МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 3 • 2015
УДК 621.0,621.8
© 2015 г. А. Н. НИКИФОРОВ, Г. Я. ПАНОВКО, В. П. РОЙЗМАН
УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОГО ВРАЩЕНИЯ РОТОРА С ПОПЛАВКОВЫМ АВТОБАЛАНСИРУЮЩИМ УСТРОЙСТВОМ
В статье аналитически и численно в зависимости от коэффициентов вязкого внешнего и внутреннего трения определяются угловые скорости, при которых гибкий, симметричный ротор с поплавковым автобалансирующим устройством теряет динамическую устойчивость. При этом рассматриваются гироскопические, а также уточненные инерционные и потенциальные силы системы. В результате делаются выводы относительно эффективности применения такого устройства на быстроходных роторах.
Ключевые слова: ротор, жидкостное, поплавковое автобалансирующее устройство, динамическая устойчивость системы.
1. Введение. Неуравновешенность ротора либо устраняется в процессе технологической операции — балансировки, либо компенсируется непосредственно в процессе эксплуатации активными и(или) пассивными системами автоматического уравновешивания, в том числе жидкостного типа. Пассивные жидкостные автобалансирующие устройства имеют сравнительно низкую стоимость и не требовательны к качеству изготовления, бесшумны в работе, безопасны для ротора, благодаря отсутствию всякого механического контакта и трения.
Вместе с тем при использовании таких устройств диапазон скоростей устойчивого вращения ротора уменьшается в сравнении с ротором без автобалансирующего устройства (АБУ). Например, в [1] представлены условия динамической устойчивости уравновешенного, полого ротора при неполном наливе жидкости. Ниже, по аналогии с [2], анализируется устойчивость стационарного вращения неуравновешенного, вертикального, гибкого, симметричного ротора с полостью, целиком заполненной жидкостью и содержащей поплавок. Отличие данной работы в том, что учитывается действие гироскопических сил. Их влияние весьма "весомо" в роторных системах. Более того, в определенных случаях такие силы могут даже стабилизировать неустойчивую потенциальную систему, как, например, вращающийся волчок и гироскопический однорельсовый вагон [3].
Дифференциальные уравнения стационарного движения ротора с поплавковым АБУ в [2] составлены по принципу Д'Аламбера и не содержат гироскопические члены
(mR + rmF)X + (dR + DR)X + kRX + dR&Y = mRa&2 cosШ
(mR + rmF) Y + (dR + DR) Y + kRY - dRrnX = mRa&2 sin Ш где mR, kR — масса и жесткость ротора, dR, DR — коэффициенты внутреннего и внешнего трения ротора, X, Y, X, Y, X, Y — линейные перемещения, скорости и ускорения его центра в декартовой системе координат OXYZ; mF — масса жидкости; ю — угловая скорость ротора; а — его дисбаланс; r = rj2/(rj2 - r22), rl — радиус балансировочной камеры; r2 — радиус поплавка.
уд \А \\\
1 1
¥///////УЖ. 1 Г Г / ✓/
У
0^\УУУУ х'\
Фиг. 1
Однако уравнения движения сложной упругой колебательной системы целесообразнее выводить, применяя метод Лагранжа, используя выражение кинетической энергии. Сущность этого метода автоматически приводит к правильным членам и знакам перед ними в искомых дифференциальных уравнениях.
2. Математическое описание гибкого, симметричного ротора с поплавковым АБУ. Объектом рассмотрения является неуравновешенный, гибкий, геометрически симметричный относительно оси вращения ротор с камерой, равноудалённой от опор, полностью заполненной ньютоновской жидкостью и содержащей цилиндрический поплавок. Динамическая модель ротора с поплавковым (жидкостным) АБУ приведена на фиг. 1. Масса поплавка пренебрежимо мала по сравнению с массой жидкости.
В такой системе при стационарном вращении центр ротора Я прогибается из-за неуравновешенности ЯО на величину 0Я. Все локальные слои жидкости (пограничные и центрального ядра течения) вращаются как единый слой с одинаковой угловой скоростью, равной роторной. Поплавок, у которого геометрическая и материальная оси симметрии £ совпадают, так же как в поплавковых гироскопах [4], центрируется на начальной оси вращения О за счет сил давления, а жидкость перетекает в более удаленную от оси О часть камеры. При угловой скорости ротора, выше его критической, такое динамическое свойство поплавкового АБУ способствует приведению общего центра масс системы к начальной оси вращения, так как центр масс слоя жидкости оказывается напротив "тяжелой" стороны ротора.
Пусть и в случае переходного движения ротора стремление к самоцентрированию поплавка сохраняется ввиду того, что роторное вращение и прецессия происходят синхронно вне диапазона резонансного возбуждения волн в жидкости [5]. Тогда центр масс слоя жидкости С располагается на линии центров ротора Я и поплавка Сформулированные допущения позволяют исключить из рассмотрения гидродинамиче-
скую задачу и получить следующее выражение кинетической энергии исследуемой системы, которое складывается из кинетических энергий ротора и жидкости
T = mR(v2ex + vly )/2 + mF (uCx + иСу )/2 + (JG + JF) ю2/2 =
= mR[(X - юу)2 + (( + ю(x + a))2]/2 + mF[(X - rюу)2 + (( + rüx)2]/2 + (JR + JF) ю2/2
где uGx, uGy — компоненты линейной скорости центра масс ротора, иСх, иСу — компоненты линейной скорости центра масс слоя жидкости, x, у, x, у, x, у — линейные перемещения, скорости и ускорения центра ротора в системе координат Oxyz, вращающейся с дисбалансом ротора RG, r = rj-Jr2 - r22, JG ~ JR — момент инерции ротора относительно оси, параллельной оси ротора и проходящей через его центр масс, JR — полярный (осевой) момент инерции ротора, JF — полярный момент инерции слоя жидкости.
Подставляя это выражение в известные уравнения Лагранжа 2 рода, можно составить уравнения движения системы "гибкий, симметричный ротор — поплавковое АБУ" в координатах вращающейся плоскости:
(mR + mF )x - (mR + rmF) (2юу + (by) - (mR + r2mF)(2x = mRa&2 + Q1
(mR + mF)y + (mR + rmF) (2©x + (bx) - (mR + r2mF)ю2у = -mRa(b + Q2
[JR + Jf + mRa2 + 2mRax + (mR + r 2mF )(x2 + у 2)](b -
- (mR + rmF) (у - xу) + 2(mR + r 2mF) (xx + уу) ю + mRa (у + 2xro) = Q3
Здесь третье дифференциальное уравнение описывает крутильно-колебательное движение ротора. Оно позволяет исследовать режимы разгон-выбег ротора с учетом обратной связи между его вибрационным откликом и угловой скоростью ю, в том числе эффект Зоммерфельда (явление "застревания" ротора на критической скорости). В случае достаточно большой мощности привода это уравнение можно решать независимо, отбрасывая "вибрационные" члены, обусловленные поперечно-колебательным движением ротора, т.е. (JR + JF) (ó = Q3. При ю = const происходит стационарное вращение неуравновешенного ротора, т.е. положение его центра во вращающейся системе координат определяется уравнениями
(mR + mF )x - 2 (mR + rmF) юу - (mR + r2mF)©2x = mRa&2 - kRx - dRxx - DR (x - юу) (mR + mF) у + 2 (mR + rmF) (oxx - (mR + r 2mF )ю2у = -k¡¿у - dRу - DR (у + ax)
где обобщенные силы Q12, действующие на ротор, представлены как потенциальные kRx, kRy и диссипативные dgx, d^y силы, обусловленные деформацией материала вала, а также силы трения, пропорциональные абсолютным скоростям ротора DR (xx - юу) и Dr (у + rax), из-за защемления опор и(или) специального демпфера в середине ротора [6].
Перемещения, скорости и ускорения ротора x, у, x, у, x', у связаны с перемещениями, скоростями и ускорениями его центра X, Y, X, Y, X, 7 вдоль осей неподвижной системы координат
x = X cos ю? + Y sin юг, у = -X sin юг + Y cos юг
x = (X + юY)cos юг + (Y - юX)sin юг, y = -(X + юY)sin юг + (Y - юX)cos юг x = (X + 2ю Y - ю2X) cos юг + (Y - 2юХ - ю^) sin юг у = (-X - 2ю Y + ю2 X )sin юг + (Y - 2<oX - ю^)^ юг
Подстановка этих выражений в (2.1) приводит к уравнениям движения системы "гибкий, симметричный ротор — поплавковое АБУ" в декартовых координатах, которые содержат гироскопические, а также уточненные по сравнению с (1.1) инерционные и потенциальные члены (силы):
(гпк + шр )Х + (с1к + Бк )Х + [кк - шр (г -1)2 ю2]Х - 2шр (г - 1)<о7 + dRюY =
= шваа2со&Ш
2 2' (2.2)
(шК + Шр) Y + ( + БК )Y + [кК - шр (г -1)2 ю2^ + 2шр (г -1) юХ - dRюX =
= шКаю2$,1пШ
3. Исследование динамической устойчивости гибкого, симметричного ротора с поплавковым АБУ. Проанализировать устойчивость движения системы (2.2) можно путем рассмотрения отклонений 8Х = X - X*, 8Y = Y - Y* и соответствующих уравнений возмущенного движения
(шК + шр) бХ + + Вк) бХ + [кК - шр (г -1)2 ю2]8Х - 2шр (г -1) юбY + dRюЪY = 0
(шК + шр) бY + + Вк) бY + [кК - шр (г -1)2 ю2^ + 2шр (г -1) юбХ - dRюSХ = 0
Для компактности эти два уравнения целесообразно свести к одному, вводя после почленного умножения второго из них на г = V—1, а затем их сложения комплексную переменную 8 = 8 Х + /8Y:
(шК + шр)б + ( + Вк)б + [кК - шр (г -1)2 ю2]8 + г2шр (г -1) со5 - idRю8 = 0 (3.1)
По Ляпунову стационарное возмущенное движение (3.1) асимпотически устойчиво при любых исходных параметрах и значениях угловой скорости ротора, если характеристическое уравнение для (3.1) в результате подстановки 8 = 80е'Х':
а0Х2 + (а1 + 1Ъ1) X + а2 + гЪ2 = 0 (3.2)
где а0 = -(шК + шр), а1 = -2шр (г -1) ю, Ъ = dR + БК, а2 = кК - шр (г -1)2 ю2, Ъ2 = имеет корни 2 с положительной мнимой частью.
Знаки корней этого уравнения могут быть определены без его решения с помощью матрицы Рауса—Гурвица [7], которая составляется из коэффициентов характеристического уравнения (3.2):
а0 а1 а2 0
0 ъ Ъ2 0
0 а0 а1 а2 0 0 Ъ1 Ъ2
Условия устойчивости заключаются в том, чтобы главные четные миноры матрицы Н удовлетворяли неравенствам Д2 < 0, Д4 > 0. Первое условие выполняется априори, а второе условие сводится к неравенству вида
а0аДЪ2 - а^Ъ^ - а0а2Ъ2 > 0 (3.3)
В свою очередь неравенство (3.3) выполняется, если
Н =
© < (1 + в) I-2-Т^кж-2, в = ВК^К (3.4)
*\шК + шрг2 (1 + в)2 - 2шргв(1 + в) + ш¥в2 К
Ук/а 12
10
8
6
4
2
0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0
&
Фиг. 2
Диапазон скоростей устойчивого вращения (3.4) уже области динамической устойчивости ротора, полученной в [2], т.е. итогом учтенных гироскопических, а также уточненных инерционных и потенциальных сил системы является дестабилизирующее их общее влияние.
При тР = 0 получается условие устойчивости стационарного вращения ротора бе
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.