЗОТРОПИЙНОЙ НОРМЫ ДЕСКРИПТОРНОЙ СИСТЕМЫ
© 2015 г. О. Г. Андрианова, А. А. Белов, А. П. Курдюков
Москва, ИПУ РАН Поступила в редакцию 08.04.13 г., после доработки 19.05.14 г.
Рассматривается класс систем, описываемых алгебро-разностными уравнениями и называемых дескрипторными (сингулярными). Для таких систем получены условия ограниченности анизотропийной нормы системы — коэффициента усиления системой случайных гауссов-ских стационарных возмущений, характеризуемых параметром, который называется средней анизотропией. Условия сформулированы в виде теоремы, приведено подробное доказательство. Рассмотрен численный пример, иллюстрирующий методику вычисления анизотропий-ной нормы дескрипторной системы на основе доказанной теоремы.
Б01: 10.7868/8000233881406002Х
Введение. Реальные объекты управления подвергаются влиянию внешних случайных возмущений. Задача подавления таких возмущений — одна из основных задач теории управления. В теории понижения влияния внешних возмущений с помощью линейно-квадратичных гаус-совских регуляторов в качестве случайных возмущений рассматривается гауссовский белый шум. Однако шумы, действующие на реальные объекты, являются "окрашенными", поэтому регуляторы, разрабатываемые для систем управления в предположении о том, что на них действует белый шум, недостаточно эффективны. С другой стороны, в основе теории синтеза И„ -регуляторов (под И„ понимается норма в пространстве Харди комплекснозначных матричных функций с показателем степени р = да), понижающих влияние внешних возмущений, лежит предположение о том, что внешнее возмущение интегрируемо (суммируемо) с квадратом. Недостаток этой теории состоит в том, что системы, замкнутые Иш -регуляторами, очень консервативны (требуется большая энергия управления), если внешнее возмущение представляет собой некоррелированный или слабо коррелированный случайный сигнал.
Введение понятия средней анизотропии случайной последовательности [1, 2] дало возможность выделить класс случайных "окрашенных" шумов, ограниченных неким числовым параметром, который называется уровнем средней анизотропии. Это позволило разработать математический аппарат анализа и синтеза стохастических систем управления, обладающих робастным качеством по отношению к стохастической природе возмущений. Критерием качества в данном случае выступает анизотропийная норма. В [3, 4] были решены задачи оптимального и субоптимального анизотропийного управления (минимизирующего анизотропийную норму замкнутой системы) для обыкновенных систем. Решение задач субоптимального анизотропийного управления представляет большую гибкость по сравнению с задачами оптимального управления, так как при синтезе отсутствует необходимость поиска регулятора, доставляющего минимум анизо-тропийной нормы замкнутой системы. Так, в случае оптимального управления решением является регулятор, который доставляет минимум функционалу качества. В случае же субоптимального управления можно ограничиться не минимальным значением функционала, а тем значением, которое будет удовлетворять разработчика. Очевидно, что таких регуляторов может быть бесконечное множество. Это позволяет ограничиться некоторыми удовлетворяющими разработчика системы управления требованиями, а также наложить некоторые дополнительные критерии. Но математические модели объекта не всегда могут быть описаны только разностными или дифференциальными уравнениями. Системы, математические модели которых описываются в терминах физических переменных, могут содержать алгебраические уравнения связи между переменными состояния. Такие системы называются дескрипторными. Дескрипторные системы нашли свое применение при моделировании движения летательных аппаратов [5], в схемотехнике [6, 7], в технических [8] и экономических системах [9], а также в электроэнергетике [10, 11].
Эти причины и привели к тому, что в течение последних двух десятилетий дескрипторные системы стали объектом широкого изучения. Из-за наличия алгебраических связей между переменными состояния объекта модель системы может приобретать свойства, не характерные для обыкновенных систем, что требует разработки математического аппарата, обобщающего теории, которые были созданы для обыкновенных систем. Очевидно, что обобщение методов ани-зотропийного анализа для обыкновенных систем в [12] на дескрипторные позволит охватить больше объектов управления и является актуальной задачей. Данная работа посвящена поиску условий, при которых анизотропийная норма дескрипторной системы ограничена сверху заданным числом, в терминах уравнений Риккати.
1. Основы теории дескрипторных систем и анизотропийного анализа. В этом разделе будут даны необходимые определения и важные результаты по дескрипторным системам и анизотропийной теории.
1.1. Дескрипторные системы. Прежде чем перейти к постановке и решению задачи, рассмотрим, каким образом появляются дескрипторные модели динамических систем, а также основные понятия, относящиеся к теории дискретных дескрипторных систем, такие как регулярность, причинность, устойчивость, допустимость. Более подробно с этими понятиями можно ознакомиться в [13, 14].
Дискретные дескрипторные системы в пространстве состояний записываются в виде
Ex(k + 1) = Ax(k) + Bu(k),
y(k) = Cx(k) + Du(k), . )
где x(k) e Rn — вектор состояния, u(k) e Rm — управление, y(k) e Rp — вектор наблюдения, k = 0,1,2,... — дискретное время. Матрица E е Rnxn может быть вырождена, A е Rnxn,
п тл) nxm тп) pxn T^mxm
B e R , C e R , D e R — параметры системы.
Для системы, описываемой уравнениями (1.1), предполагаем, что rank E = r < n. Такие системы называются сингулярными или дескрипторными. Для дальнейшего изложения рассмотрим ряд важных определений, относящихся к теории дескрипторных систем [14].
Определение 1. Пара матриц (E, A) называется регулярной, если существует такое число X, что det(XE - A) * 0.
Регулярность пары (E, A) — необходимое и достаточное условие существования и единственности ее решения. Следующая лемма [14] дает эквивалентные необходимые и достаточные условия регулярности системы (1.1).
Лемма 1. Пара (E, A) является регулярной тогда и только тогда, когда существуют такие две
невырожденные матрицы Q и R, что
QER = diag(Ir, N), QAR = diag(Ab I„_r), (1.2)
где A1 е Rrxr, Ir e Rrxr, In-r e R(n-r)x(n-r^ — единичные матрицы, а N — нильпотент.
В соответствии с леммой 1 уравнение состояния системы (1.1) может быть представлено в следующем виде:
xi(k + 1) = Aixi(k) + Biu(k), Nx2(k + 1) = x2(k) + B2u(k),
где [B1T B2T]T = WB.
Определение 2. Матрица N называется нильпотентом индекса h, если Nh = 0, а Nh~' ф 0,
i = T7h.
Определение 3. Индексом дескрипторной системы (1.1), представленной в эквивалентной форме (1.3), называется индекс нильпотента N.
Определение 4. Система (1.3) называется первой эквивалентной формой системы (1.1) [14]. Дескрипторные системы не всегда имеют решение при любых начальных условиях.
Определение 5. Начальные условия x(0), при которых регулярная система имеет решения, называются согласованными. Согласованные начальные условия удовлетворяют следующему равенству:
h -1
(0 I)R-1х(0) = ^N'^i). (1.4)
i = 0
Определение 6. Система (1.1) называется причинной, если ее решение x(k) при согласованных начальных условиях зависит только от u(k),..., u(0) и x(k - 1),..., x(0). Это имеет место, если индекс системы (индекс нильпотента N) равен 1.
Введем понятия устойчивости и допустимости линейной дискретной дескрипторной системы [15].
Определение 7. Обобщенным спектральным радиусом для системы (1.1) или для пары (E, A) будем называть
p(E, A) = max (1.5)
X е z|det(zE - A) = 0
Кроме того, для упрощения записи будем использовать следующее обозначение p(A) = p(I, A), которое применяется для обозначения обычного спектрального радиуса матрицы.
Определение 8. Система (1.1) называется устойчивой, если p(E,A) < 1.
Определение 9. Система (1.1) называется допустимой, если пара (E, A) является регулярной, а система — причинной и устойчивой.
Определение 10. Под передаточной функцией системы (1.1) будем понимать комплекс-нозначную функцию, определяемую выражением
G(z) = C(zE - A)-1B + D, z e C. (1.6)
Определение 11. Пусть Lpxm (Г) (под Г будем понимать окружность единичного радиуса на комплексной плоскости) — пространство матричнозначных функций F : Г ^ Cpxm, которые
px, -*2
имеют конечную ^^(ГЬнорму
IIl-p^ct)
1
С 2п
— J tr(F*(eim)F(e im))dw
(1.7)
2п
V 0
Здесь F*(e ) = FT(e-) — сопряженная система.
Подпространство пространства ЦГт(Г), которое состоит из всех рациональных передаточных функций, не имеющих полюсов вне единичного круга, обозначим Нрхт.
Определение 12. Н2-норма передаточной функции 0(1) е Нр™ определяется выражением
1
(
G 2 =
1- Jtr(G*(eim)G(eim))dю
2п
V 0
Если G(z) является строго правильной и система (1.1) устойчива (p(E, A) < 1), то G(z) = C(zE—A) 1B e
e H2pxm. С другой стороны, если G(z) е H?xm, то G(z) — строго правильная, но система необязательно устойчива.
Определение 13. Пусть Lpxm(T) — пространство матричнозначных функций F : Г ^ Cpxm, которые существенно ограничены на Г. Обозначим через HPXm подпространство пространства L^^xm(r), которое состоит из всех рациональных передаточных функций, аналитических вне замкнутого круга единичного радиуса. Тогда H„-норма передаточной функции G(z) е Hjp^m определяется выражением
G„ = sup amax(G(eto)) = sup |G(eíffl)|2,
юе[0,2л] юе[0,2л]
где a max(G(e'®)) — максимальное сингулярное число.
Очевидно, что И„-норма передаточной функции О (г) конечна, только когда О(г) е Ь^т(Г) является правильной.
1.2. Средняя анизотропия и анизотропийная норма. В этом разделе приведем основные понятия анизотропийного анализа линейных дискретных систем. В [2, 16] введено понятие средней анизотропии случайной последовательности и анизотропийной нормы линейной системы. Наиболее полно определения и свойства средней анизотропии и анизотропийной нормы оп
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.